TRAITÉS FRANÇAIS SUR LA MUSIQUE
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Author: Mersenne, Marin
Title: Livre second des dissonances
Source: Harmonie Universelle, contenant la theorie et la pratique de la musique, 3 vols. (Paris: Sebastien Cramoisy, 1636; reprint ed. Paris: Centre national de la recherche scientifique, 1965), 2:113-140.
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[-113-] LIVRE SECOND DES DISSONANCES.

PREMIERE PROPOSITION.

Determiner s'il y a des Dissonances, et si elles sont necessaires dans la Musique.

IL est en quelque maniere plus certain qu'il y a des Dissonances, qu'il n'est qu'il y ait des Consonances, dautant qu'il est plus certain qu'il se rencontre des hommes à qui les Concerts déplaisent, quoy qu'il soient pleins de bons accords, qu'il n'est certain qu'il y ait des hommes à qui nulles Dissonances ne déplaisent, soit qu'elles ayent plus de degrez desagreables que les Consonances n'en ont d'agreables; dont nous parlerons dans la 10 proposition de ce liure, où que le mal, la douleur, et le déplaisir soient plus sensibles que leurs contraires, à raison que nous nous imaginons que le bien nous est deu; et que le plaisir est conforme à la nature, puis qu'il la conserue, au lieu que le desplaisir la corrompt et la destruit.

Or s'il se peut rencontrer des oreilles si heureuses, ou si aisees à contenter, que les Dissonances leur plaisent, comme il arriue aux Secondes; aux Tritons, aux fausses Quintes, et aux Septiesmes, qui rejoüissent plustost l'esprit qu'elles ne blessent l'oreille, lors qu'elles sont bien placees, et employees auec iugement dans le Contrepoint à deux ou plusieurs parties, comme nous monstrerons dans le liure de la Composition, l'on peut dire qu'elles ne sont pas Dissonances à l'égard de ces oreilles, dont les esprits peuuent estre si pesans, si grossiers, et si stupides, que l'on a besoin de la pointe et de la dureté des discords pour les exciter, comme l'on experimente que la langue de ceux qui ont perdu l'appetit ne gouste pas bien les faueurs, si elles n'ont quelque chose de salé, d'acre, de sur, et de piquant: car tous les sens ont quelque chose de semblable; de sorte que ce qui conuient à l'vn peut seruir pour expliquer ce qui appartient aux autres.

Quant à la seconde partie de cette proposition, il est certain qu'à parler absolument, la Musique peut substster sans les discords, puis que l'on a de tres-bonnes pieces à 2, 3, 4, 5, et 6 parties, dans lesquelles il n'y a nulle Dissonance, et qu'on les euite tant qu'on peut dans les simples Contrepoints. Mais si l'on veut conseruer toutes les beautez, et tous les ornemens et enrichissemens du Contrepoint figuré, dont on vse maintenant, les discords sont necessaires. Et puis l'on ne sçauroit faire de bons chants sans les degrez et les interualles dissonans, comme nous verrons dans les autres liures. De sorte qu'il est necessaire de traiter des Dissonances, afin de n'obmettre aucune partie essentielle de la Musique: c'est pourquoy ie commence par les moindres interualles pour arriuer aux plus grands, quoy qu'il n'importe par où l'on commence.

[-114-] PROPOSITION II.

Expliquer tous les Demitons, et les Dieses dont on se sert dans la Musique considerée en sa plus grande perfection.

L'Octaue a esté appellé Diapason par les Grecs, par ce qu'elle contient tous les sons, et toutes les simples Consonances; mais on la peut encore nommer Diapason, par ce qu'elle comprend toutes les Dissonances; car si on la diuise en deux Dissonances, l'on trouuera le Semidiapente, ou la fausse Quinte d'vn costé, et le Triton de l'autre, puisque la raison de 45 à 64, et celle de 32 à 45 estant adjoutées font l'Octaue; l'on peut aussi la diuiser en Septiesme majeure de 5 à 9, et en ton mineur; ou en Septiesme majeure, et en demiton majeur: mais i'ay parlé plus amplement des noms et des diuisions de l'Octaue dans la 9 proposition du liure precedent, et dans les autres, c'est pourquoy il suffit maintenant de remarquer ce qui est necessaire pour l'intelligence de la Musique, et de cette proposition, à sçauoir que le Ton majeur vient de la difference de la Quinte à la Quarte; car la Quinte surpasse la Quarte d'vn ton majeur, puis que la Quarte n'a qu'vn ton majeur, et vn mineur auec le demiton majeur, et que la Quinte a deux tons majeurs, vn mineur, et vn demiton majeur. Les Grecs vsoient de ce ton majeur pour separer leurs Tetrachordes; et les Pytagoriciens n'auoient que cette espece de ton. La seconde Dissonance s'appelle Demiton majeur, et est la difference de la Tierce majeure à la Quarte.

Or ce demiton est si necessaire à la Musique, qu'il en est l'ame, l'ornement, et la beauté; car c'est par son moyen que l'on establit les diuerses especes de Quarte, de Quinte, et d'Octaue, et les douze Modes de Musique, ou les huit tons de l'Eglise, comme nous dirons ailleurs; sa raison est de 16 à 15.

Quant au Ton mineur, il est composé de deux demitons, à sçauoir du majeur et du mineur, et aide à composer la Tierce majeure, qui contient le ton majeur et le mineur.

Or il n'y a que ces deux tons, et le demiton majeur, qui appartiennent au genre Diatonique; et parce que la Quarte en est composee, elle suffit pour entendre toute la Musique Diatonique, puis qu'elle ne contient autre chose que ces deux tons, et le demiton majeur, quoy qu'il y ait d'autres demitons qui seruent à la Diatonique, dont on vse maintenant: le premier est la demiton de 25 à 27, que l'on peut appeller Maxime, car il est plus grand que le majeur d'vn comma majeur.

Le second est moindre que le majeur, et plus grand que le mineur, qu'il surpasse d'vn comma majeur, et est de 128 à 135; on le peut appeller Moyen. Or le Ton majeur est composé du demiton maxime et du mineur, ou du demiton majeur, et du moyen, lequel est moindre que le demiton majeur d'vn comma mineur.

Le troisiesme est vn peu moindre que le moyen, et vient de la difference des deux tons majeurs, et de la Quarte; sa raison est de 243 à 256, les Grecs le nommoient demiton mineur, ou le Limma de Pytagore, dont il vsoit pour acheuer la Quarte apres les deux tons majeurs; or il est moindre d'vn comma que le majeur.

[-115-] Le quatriesme est le Demiton mineur, lequel est moindre que le precedent d'vn comma mineur: sa raison est de 25 à 24.

Le cinquiesme est composé de la diese, et du comma majeur, dont la raison est de 625 à 648, et est la difference du Demiton maxime, et du mineur; l'on peut l'appeller Demiton minime.

Le sixiesme est appellé Diese Enharmonique, dautant qu'elle sert à ce genre, car elle est la difference du Demiton majeur et du mineur: sa raison est de 125 à 128. L'on peut encore ajoûter le Demiton souzminime, que i'expliqueray cy-apres.

Or tous ces demitons estant presupposez, on peut dire que le ton mineur est non seulement composé du demiton majeur et du mineur, mais aussi du limma Pythagorique, et du Demiton moyen; et que le ton majeur est composé de la Diese Enharmonique, du Demiton mineur et du moyen, ou de deux Demitons mineurs, de la Diese, et du Comma. Ce que i'ay voulu ajoûter afin que l'on entende parfaitement l'interualle du Ton majeur et du mineur, dont tous les genres ont besoin.

Mais on peut mettre vn tel ordre entre ces Demitons, qu'il sera facile de les entendre, car les plus grands surpassent le plus souuent ceux qui les suiuent immediatement du Comma, dont le Ton majeur surpasse le Ton mineur: l'on peut nommer le plus grand demiton Maxime; le second Maieur, lequel est ordinairement de fa à mi; le troisiesme Moyen; le quatriesme Pythagorique; le cinquiesme Mineur; le sixiesme Minime; et le septiesme Diese Enharmonique, comme l'on void dans la table qui suit, dans laquelle on peut ajoûter d'autres Demitons, par exemple le majeur de Pythagore, qu'on nomme Apotome, dout la raison est de 2048 à 2187, et qui fait le ton majeur estant ajoûté au Limma: cét Apotome est plus grand d'vn comma mineur que le demiton majeur; et le demiton moyen est plus grand que le limma, de la difference qui est entre le comma maieur et le mineur, c'est a dire de la raison de 10935 à 10936, qui est dans la table apres les deux comma, dont elle est la difference: de sorte que cette table contient douze degrez, dont la consideration n'est pas inutile. Mais i'expliqueray plusieurs autres degrez dans la proposition qui suit, laquelle seruira d'explication à celle-cy.

Il y a encore vn autre demiton qui vient de la difference du demiton maxime, et du ton mineur, lequel est moindre d'vn comma majeur que le demiton mineur; sa raison est de 250 à 243, et se peut appeller demiton sousminime. Ie laisse les autres qui se peuuent trouuer en prenant la difference de plusieurs interualles, ou degrez de Musique, depeur d'estre trop long, et trop ennuyeux sur cette matiere: car il suffit de sçauoir soustraire, aioûter, et diuiser les raisons pour trouuer toutes les differences et tous les degrez possibles de la Musique.

Ie sçay que ceux qui preferent l'egalité des demitons et des dieses, et qui suiuent le party des Aristoxeniens, mesprisent ou negligent toutes ces petites differences, et la multitude de ces interualles: mais leur sentiment ne m'oblige pas à les laisser, puis que mon dessein consiste à faire voir la iustesse des interualles, et a conseruer les systemes du canon Harmonique; quoy qu'il soit permis à vn chacun de suiure Aristoxene, ou tel autre systeme qu'il voudra. Or la table qui suit fait voir ce que i'ay expliqué dans ce discours.

[-116-] Table des Demitons, et des autres moindres degrez.

1  Demiton Maxime,             de 25 à 27

2 Apotome, de 2048, à 2187

3 Demiton majeur, de 15 à 16

4 Demiton moyen, de 128 à 135

5 Limma, de 243 à 256

6 Demiton Mineur, de 24 à 25

7 Demiton Minime, de 625 à 648

8 Demiton Sousminime, de 243 à 250

9 Diese Enharmonique, de 125 à 128

10 Comma Majeur, de 80 à 81

11 Comma Mineur, de 2025 à 2048

12 Difference de deux Comma, de 10935 à 10936

Quant à l'vsage de ces demitons il est facile de l'expliquer, car le Maxime sert premierement pour passer de la Septiesme mineure, qui est de 5 à 9, à la Sexte majeure: secondement du Triton (qui est composé de deux tons mineurs, et du ton majeur, et qui a sa raison de 18 à 25) à la Quinte. Troisiesmement de la Tierce majeure (qui est composee de deux tons mineurs, et qui est de 81 à 100) à la Quarte. Quatriesmement du demiton mineur au ton majeur. Et generalement toutes et quantesfois qu'on se sert de l'interualle composé du demiton majeur, et du comma pour passer d'vn lieu à l'autre, comme quand on acheue la Quarte apres deux tons mineurs. Il n'est pas besoin de parler de l'vsage du demiton maieur, car il est assez connu de tous les Musiciens.

Le troisiesine demiton qu'on appelle Moyen, sert premierement pour passer de la Quarte au Triton: Secondement toutes et quantesfois qu'il faut acheuer le ton maieur apres que l'on a fait le demiton maieur, car le demiton mineur est le moindre demiton du ton mineur, comme le demiton moyen est le moindre du ton maieur, lequel est composé du demiton maieur et du moyen. Le demiton Pythagorique sert pour acheuer la Quarte apres les deux tons maieurs qui se suiuent quelquefois lors que l'on chante à plusieurs parties, comme a demonstré Iean Benoist dans ses Epistres, page 278. Le demiton mineur sert pour passer de la Tierce et de la Sexte mineure à la maieure. Ie laisse les autres vsages de ce demiton que i'ay rapporté ailleurs. La Diese Enharmonique sert pour passer du demiton mineur au maieur, qui surpasse la Diese Chromatique de la Diese Enharmonique, car la raison de 15 à 16 est plus grande que celle de 125 à 128, de la raison de 24 à 25. Nous expliquerons les autres vsages de ces demitons en parlant de la Pratique, et de la maniere de composer. Mais il faut encore remarquer que deux ou plusieurs petits interualles Harmoniques estant doublez, ou triplez ne sont plus Harmoniques, c'est à dire qu'ils ne peuuent plus seruir à la modulation, comme deux Consonances estant assemblees ne sont plus Consonances; car deux Quintes font la Neufiesme, deux Quartes la Septiesme, deux Tierces maieures surpassent la Quinte d'vn demiton mineur, et deux Tierces mineures surpassent la Quarte d'vn demiton maieur et d'vn comma, c'est à dire d'vn demiton maxime. Semblablement deux tons maieurs surpassent la Tierce maieure d'vn comma, et deux tons mineurs surpassent la Tierce mineure du demiton sousminime, qui reste du demiton mineur, dont on a osté le comma, ou du ton mineur, dont on a soustrait le demiton maxime. Deux demitons maieurs surpassent le ton maieur de la raison de 2025 à 2048; et trois demitons mineurs le surpassent de la mesme raison, dont deux dieses surpassent le demiton mineur, à sçauoir de la raison de [-117-] 390625 à 393216, deux comma surpassent la diese de la raison de 32768 à 32805; et la diese surpasse le comma de la raison de 2025 à 2038. Le Demiton mineur est plus grand que le minime de la raison de 77760 à 78125, mais il est surmonté par la diese, et par vn comma, de la raison de 78125 à 78732. Le Comma Pythagorique, qui est de 531441 à 524288, est plus grand que le nostre de la raison de 524288 à 524880, dont l'Apotome ou le demiton majeur Pythagorique surpasse aussi nostre demiton majeur; or cette raison est moindre que le comma, et consequemment le demiton majeur surpasse le limma, qui est de 243 à 256, d'vne plus grande raison que l'apotome ne surpasse le demiton majeur. Mais le limma Pythagorique surpasse le demiton mineur de la mesme raison, dont la diese Enharmonique surpasse nostre comma, à sçauoir de la raison de 2048 à 2025, qui est aussi la difference du demiton majeur et du moyen; de maniere que le limma Pythagorique surpasse autant le demiton mineur, que le demiton majeur surpasse le moyen, et que la diese Enharmonique surpasse le comma.

L'on peut aussi remarquer que six tons maieurs surpassent l'Octaue d'vn comma Pythagorique, qui est de 524288 à 53l441; et que six tons mineurs sont moindres que l'Octaue de la raison de 500000 à 531441, c'est à dire d'vne diese, et de trois comma, qui sont moindres que nostre demiton mineur de la raison de 531441 à 533333 1/3. Quant aux six tons de l'Orgue, Salinas croid qu'ils sont moindres d'vn diese que l'Octaue, quoy que les six tons de la Viole fassent iustement l'Octaue; d'où il s'ensuit qu'il y a de la difference entre les temperamens des Instrumens, comme il remarque au 14 chapitre de son 3 liure: il ajoûte dans le chapitre 15, que trois Tierces maieures sont plus grandes d'vne diese que l'Octaue.

Il faut encore expliquer la diuision que quelques-vns font du ton en 5 parties, afin que nous considerions tous les petits interualles qui peuuent seruir à la Musique. Salinas dit au 27 chapitre du troisiesme liure, que l'on vsoit de son temps de l'Archicymbale, qui auoit ses tons diuisez en 5 parties, qu'on appelloit dieses, dont le demiton majeur en auoit trois, le mineur deux, la Tierce mineure 8, la majeure 10, la Quarte 13, la Quinte 18, et l'Octaue 31; mais il rejette cette diuision comme ennemie de l'Harmonie, et insuportable à l'oreille.

Fabius Colomna a suiui cette diuision; car il dit dans le liure qu'il a fait de la Sambuque, que la raison dont le demiton majeur surpasse le mineur, est celle de la diese Enharmonique, qui fait la cinquiesme partie du ton, et qui se rencontre entre 4l 2/3, et 42 2/3, ou presque entre 75 et 77, d'autant que 5 est quasi 76 fois en 384, et 75 fois precisément en 375; car la raison de 384 à 375 est la difference de ces deux demitons, laquelle estant reduite à ses termes radicaux, est de 125 à 128: mais cette diuision ne peut estre iuste, dautant que deux Dieses sont plus grandes que le demiton mineur, comme i'ay demonstré; et consequemment trois dieses surpassent le demiton majeur, puisque nous auons monstré que le majeur surpasse seulement le mineur d'vne diese; d'où il est aisé de conclure que cette diuision n'est pas bien faite, et qu'il n'en faut point chercher d'autre que celle qui se fait du ton mineur en deux demitons mineurs, et vne diese, et celle que l'on fait du ton majeur en demiton majeur et mineur, et vn comma; car on trouue le Systeme parfait par ces diuisions, qui viennent de la difference des degrez naturels de la Musique. L'on peut encore rencontrer plusieurs autres demitons dans le ton majeur, et dans le mineur, comme celuy qui est de 16 à 17, et de 17 à 18, qui diuise [-118-] le ton majeur, ou celuy de 18 à 19, et 19 à 20, qui diuise le ton mineur: mais ils ne sont pas en vsage, et ne viennent pas de la difference des Consonances, des Dissonances, ou des moindres interualles Harmoniques. Or i'expliqueray encore tous ces degrez dans les discours des differentes especes du genre Chromatic, Enharmonic, et Diatonic, que les Grecs ont proposé.

COROLLAIRE.

Ie repete plusieurs interualles de cette proposition dans celle qui suit, afin que l'on les entende plus parfaitement, et que les Praticiens mesme puissent comprendre la raison de ce qu'ils font; car bien qu'ils ne fassent point de fautes dans leurs compositions, et qu'ils employent vne partie des demitons, dont i'ay parlé, neanmoins ils n'en peuuent receuoir vn si grand contentement comme s'ils en sçauoient la raison, si ce n'est que la profonde connoissance de la Musique en diminuë le plaisir, et que le contentement que l'esprit reçoit de la speculation des raisons Harmoniques l'occupe tellement, qu'il n'y laisse point de place pour le plaisir sensible et corporel; car il semble que la capacité que nous auons d'estre touchez et affectez des voluptez sensibles, se diminuë à proportion que l'esprit s'addonne aux plaisirs intellectuels, et que les actions de l'entendement chassent et aneantissent peu à peu celles des sentimens, qui sont comme assoupis et endormis en ceux qui sont morts aux voluptez passageres, dont la mort est en grande estime enuers Dieu, suiuant la remarque qu'en fait le Prophete Royal dans ces paroles, Pretiosa in conspectu Domini, mors Sanctorum eius.

PROPOSITION III.

Expliquer les raisons des simples Dissonances qui se rencontrent dans la Musique.

La premiere Dissonance, à sçauoir la Seconde, ou le ton maieur, a sa raison de 9 à 8, et est la difference de la Quarte à la Quinte; car la raison sesquialtere est plus grande d'vne sesquioctaue que la raison sesquitierce; or il y a deux especes de ton, à sçauoir le maieur, dont ie viens de parler; et le mineur, dont la raison est sesquineufiesme, c'est à dire de 10 à 9, et est la difference de la Tierce mineure à la Quarte: Il y a semblablement deux Secondes mineures, que l'on appelle demiton maieur, et mineur: la raison du maieur est sesquiquinziesme de 16 à 15; et celle du mineur est de 25 à 24, c'est à dire sesquivingtquatriesme: Il y a vn autre demiton qui est le moyen entre le maieur et le mineur, et qui a sa raison de 135 à 128; il reste quand on a osté le demiton maieur du ton maieur, et surpasse le demiton mineur d'vn comma. Or ce demiton moyen se rencontre en nostre Musique, car le Triton qui est de F vt à [sqb] mi, surpasse la Quarte de F vt en b fa, de ce demiton moyen, qui est plus petit d'vn comma mineur que le demiton maieur. L'on peut encore establir d'autres demitons, comme comme celuy de 27 à 25, qui reste quand on a osté le demiton mineur du ton maieur, et celuy qui reste apres qu'on a osté deux tons maieurs de la Quarte, qui est de 256 à 243. Ie laisse plusieurs autres demitons, qui peuuent estre entendus par la table de cette proposition, et par celle de la precedente; car elle contient toutes les Dissonances, et la difference qu'il y a de l'vne à l'autre. Or la premiere colomne de cette table represente [-119-] les termes radicaux des Dissonances, dont le premier est le plus grand, et l'autre est le plus petit. La seconde contient la difference desdites Dissonances, de sorte que la dissonance qui contient le plus grand interualle, ou la plus grande raison, est plus grande que la moindre Dissonance de la raison qui constitue la difference; par exemple, le ton maieur qui est de 8 à 9, est plus grand que le ton mineur, qui est de 9 à 10, d'vn comma de 80 à 81, qui est la difference de ces deux tons.

Or l'on peut trouuer vne infinité d'autres petits degrez et interualles, qui viennent de la difference ou de la comparaison des vns aux autres, puis que chaque interualle peut estre diuisé à l'infiny: mais ceux que i'ay rapporté cy-dessus, et qui sont dans cette table, suffisent pour la parfaite connoissance de la Musique. Quant à ceux qui n'ont pas l'esprit propre pour comprendre l'origine et la racine des raisons, et qui ne peuuent rien entendre que par les notes, ou par la tablature ordinaire des Iustrumens, ils en peuuent receuoir l'explication par les notes de la Musique de ceux qui sont capables d'entendre les raisons, et se doiuent contenter de ce qui frappe les sens. Ce qui n'empeschera pas que ie ne propose la table qui suit, où l'on void les differences de plusieurs degrez, dont la pluspart seruent pour composer.

[Mersenne, Livre second des dissonances, 119; text: Dissonances, Differences, Ton majeur et mineur, Ton majeur et demiton mineur, Ton majeur et limma de Pythagore. Ton maieur et demiton mineur, Ton maieur et diese. Ton maieur et comma, Ton mineur et demiton maieur. Ton mineur et diese. Ton mineur et comma, Demiton maieur et mineur, Demiton maieur et diese. Demiton maieur et comma, Apotome de Pythagore, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 24, 25, 27, 80, 81, 125, 128, 135, 243, 256, 576, 625, 729, 790, 1024, 1125, 2048, 2187, presque] [MERHU2_4 01GF]

[-120-] [Mersenne, Livre second des dissonances, 120; text: Dissonances, Differences, Demiton mineur et diese, Demiton mineur et comma, Residu du ton majeur dont la diese est ostee, et le demiton moyen. Demiton moyen et comma. Demiton maxime et maieur, Quarte et deux demitons maieurs, Sesquiseptiesme et deux demitons mineurs. Sesquisexte et Tierce mineure. Apotome de Pythagore et demiton maieur. Ton mineur et deux demitons mineurs. Deux dieses, et demiton mineur. Deux demitons mineurs et le demiton maieur. Deux demitons majeurs et le ton majeur. Demiton mineur, et la diese, auec le comma. Deux comma, et la diese, Le comma de Pythagore auec le nostre, Comma, auec l'excez du semiton mineur sur le comma, et la diese. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 16, 24, 25, 27, 35, 36, 42, 43, 45, 50, 58, 59, 63, 64, 80, 81, 125, 128, 135, 225, 243, 250, 256, 625, 648, 2025, 2048, 2187, 3072, 3125, 6400, 6561, 15552, 15625, 16384, 19683, 20000, 30268, 32768, 32805, 77760, 78125, 390625, 393216, 531441, 524188, presque] [MERHU2_4 02GF]

Quant aux Dissonances maieures, le Triton est composé de la Tierce maieure, et du ton maieur; et sa raison est de 45 à 32: il est plus grand que la Quarte d'vn demiton moyen; car si au lieu de la Quarte, qui est de F à b fa, l'on fait le Triton, il faut laisser le demiton maieur, qui est d'A à b fa, pour prendre le ton maieur, qui est d'A à [sqb]: or le ton maieur surpasse le demiton maieur d'vn demiton moyen; de là vient qu'il est necessaire de faire ce demiton moyen, quand on passe du Triton à la Quarte, ou de la Quarte au Triton.

[-121-] La fausse Quinte est de 45 à 64; deux Tierces mineures estant adjoûtees sont de 25 à 36; le Semidiapente, et le demiton mineur, ou la Quarte auec te ton mineur, est de 27 à 40; le Semidiapente et le Triton different de 2043/2025, c'est à dire que la fausse Quinte surpasse autant le Triton, comme deux demitons majeurs surpassent le ton majeur, ou comme le demiton majeur surpasse le demiton moyen; mais les deux Tierces mineures surpassent la fausse Quinte d'vn comma majeur, (qui reste de la Diese, dont on a osté le comma mineur) et le Triton, d'vne Diese entiere; et consequemment les deux Tierces mineures surpassent autant la fausse Quinte, que la fausse Quinte surpasse le Triton.

La Quinte parfaite surpasse la fausse d'vn demiton moyen, par lequel il faut passer pour aller de l'vne à l'autre; le Semidiapente ajoûté au ton mineur est de 81 à 128. La Septiesme mineure est composee de la Quinte et de la Tierce mineure, et est de 5 à 9. La Septiesme majeure, qui est composee de la Quinte et de la Tierce majeure, est de 8 à 15. Il y a vne autre Septiesme, ou Heptachorde, qui est de 9 à 16, et est composee de deux Quartes; elle est moindre d'vn comma que la Septiesme mineure. La Quarte superfluë est composee de la raison de 27 à 20, et de celle de 4 à 5, et a sa raison de 16 à 27. La Sexte majeure ajoûtee au ton mineur est de 27 à 50, et la Sexte mineure ajoûtee au ton majeur est de 40 à 81. Il est tres-facile de trouuer toutes les autres Dissonances, comme les Neufiesmes, dont la majeure est composee de deux Quintes, qui sont de 4 à 9; et les mineures qui sont composees de la Quinte et du Triton, ou du Semidiapente; ou de l'Octaue et du demiton: mais plusieurs de ces Dissonances ne sont pas en vsage: or si l'on entend ce que nous auons dit des Consonances et des Dissonances, on trouuera toutes celles que l'on voudra iusques à l'infini; et l'on peut voir la table des 50 premieres Dissonances que i'ay donné dans la derniere proposition du liure precedent. Mais puisque la principale des Dissonances consiste dans le Ton, et que plusieurs l'ont composé d'vn certain nombre de commas, il faut determiner ce que l'on en doit tenir.

PROPOSITION VI.

Les Dissonances peuuent estre diuisees Arithmetiquement, Geometriquement, et Harmoniquement, aussi bien que les Consonances.

La premiere partie de cette proposition est tres-aisee, comme l'on void au ton majeur; car si on double 9 et 8, qui sont les termes de son interualle, l'on aura 16 et 18, entre lesquels 17 est le milieu Arithmetic. Il est facile de trouuer ce milieu Arithmetic de toutes les autres Dissonances, comme est 19 entre 18 et 20, qui diuise le ton mineur. La seconde partie depend de ce que nous auons dit des Consonances; car il faut trouuer le milieu Harmonic entre les Dissonances, comme nous l'auons trouué entre les Consonances, c'est pourquoy il suffit mainteuant de donner quelque exemple de la diuision Harmonique, d'vne ou de deux Dissonances, pour entendre la diuision de toutes les autres, sans qu'il soit besoin de repeter toutes les manieres de trouuer le milieu Harmonic, dont i'ay traité ailleurs. Il faut donc laisser le plus petit terme de la diuision Arithmetique, et trouuer vn troisiesme terme, qui ait mesme raison auec le dernier terme Arithmetic, qu'a le milieu Arithmetic auec le plus petit terme; par exemple, le premier [-122-] terme du ton majeur diuisé Arithmetiquement est 16, il faut donc que le milieu Arithmetic, à sçauoir 17, soit le premier terme de la diuision Harmonique, afin que 18 soit le milieu Harmonic, auec lequel 19 2/10, qui est le plus grand terme, a mesme raison que 17 à 16: et si l'on veut euiter les fractions, on aura des nombres entiers en multipliant tous les termes par 16, afin d'auoir 272 -- 288 -- 306 pour les trois termes de la diuision Harmonique du ton majeur. Mais il est encore plus facile de trouuer le milieu Harmonic, en adjoûtant les deux termes du ton majeur 8 et 9, qui font 17, lequel seruira de denominateur; et 8, qui est le moindre terme, sera le numeratenr; car 8 -- 8 8/17, 9 donnent la diuision Harmonique du ton majeur, laquelle on aura en nombres entiers, si on multiplie ces trois termes par 17, qui fon 136, 144, 153; car 144 qui est le milieu Harmonic, a mesme raison auec 136 et 157, que 8, 8 8/17, auec 8 et 9.

Or si l'on veut connoistre de combien les deux Dissonances qui viennent de cette diuision sont moindres ou plus grandes que le demiton majeur, ou mineur, il faut se seruir de la regle de proportion en cette maniere, si 15 donne 16, combien donne 136, on aura 141 11/15, par lequel on connoist que la raison de 144 à 136 est plus grande que celle de 15 à 16, (qui est égale à la raison de 141 11/15 à 136) et consequemment que la raison de 144 à 153 est moindre que celle de 16 à 15, car il y a mesme raison de 144 à 153 9/15, que de 16 à 15.

L'on sçaura enfin de combien vne raison est plus grande qua l'autre, si on multiplie les plus grands termes d'vne raison par les plus petits de l'autre; car le produit monstrera de combien la plus grande raison surpasse la moindre: par exemple, si on veut trouuer de combien la raison de 16 à 15 surpasse celle de 144 à 153, il faut multiplier 153 par 15, et 144 par 16, et l'on trouuera que le demiton majeur est plus grand que la raison de 144 à 153, de 2205/2504

COROLLAIRE.

Les Dissonances seruent à la Musique, encore qu'elles n'y entrent que par accident.

L'experience confirme ce corollaire, puisque lors que les Consonances suiuent les Dissonances, elles sont plus agreables, comme la lumiere plaist dauantage apres les tenebres, le doux apres l'aigre, le chaud apres le froid, et la santé apres la maladie; car la santé est comparee à l'Harmonie: or nous faisons beaucoup plus d'estat de la santé apres auoir experimenté la maladie. Ie ne veux pas icy donner l'vsage de ces Dissonances, ny expliquer comme il faut passer d'vne Consonance à vne Dissonance, dautant que cecy appartient à la pratique, dont nous parlerons ailleurs; il faut seulement remarquer que les Dissonances n'entrent dans les Compositions que par accident; car la Musique est principalement composee des Consonances, et les Dissonances ne seruent que pour leur donner de la grace, et pour les faire paroistre meilleures et plus agreables.

Et si nous comprenions les raisons de la Prouidence diuine, et les moyens qu'elle tient pour sa gloire, nous auoûrions que les desordres qui paroissent icy, embelissent l'Vniuers, et rendent tres-recommendable celuy qui les permet, comme les Dissonances enrichissent les Concerts, et font paroistre l'industrie et la science des Compositeurs.

[-123-] PROPOSITION VIII.

Demonstrer combien le Ton mineur et le maieur contiennent de commas, et en quel sens l'on peut dire que le ton mineur est plus grand que neuf commas, et que le ton maieur est plus grand que dix commas.

Plusieurs croyent que le ton majeur est composé de neuf commas, et consequemment que le ton mineur n'en a que huit, puis qu'il est moindre d'vn comma que le ton maieur; ce qu'il faut icy examiner, afin que l'erreur s'éuanoüisse, qui consiste à croire que les degrez ou interualles de la Musique sont composez de deux, ou plusieurs moindres degrez de mesme espece, comme il arriue au Ton, que quelques Praticiens pensent estre composé de deux demitons egaux.

Or pour voir clairement combien le ton mineur ou le maieur contient de commas, et combien il est moindre ou plus grand que 8 ou 9 commas, i1 faut ajoûter 9 commas ensemble, comme l'on void aux nombres qui suiuent à main droite et à gauche, dont ceux qui sont à gauche monstrent les huit multiplications du moindre terme du comma, à sçauoir de 80, et ceux qui sont à droit contiennent huit multiplications du plus grand terme, c'est à dire de 81; de sorte que les deux derniers termes de ces deux multiplications, à sçauoir 134217728000000000, et 150094635296999121 contiennent neuf commas; c'est pourquoy il faut oster le ton mineur de cette raison de neuf commas, afin de voir de combien il est moindre: ce que ie feray apres auoir donné les deux multiplications toutes entieres qui seruent de demonstration à ce sujet.

[Mersenne, Livre second des dissonances, 123; text: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 80, 6400, 512000, 40960000, 3276800000, 262144000000, 20971520000000, 1677721600000000, 134217728000000000, 6561, 81, 531441, 43046721, 3486784401, 282429536481, 22876792454961, 1853020188851841, 150094635296999121] [MERHU2_4 03GF]

Cecy estant fait l'on peut comparer la raison du ton mineur à la raison de neuf commas en deux manieres; premierement en considerant ces deux raisons d'inegalité mineure, ce qui se fait en mettant le moindre terme de la raison au premier [-124-] lieu pour le comparer au plus grand, comme il arriue au ton mineur, lors que l'on compare 9 à 10; et aux 9 commas, quand on compare 134217728000000000 à 150094635296999121. Secondement en comparant les plus grands termes aux moindres, c'est à dire 10 à 9, et 1500 et cetera à 1342 et cetera. Si l'on compare ces deux raisons en la premiere maniere, ie dis que la raison de 9 à 10 est plus grande que celle de 1342 et cetera à 15009 et cetera de la raison de 1350851717672992089 à 134217728000000000, parce que cette raison reste apres que l'on a osté la raison de 9 à 10 de la raison de 1342 et cetera à 15009 et cetera.

Et si l'on vse de fractions, l'on trouuera combien de fois 9/10, ou la raison de 9 à 10 contient 13421 et cetera/150094 et cetera, ou la raison de 1342 et cetera à 15009 et cetera en ostant le moindre nombre de la raison trouuee du plus grand, à sçauoir 1342 et cetera de 13508 et cetera car cecy estant fait l'on verra que 9/10, ou la raison de 9 à 10 est plus grande que les neuf commas, et qu'elle les contient vne fois, et en outre <.>674437672992089/134217728000000000. Et si l'on oste les 9 commas de la raison de 9 à 10, ou 13421 et cetera/15009 et cetera de 9/10, il restera la raison de 13421 et cetera à 13508 et cetera ou 13421 et cetera/13508 et cetera.

Mais si l'on compare ces deux raisons en la seconde maniere, c'est à dire si l'on fait comparaison des grands termes aux petits, à sçauoir de 10 à 9, et de 15009 et cetera à 13421 et cetera l'on trouuera apres auoir osté le ton mineur des neuf commas, que lesdits commas surpassent le ton mineur de la raison de 1350851717672992089 à 1342177280000000000: ce que ie demonstre en ajoûtant la raison de 10 à 9 à celle de 13508 et cetera à 13421 et cetera car la raison de 1350851717672992089 à 1207959532000000000 est egale à celle de neuf commas, comme l'on void aux nombres qui suiuent, où la reduction se fait en mesme denomination.

10 -- 1350851717672992089   13508517176729920890

à multipliez à

9 -- 1342177280000000000 12079595520000000000

Or pour ajoûter les raisons precedentes il faut multiplier 13508 et cetera par 10, et 13421 et cetera par 9, afin d'auoir la raison de 1350 et cetera à 1207 et cetera lesquels estans reduits en mesme denomination, ou en mesme nom que la raison des neuf commas, ou de 15009 et cetera à 1342 et cetera la raison se trouue egale, comme l'on void par l'operation qui suit, et que ie mets entiere, parce qu'elle sert de demonstration.

1350851717672992089   150094635296999121

à

1207959552000000000 134217728000000000

[Mersenne, Livre second des dissonances, 124; text: 150094635296999121, 1350851717672992089, 1207959552000000000, 134217728000000000, 300189270593998242, 10806813741383936712, 7504773176484995605, 2701703435345984178, 750473176484995605, 9455962023710944623, 94559620237109944623, 1050662447078993847, 5403406870691968356, 300189270593968242, 4052555153018976267, 150094639296999121, 181308248410966445147553792000000000] [MERHU2_4 03GF]

[-125-] Il n'est nullement necessaire de faire ces operations pour le ton maieur, dautant qu'il est certain qu'il surpasse le mineur d'vn comma de 80 à 81, et consequemment qu'il est moindre que 10 comma de la mesme raison que le ton mineur est moindre que 8 comma. Semblablement si l'on prend le ton maieur en la premiere maniere, c'est à dire comme vne fraction de 9/8, ou comme la raison de moindre egalité de 8 à 9, il surpassera 10 comma de la mesme façon que le ton mineur de 9 à 10 surpasse 19 comma. D'où il est aisé de conclure qu'il y a grande difference entre les comparaisons que l'on fait de deux, ou de plusieurs raisons, suiuant la differente disposition que l'on donne à leurs termes, et que c'est toute autre chose de comparer le moindre terme au plus grand, que le plus grand au moindre.

COROLLAIRE

Il est tres-aisé de trouuer combien chaque demiton contient de commas, puis qu'il faut seulement comparer la raison de 2, 3, 4, 5, ou 6 commas, auec la raison de chaque demiton, afin de sçauoir de combien chaque demiton sera plus ou moins grand que le nombre desdits commas, que nous auons ajoûtez ensemble dans la premiere table de cette proposition; et consequemment l'on peut trouuer combien l'Octaue contient de commas: car puis qu'elle est composee de trois tons majeurs, de deux mineurs, et de deux demitons maieurs, et que le ton mineur contient 8 comma, et le maieur neuf, il s'ensuit que les cinq tons contiennent 43 comma sans conter les restes de ce que chacun contient dauantage. Quant aux deux demitons, ils contiennent plus de neuf comma maieurs, puis qu'ils sont plus grands que le ton majeur d'vn comma mineur, et consequemment l'Octaue contient plus de 52 comma. Or pour sçauoir si ce qui reste de chaque ton auec le comma mineur, dont les deux demitons maieurs surpassent le ton maieur, fait vn ou plusieurs comma, il faut sextupler la raison de 1350851716672992089 à 1342177280000000000, dont les commas surpassent le ton mineur, et les 10 comma le ton maieur, et puis il faut luy adiouster le comma mineur, et voir de combien la raison composee des precedentes surpassera vn, 2, 3, ou plusieurs comma: et pour ce suiet il faut multiplier 6 fois 1350 et cetera par soy-mesme, et faire la mesme chose du nombre 1342 et cetera et adioûrer à cette raison sextuplee la raison du comma mineur: et finalement il faut reduire 2, 3, ou plusieurs comma en mesme denomination, afin de voir combien lesdites raisons adioûtees ensemble contiendront de commas. Mais cette difficulté merite la proposition qui suit, dans laquelle ie feray voir par vne autre maniere combien il entre de commas dans l'Octaue.

PROPOSITION V.

Determiner combien l'Octaue contient de commas, ou de combien de commas elle est composee.

Nous auons demonstré que chaque ton mineur contient 10 comma moins 8674417672992089/1342177280000000000, parce que les 10 comma surpassent ledit ton maieur dautant de parties: et consequemment le ton mineur contient 9 comma, moins vn mesme nombre de parties, parce qu'il est moindre que le ton mineur d'vn comma. D'ou [-126-] il s'ensuit que les 4 tons maieurs contiennent 40 comma, qui auec les 2 mineurs, qui ont 18 comma, font 58 comma, moins 52046626037552534/1342177280000000000, c'est à dire moins la fraction precedente multipliee par 6, à raison des 4 tons maieurs, et des 2 mineurs, dont chacun est surpassé desdites parties. Or outre ces tons il y a encore le comma mineur, qui est de 2025 à 2048, cest à dire 2025/2048, si on le met en fraction; de laquelle si l'on oste la fraction precedente 52046 et cetera/17421772 et cetera, il restera 2611317501874293210368/2748779069440000000000, qui est l'excez de l'octaue par dessus les 58 comma: et parce que cette fraction surpasse la moitié du comma maieur, l'Octaue approche plus prez de 59 comma que de 58.

PROPOSITION VII.

Determiner si la fausse Quinte est plus grande que le Triton, et de combien; où plusieurs degrez et interualles, qui seruent pour entendre le genre Diatonic, sont expliquez.

Ces deux interualles sont si semblables qu'on les prend quasi l'vn pour l'autre, et l'on rencontre fort peu de Musiciens qui en counoissent la difference; c'est pourquoy ie la veux expliquer dans cette proposition. Il faut donc premierement remarquer que le Triton se rencontre depuis F fa vt iusques au [sqb] mi, et que c'est ce qu'on appelle le fa contre le mi; or il se chante par ces notes, Fa, sol, re, mi, et contient trois tons, dont le premier, qui est de fa à sol, et le troisiesme, qui est de re à mi, sont majeurs; et le second, qui est de de sol à re, est mineur. La raison de cet interualle est de 32 à 45, et est composee de la raison souzsesquiquarte de 4 à 5, et de la raison souzsesquioctaue de 8 à 9, c'est à dire de la Quarte, et du ton majeur.

Mais la fausse Quinte est du mi d'E la mi au Fa de b fa, et se chante ainsi, Mi, fa, sol, la, fa; par consequent elle contient deux tons, dont le majeur est de fa à sol, et le mineur de sol à la: et deux demitons majeurs, dont le premier est de mi à fa, et le second de la à fa; car ces deux demitons sont egaux. Or deux demitons majeurs surpassent le ton majeur, et consequemment la fausse Quinte, qui contient deux tons et deux demitons majeurs, est plus grande que le Triton, qui contient trois tons. Il faut donc voir de combien la fausse Quinte est plus grande: ce que l'on connoistra, si on sçait de combien deux demitons majeurs sont plus grands que le ton majeur, qui est composé du demiton majeur, du mineur, et du comma; ou du demiton majeur, et du moyen, qui contient le demiton mineur, et le comma; car la fausse Quinte surpasse autant le Triton, comme le demiton majeur surpasse le demiton moyen; il faut donc oster le demiton moyen du majeur, et le residu sera la difference de l'vn et de l'autre. Or la raison du demiton maieur est de 15 à 16, et celle du moyen de 128 à 135, laquelle estant ostee de la raison sesquiquinziesme, donne la raison de 2025 à 2048, qui est moindre que le comma; car elle est presque de 88 à 89, et le comma est de 80 à 81, lequel est la difference du demiton mineur et du moyen.

Et si l'on veut connoistre de combien la difference de la fausse Quinte au Triton est moindre que le comma, ou de combien le comma est plus grand que ladite difference, il la faut souztraire du comma, et le residu donnera la raison de [-127-] 164025 à 164040, par laquelle le comma surpasse la difference de la fausse Quinte, et du Triton.

Mais on ne peut pas facilement apperceuoir cette difference dans la pratique, puis qu'elle est moindre que le comma, et que l'on ne peut quasi discerner le ton majeur d'auec le mineur, le demiton moyen d'auec le mineur, le demiton Pythagoric d'auec le majeur, et le majeur d'auec le maxime, parce que ces demitons sont seulement plus grands les vns que les autres d'vn comma.

Or l'on peut nommer la difference du demiton majeur, et du moyen, c'est à dire la difference du Triton et de la fausse Quinte, Comma mineur; car comme le demiton mineur est la moindre partie du ton mineur, et le demiton majeur en est la plus grande, de mesme quand on diuise la diese, qui est de 125 à 128, en deux interualles, le moindre est le comma mineur, c'est à dire la difference de la fausse Quinte et du Triton; et le plus grand est le comma majeur: ce qu'il faut remarquer soigneusement, dautant qu'il est necessaire d'entendre tous ces interualles pour sçauoir parfaitement le genre Diatonic, puis qu'ils se rencontrent aux differences des degrez, et des interualles Diatoniques; comme il est necessaire d'auoir la connoissance de la difference de l'ame raisonnable à celle des bestes, pour entendre parfaitement ce qui appartient à l'ame de l'homme. Mais ie traiteray encore de ces petits dègrez et interualles dans le liure de la composition: car ie veux maintenant comparer le Triton auec la Quarte, apres auoir donné vn exemple de la fausse Quinte, qui est l'vne des plus mauuaises relations de la Musique, et qui se rencontre en passant de la Tierce mineure à vne autre Tierce mineure, comme l'on void en ces deux exemples;

[Mersenne, Livre second des dissonances, 127; text: I. II.] [MERHU2_4 03GF]

car la 1 note du dessus et la 2 de la Basse du 1 exemple, et la 1 note de la Basse et la 2 du dessus du 2 exemple, font la fausse Quinte.

PROPOSITION VIII.

Determiner si le Triton surpasse dauantage la Quarte, que la Quinte parfaite ne surpasse la fausse Quinte, que l'on appelle Semidiapente.

Puisque le Triton est composé de deux tons majeurs et d'vn mineur, et que la Quarte est composee d'vn ton mineur, d'vn majeur, et d'vn demiton majeur, il s'ensuit que le Triton est plus grand que la Quarte d'vn demiton moyen; qu'il faut ajoûter à la Quarte pour faire le Triton. Or la Quinte parfaite est semblablement plus grande que la fausse Quinte du mesme demiton moyen, dautant qu'elle a le demiton majeur au lieu où la Quinte parfaite a le ton maieur, qui surpasse le demiton maieur d'vn demiton moyen, qui sert de degré pour passer du Triton à la Quarte, et de la Quinte iuste à la fausse Quinte.

Mais il faut remarquer que le Triton est la fausse relation, laquelle se rencontre dans plusieurs passages qui se font d'vne Consonance à l'autre, comme quand on fait deux Tierces maieures de suite par mouuemens semblables, tant en montant qu'en descendant, comme l'on void dans le premier exemple, dans lequel les deux premieres notes font la Tierce maieure, vt, mi, et les deux dernieres, re et [-128-] fa, (qui est haussé d'vn demiton moyen par la diese) font encore vne autre Tierce maieure; car la premiere note de la Basse fait la relation du Triton contre le fa du Dessus.

[Mersenne, Livre second des dissonances, 128; text: I, II, III] [MERHU2_4 03GF]

L'on void encore la mesme relation dans le 2 exemple et dans le 3. Mais parce que les Praticiens ne connoissent pas le demiton moyen, encore qu'ils en vsent souuent, ie veux icy demonstrer que le Dessus fait ce demiton dans le premier exemple, c'est à dire que la Diese fait monter le fa d'vn demiton moyen, et consequemment que le Dessus fait l'interualle du ton maieur; car puisque la 5 note que i'ay mise la derniere, c'est à dire le mi de la Basse fait la Quinte contre ledit fa du Dessus, et la Quarte contre la premiere note du mesme Dessus, c'est à dire contre le la, il est necessaire qu'il y ait vn ton maieur de ce la au fa, auec lequel ledit mi feroit la fausse Quinte, si la Diese n'y estoit point.

Et si cette Diese ne faisoit point monter le fa que d'vn demiton mineur, comme croyent quelques-vns, la relation ne seroit pas du Triton majeur, dont nous parlons icy, mais du mineur, dont la raison est de 25 à 28, qui est moindre d'vn comma que la raison du Triton majeur; et pour lors il y auroit vne fausse Quinte majeure du mi à ce fa, dont la raison est de 40 à 27, qui est moindre d'vn comma que la Quinte, et consequemment cette fausse Quinte surpasseroit le Triton ordinaire d'vn demiton Pythagorique, que les Grecs appellent Limma, dont la raison est de 256 à 243, lequel est moindre d'vn comma que nostre demiton majeur, qui surpasse autant le limma, comme le demiton moyen surpasse le mineur. Si ladite Diese du premier exemple faisoit monter le fa d'vn demiton majeur, il y auroit vne Quinte minime superfluë dudit mi au fa, c'est à dire plus grande que la Quinte parfaite d'vn comma mineur; et pour lors le Triton, et la fausse Quinte ordinaire seroient vne mesme chose.

Il faut donc conclure que les Praticiens se trompent quand ils croyent qu'il y a vn demiton mineur ou majeur du Triton à la Quarte, ou du fa de b au mi de [sqb], ou de la fausse Quinte à la Quinte parfaite; car ce demiton est plus grand que le demiton mineur d'vn comma majeur; et plus petit que le demiton majeur d'vn comma mineur, puisque la Diese, qui est la difference du demiton majeur et du mineur, est composee du comma majeur et du comma mineur.

Mais cette difficulté sera encore expliquee dans la proposition qui suit, dans laquelle ie monstre que les deux Tierces mineures estant adjoûtees ensemble, sont plus grandes que la fausse Quinte.

PROPOSITION IX.

Les deux Tierces mineures, que l'on peut prendre aux mesmes lieux que la fausse Quinte, à sçauoir du mi de la mi, au fa de b fa, ou du mi de [sqb] mi, au fa de F vt fa, sont plus grandes d'vn comma majeur que la fausse Quinte, par consequent elles surpassent dauantage la fausse Quinte, que la fausse Quinte ne surpasse le Triton.

La raison de cette verité est si claire qu'il n'est quasi pas besoin de l'expliquer; car chaque Tierce mineure contient vn ton majeur et vn demiton majeur, par [-129-] consequent les deux Tierces estant adjoûtees dans vn mesme interualle contiennent deux tons majeurs, et deux demitons majeurs; or la fausse Quinte contient seulement vn ton majeur, vn ton mineur, et deux demitons majeurs; car elle n'est differente de la Quinte parfaite qu'à raison qu'elle a le demiton majeur au mesme lieu où l'autre a le ton majeur: de là vient que l'interualle des deux Tierces mineures surpassent la fausse Quinte d'vn comma majeur; et consequemment elles surpassent le Triton du comma majeur et du mineur, c'est à dire de la Diese. On peut appeller ces deux Tierces la fausse Quinte majeure, dautant qu'elle approche plus pres de la Quinte parfaite, dont elle n'est differente que du demiton mineur; mais la Quinte parfaite surpasse la fausse Quinte mineure d'vn demiton moyen, qui est plus grand d'vn comma majeur que le demiton mineur. Or la raison de ces deux Tierces mineures est de 36 à 25, comme celle de la fausse Quinte est de 64 à 45, et celle du Triton de 45 à 32. Ce n'est pas que ie croye que l'oreille des Praticiens ne soit assez subtile, ny assez sçauante pour iuger de ces differences, mais il faut aussi bien satisfaire à la raison et à l'esprit qu'à l'oreille, qui iuge trop legerement des sons et de leurs differences, au lieu que la raison en iuge tres-exactement et tres-fidellement, sans qu'elle puisse estre surprise, ou deceuë aux moindres differences des sons, et de leurs raisons, et interualles

Or il faut remarquer que quand on a la raison ou les termes d'vne Dissonance, qu'il est aisé de trouuer la raison ou interualle qui acheue l'Octaue; car il faut seulement doubler l'vne des extremitez, qui fera l'autre Consonance auec le terme du milieu; par exemple, puisque la raison des deux Tierces mineures est de 36 à 25, si on double 25 on aura 50, qui acheue l'Octaue auec la raison qui est de 36 50, ou de 18 à 25, qui fait le Triton mineur: mais ie parle plus amplement de ces diuisions dans vn autre lieu.

PROPOSITION X.

Determiner si les Dissonances sont aussi desagreables que les Consonances sont agreables: où l'on void pourquoy la douleur est plus sensible que la volupté.

Puisque nous traitons des Dissonances apres auoir parlé des accords, il est raisonnable de les comparer ensemble, afin que leur nature et leurs proprietez soient mieux entenduës, comme il arriue à tous les contraires, dont l'opposition mutuelle leur sert de lumiere: or les Consonances n'ont rien qui s'oppose dauantage aux Dissonances que leur agréement, qui vient de leur vnion, c'est pourquoy ie les compare dans cette proposition en ce qu'elles ont d'agreable, ou de desagreable. Et parce que les Consonances font la principale partie de l'Harmonie, par qui toute la Musique doit estre reglee, elles doiuent seruir de regle pour iuger des Dissonances, comme la ligne droite sert pour iuger des lignes obliques: de là vient que les artisans prennent le Diapason pour la regle de tous les Instrumens de Musique, dautant qu'il contient les autres Consonances.

Cecy estant posé, ie dy premierement que les Dissonances qui ont autant de [-130-] battemens d'air separez que les Consonances en ont de conjoints, sont aussi desagreables comme lesdites Consonances sont agreables, puisque la douceur, ou la rudesse des sons differents que l'on oyt en mesme temps, se doit prendre de l'vnion ou de la desunion des battemens de l'air, qui font lesdits sons, comme i'ay monstré dans le liure precedent.

Secondement, ie dy qu'il n'y a point de Dissonance qui ne soit plus desagreable que la meilleure des Consonances n'est agreable, si l'on excepte l'Vnisson, dautant que chaque Dissonance a plus de battemens d'air qui ne s'vnissent point, que les Consonances n'en ont qui s'vnissent;

[Mersenne, Livre second des dissonances, 130; text: A, B, C, D, E, F] [MERHU2_4 03GF]

car l'Octaue qui est la plus excellente, n'vnit que 2 de ses battemens, pendant que la Seconde majeure a 7 battemens qui ne se rencontrent point, comme l'on void és 3 chordes A B, C D, et F E, dont A B tremble 8 fois, tandis que C D, auec qui elle fait la Seconde majeure, ou le ton majeur, tremble 9 fois, et que F E, auec qui elle fait l'Octaue, tremble 16 fois; de sorte que les tremblemens d'A B ne s'vnissent qu'au 9 tremblement de C D, pendant que les 8 tremblemens d'A B s'vnissent 8 fois auec les tremblemens d'F E. Ce qui fait voir de combien la douceur de l'Octaue est plus grande que la rudesse de la Seconde majeure. D'où l'on peut aisément conclure de combien chaque Dissonance est plus desagreable que chaque Consonance n'est agreable, puis que cela dépend seulement de la plus grande multitude des tremblemens qui s'vnissent, ou qui sont desunis tant dans les Consonances que dans les Dissonances.

Or il semble que l'on peut conclure de ce discours que le mal est ordinairement plus deplaisant que le bien n'est agreable, comme l'on experimente aux douleurs et aux ennuis, qui donnent beaucoup plus de mescontentement, et sont beaucoup plus sensibles et plus cuisans, que les voluptez du corps et de l'esprit n'apportent de plaisir et de contentement; car nulle volupté ne peut estre si grande que la douleur de la cholique nefretique, ou que celle qu'endurent les criminels qui sont roüez tout vifs: ce qui a fait croire à quelques-vns que le mal est plus puissant que le bien: en effet il n'y a point de volupré dans ce monde, pour excessiue qu'elle puisse estre, que l'on ne quitte tres-volontiers pour euiter lesdites douleurs, ou plusieurs autres semblables; ce qui tesmoigne que la grandeur des douleurs excede celle des plaisirs. Ce qui se doit entendre des plaisirs corporels; car quant à ceux de l'esprit, particulierement lors qu'il s'attache aux plaisirs éternels qui nous sont promis, et que Dieu nous prepare de toute éternité, les Martirs ont fait voir qu'ils sont beaucoup plus grands que ne sont toutes sortes de douleurs.

Mais si nous demeurons dans les plaisirs qui dependent des organes du corps, l'experience nous apprend que les deplaisirs sont plus sensibles que les plaisirs, comme l'on void aux mauuaises odeurs qui penetrent iusques au cerueau, et dont on ne peut se preseruer par le moyen des meilleures odeurs, qui se corrompent aisément par le meslange des mauuaises, quoy que l'on mesle fort peu de celles-cy auec vne grande quantité de celles-là. Ce qui arriue semblablement aux Dissononces, dont la moindre peruertit tellement les meilleures Consonances, que l'on n'en reçoit plus rien que du deplaisir, comme l'on experimente à l'Octaue, auec laquelle on joint la Seconde pour faire la Neufiesme.

[-131-] Où il faut remarquer que toutes choses ont coustume de se corrompre dautant plus aisément qu'ellent sont plus excellentes, comme il arriue a l'Octaue qui degenere en Dissonance par l'addition du Ton: ce qui n'arriue pas à la Quarte, qu'il rend meilleure, parce qu'il la conuertit en Quinte, et la Quinte en Sexte majeure, quoy que ces differentes mutations arriuent à cause de la moindre, ou de la plus grande vnion qui se fait des battemens de l'air, lors que l'on adjoûte la seconde majeure, et non en vertu de ladite Seconde, qui change entierement de nature auec toutes les autres Consonances, excepté auec l'Octaue, qui seule auec ses repliques a le priuilege de conseruer la nature, et les proprietez des Consonances et des Dissonances.

Or la raison pourquoy les desplaisirs et les douleurs nous sont plus sensibles que les plaisirs et la volupté, se doit prendre de ce que les douleurs nous destruisent, et nous font en quelque façon retourner dans le neant, dont nous sommes tirez, et de ce que nous receuons les biens et les plaisirs comme choses qui sont conformes à nostre nature, et qui nous sont deus: et puis la volupté ne nous apporte pas tant de perfection ny tant de profit que la douleur nous apporte de dommage, parce que la douleur corrompt tellement les parties du corps, ausquelles elle s'attaque, que nous sommes contraints d'en porter les cicatrices, ou que nous en receuons plusieurs autres incommoditez: mais la volupté n'apporte nulle perfection aux parties du corps qui la reçoiuent, et passe soudainement sans laisser aucun vestige.

D'abondant la volupté est quasi tousiours amoindrie par plusieurs autres diuertissemens et considerations, et ne dure pas si long temps que la douleur. Et mesme si on la considere de bien prez, l'on trouuera qu'elle est souuent accompagnee de quelque douleur; car elle altere le corps, et ne laisse point apres soy de marques plus frequentes que le dedain et le degoust, qui la fait souuent haïr et abhorrer.

Ce qui a fait trouuer la maxime de la Philosophie, qui enseigne que le bien ne peut estre produit que par la rencontre de toutes ses causes et ses circonstances, et que le mal vient des moindres fautes, Bonum ex integra causa, malum ex quolibet defectu.

De là vient que si le Compositeur fait vne seule faute dans ses compositions de Musique, qu'elles sont méprisees, et que les Dissonances donnent plus de mescontentement, que les Consonances n'apportent de plaisir; de sorte qu'il semble que le desordre fait plus de mal que l'ordre ne fait de bien, si nous demeurons dans le sensible, et dans le mesme genre.

Mais si nous considerons l'ordre diuin dont Dieu dispose toutes choses selon sa volonté, il est sans doute plus puissant que le desordre des creatures, dont il tire des auantages pour faire paroistre sa sagesse et sa puissance, en tirant le bien du mal, et en conduisant à l'ordre ce que nous mettons en desordre. En quoy il semble que les Compositeurs imitent la Sagesse diuine, lors qu'ils se seruent si dextrement des Dissonances, qu'elles apportent de grands ornemens à la Musique.

COROLLAIRE

La plus grande prudence dont l'homme puisse vser, consiste à tirer le bien du mal, et de menager tellement ses fautes, ou celles d'autruy, qu'il en tire des auantages [-132-] pour se conuertir plus puissamment à Dieu, qui nous doit particulierement seruir d'exemple en ce qu'il tire le bien du mal, afin que nous soyons les vrais enfans d'vn si bon Pere, et qu'il n'y ait nul poison dont nous ne tirions des remedes pour soulager nos miseres, pour recueillir les roses au milieu des espines sans nous blesser, et pour remporter la palme dans les combats.

PROPOSITION XI.

Expliquer les interualles Harmoniques consonans et dissonans qui ne peuuent s'exprimer par nombres.

Il est certain que nulle raison de celles qui sont entre deux termes incommensurables ne peut estre exprimee par nombres, puisque tous les nombres ont l'vnité pour leur commune mesure; d'où il arriue que nuls interualles Harmoniques ne peuuent s'expliquer par aucuns nombres, lors que l'on diuise l'Octaue en 6 tons, ou en 12 demitons égaux, comme ie fais dans le premier, le 2, et le 4 liure des Instrumens, où ie mets le Monochorde d'égalité.

[Mersenne, Livre second des dissonances, 132; text: Demitons égaux, Demitons inégaux. I, II, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, A, B, C, D, E, F, G, [x]c, [x]d, [x]f, [x]g, 100,000. Demiton majeur, 105946, 106666 2/3, moyen, 112246, 112500, majeur, 118921, 120,000. mineur, 125993, 125000. 133481, 133333 1/3, 141422, 140947 5/9, 149830, 150,000, 158741, 160000, 168179, 166666 2/3, 178172, 177777 7/9, 188771, 187500, 200,000.] [MERHU2_4 04GF]

Or il est assez difficile de sçauoir si Aristoxene a vsé de cette diuision; car encore qu'il parle de tons et de demitons égaux, et qu'il diuise le ton en 24 parties, neantmoins il semble qu'il donne tousiours la raison sesquialtere au Diapente, et la sesquitierce au Diatessaron: ce qui empesche de conclure absolument qu'il ait vsé des vnze moyennes proportionnelles entre les deux qui sont en raison double pour faire le Diapason diuisé en 12 demitons égaus, ou des 23 moyennes pour le diuiser en 24 dieses, ou seulement de 5 moyennes pour le diuiser en 6 tons.

Quoy qu'il en soit, ces tons, ces demitons, ces dieses, et les Consonances qui en sont composees, approchent si pres de ceux que i'ay expliqué par nombres, que l'oreille n'en peut quasi remarquer la difference, comme il est aisé de prouuer par ces deux colomnes de nombres, dont la premiere en contient 13, qui sont [-133-] en continuelle proportion Geometrique; car l'vnité ne manque pas à chaque nombre proportionel, c'est à dire qu'il s'en faut moins qu'vn qu'il ne réponde aux 13 lignes continuellement proportionnelles, dont les deux extremes sont en raison double; et les autres nombres monstrent les iustes interualles consonans et dissonans, suiuant les raisons que i'ay expliqué dans ces deux liures: de sorte que cette diuision de l'Octaue, qui est de 100,000 à 200,000, peut suffire pour toutes sortes de Musiques, tant des Voix que des Instrumens: car si l'on veut la iustesse, on la void en la 2 colomne, qui diuise le diapason en 7 demitons majeurs, en 3 moyens, et en 2 mineurs: et si l'on desire l'égalité de tous les demitons égaux, dont chacun est moindre que le majeur, et plus grand que le mineur, on la void aux nombres qui sont vis à vis de [sqb], dont celuy de la 2 colomne surpasse celuy de la 1, et consequemment la raison de 100,000 à 106666 2/3 surpasse celle de 100,000 à 105946.

Mais le demiton mineur est fait par le nombre 104166 2/3: et si l'on veut mettre le demiton moyen, l'on aura le nombre 105468 3/4, lequel fait vn interualle vn peu moindre que le demiton égal, qui est seulement plus grand d'vne deux cent vingt et deuxiesme partie, ou enuiron; comme le demiton majeur est plus grand que l'égal d'vne 148 partie. Or cette proposition nous seruira pour entrer dans le traité des Genres de Musique, dont le premier peut estre appellé Diatonic égal, suiuant les nombres de la premiere colomne, puisque la Quarte qui est depuis 200000 iusques à 149830, est composee de deux tons égaux, qui sont de C à D et de D à E, et de la moitié d'vn ton égal, que l'on void d'E à F.

Il est aisé de dresser vne table de la repetition de toutes les Consonances, et des Dissonances suiuant les raisons d'égalité, comme nous auons fait cy-deuant selon les raisons exactes; et de voir combien la Quinte, la Quarte, et les autres accords pris dans la iustesse de la seconde colomne, different des accords de la 2. colomne: c'est pourquoy i'ajoûte seulement que le ton majeur surpasse l'égal d'vne 442 partie, et que l'égal surpasse le mineur d'vne 98 partie, de sorte qu'il en est plus éloigné que du mineur: or il n'y a point d'oreille qui puisse aperceuoir ces petites differences, puisque les plus subtiles ont de la peine à distinguer le comma, quoy qu'il ne soit que la neufiesme partie du ton majeur.

ADVERTISSEMENT.

Puisque i'ay traité du mouuement des corps dans le liure des mouuemens, et des Consonances dans le liure precedent, et des Dissonances dans celuy-cy, et que plusieurs tiennent que les sons acquierent autant de degrez d'aigu que les mouuemens des mobiles acquierent de vitesse, ie veux finir ce liure par la proposition qui suit, dans laquelle ie monstre de quels endroits les pierres, ou les autres corps pesans doiuent tomber pour faire toutes sortes de Consonances et de Dissonances és lieux où ils se doiuent rencontrer en descendant: ce qui sera fort aisé à comprendre apres que l'on aura leu le liure des mouuemens, et retenu la proportion des vitesses des mobiles vers le centre. Ie suppose seulement icy que les corps soient capables de descendre aussi viste les vns que les autres, et qu'ils soient de mesme grosseur, afin qu'il ne suruienne aucune difficulté dans les supputations.

[-134-] PROPOSITION XII.

Determiner de quels lieux les poids doiuent tomber pour faire telles Proportions Harmoniques, et tels Accords, ou Discords que l'on voudra, lors qu'ils se rencontrent vis à vis les vns des autres.

Si la doctrine d'Aristote est veritable, à sçauoir que le son est dautant plus aigu qu'il se fait par vn mouuement plus viste, ou si les reflexions, et boüillons de l'air sont dautant plus frequens que les mobiles se meuuent plus viste, l'on peut donner les lieux d'où ils doiuent tomber pour faire des bons accords: car si, par exemple, le poids fait 500 toises 10", et que l'autre en fasse 600, les autres 750, 800, 900, 1000 et 1200 durant les 10", et qu'ils fassent des sons à proportion de leur vitesse, ils feront toutes les Consonances; parce que celuy qui fait 500 toises fera l'Octaue auec celuy qui en fait 1000, comme celuy qui en fait 600 auec celuy qui en fait 1200. Et puis 500 auec 750, 600 auec 900, et 800 auec 1200 feront la Quinte: 600 auec 800, 750 auec 1000, et 900 auec 1200 feront la Quarte: 600 auec 750, et 800 auec 100 feront la Tierce majeure: 500 auec 600, 750 auec 900, et 1000 auec 1200 feront la Tierce mineure: 800 fera le ton majeur auec 900: et 900 fera la Sexte majeure auec 1000: et 500 auec 800, et 750 auec 1200 feront la Sexte mineure.

Or pour trouuer ces differents espaces en mesme temps, et cette proportion de vitesses, ie prends l'espace que fait le poids en 40", à sçauoir 3200 toises; et considere qu'aux 10 premieres secondes il fait 200 toises, aux dix secondes, 600, aux troisiesmes 1000, et aux dernieres 1400. En apres ie regarde de quelle distance, et en quel temps le poids doit choir pour faire 500 toises en 10", et parce qu'il tombe 200 toises aux 10 premieres, et 600 aux 10 suiuantes, il faut prendre le temps partie dans les 10 premieres, et partie dans les 10 suiuantes: et parce que 500 est plus pres de 600 que de 200, il faut plus prendre de temps dans les 10, esquelles le poids tombe 600, que dans les 10, esquelles il ne chet que 200: C'est pourquoy ie prends la distance de 2 à 5, c'est à dire 3, qui valent 3/4, parce que la distance de 2 à 6 est 4, et celle de 5 à 6 est 1, qui reuient à 1/4 que ie prends dans les premieres 10", et 3/4 dans les suiuantes: de sorte que quand le poids sera tombé 7" 1/2, il tombera de 500 toises en 10", depuis 7" 1/2 iusques à 17" 1/2, parce que depuis 7" 1/2 iusques à 10", il fera 87 1/2 toises; et de 10" à 12" 1/2 112 1/2 toises; de 12" 1/2 à 15", il en fera 137 1/2; et de 15" à 17" 1/2 il en fera 162 1/2, lesquelles estant ajoûtees font 500 toises et sera desia tombé 112 1/2 toises quand il commencera lesdites 500 toises; et 612 1/2 à la fin desdites 500 toises.

Quand le poids sera tombé 200 toises en 10", aux 10" suiuantes il en fera 600.

Par mesme moyen l'on trouuera que quand le poids sera cheu 13" 3/4, il fera 750 toises aux 10" suiuantes, à sçauoir iusques à 23" 3/4, et cherra 378 1/8 toises en 13" 3/4, et 1128 1/8 en 23" 3/4.

Quand le poids sera cheu 450 toises pendant 15", les 10" suiuantes, à sçauoir iusques à 25", il cherra 80 toises, qui sera en tout 1250 toises en 25".

Il fera 900 toises en 10" depuis 17" 1/2 iusques à 27" 1/2, et sera cheu 612 1/2 toises en ces 17" 1/2, et au bout des 27 1/2 il en aura fait 1513 1/2.

Quand il sera cheu 800 toises en 20", aux 10" suiuantes iusques à 30" il fera 1000 toises.

[-135-] En fin depuis 25" iusques à 35" il fera 1200 toises; aux 25" il aura fait 1250, et aux 35", 2450.

Il faudra donc que le lieu d'où on laira choir le premier poids soit haut de 2450 toises; et 5" apres il faut laisser choir le deuxiesme poids de 1900 toises; 2" 1/2 ou 1/8 de minute apres le premier poids, il en faut laisser choir vn autre de 1662 1/2 toises, qui fera 900 toises en 10"; 2" 1/2 ou 10" apres le premier, il en faut laisser choir vn autre de 1450 toises qui fera 800 toises en 10": l" 1/4 ou 11" 1/4 apres le 1, il faut laisser choir vn de 1353 1/8 toises, qui fera 750 toises en 10"; 3" 3/4, ou 15" apres le 1, il faut le laisser choir de 1100 toises, qui fera 600 toises en 10". Finalement il faut laisser choir le dernier 2" 1/2, ou 17" 1/2 apres le premier poids de 962 1/2 toises, qui fera 500 toises en 10", apres estre cheu 112 1/2 toises.

7" 1/2 apres que le dernier poids commencera sa cheute, ils commenceront tous à tomber d'vne vistesse proportionneé; mais à cause que cette proportion ne se trouue qu'en vn point, ce ne sera n'y au commencement ny à la fin des 10", mais au milieu, à sçauoir quand le 1 poids sera cheu d'vne demi-minute, le 2 de 25", le troisiesme de 22" 1/2, le quatriesme de 20", le cinquiesme de 18" 3/4, le sixiesme de 15", et le dernier de 12" 1/2: et lors ils seront tous à 650 toises de la terre, et iront d'vne vitesse proportionnee; les lieux d'où on doit laisser choir les poids estant tellement disposez qu'ils se rencontreront en ce point où ils iront d'vne vitesse proportionnee, et seront tous à 50 toises plus haut que le milieu du chemin qu'ils doiuent faire aux dernieres 10". L'exemple monstre tout cela aux poids qui font 600, 800, 1000, et 1200 toises en 10". Celuy qui fait 600, qui est le sixiesme, aura fait 450 toises en 15", lesquelles ajoûtees à 1350 toises, qui est le nombre des toises dont on l'a laissé choir plus bas que le premier, donnent la somme de 1800. Le quatriesme qui fait 800 estant cheu de 20" aura fait 800 toises. Or on a laissé choir ledit poids de 1000 toises plus bas que le premier, et 1000 et 800 font 1800 toises. Le second poids qui fait 1000 toises cheant pendant 25", fera 1250 toises, qui auec 550 toises dont il est cheu plus bas que le premier, font 1800: le premier en 30" fait 1800 toises; ce qui monstre qu'ils seront tous egalement eloignez du lieu où on a laissé choir le premier poids, et à 650 toises de la terre.

Il faut maintenant voir leur vitesse en ce moment. Depuis la 14 iusques à la 15", le 6 poids fera 58 toises, et de la 15 à la 16, 62, comme l'on peut voir en la table: or le milieu d'entre 58 et 62 est 60, qui conuient à l'instant de la 15", laquelle est entre 14" et 16", et est le chemin qu'il feroit en vne seconde, s'il ne changeoit point la vitesse qu'il a acquise audit instant; et la mesme mesure se trouueroit si on calculoit iusques aux Quartes et Quintes; car on trouueroit perpetuellement vn peu moins que 60 toises en vne seconde deuant 15", et vn peu plus apres 15".

L'on trouuera donc que le 4 poids aura en la 20" vne vitesse capable de faire 80 toises: le 2 de faire 100 toises en la 25, et le premier de faire 120 en la 30. Or lesdits nombres 60, 80, 100, et 120 sont en la proportion requise.

Si l'on vouloit sçauoir la proportion de leur vitesse au commencement des 10", on trouueroit que le premier poids apres 25" auroit acquis vne vitesse capable de faire 100 toises en vne seconde. Le second apres 20" feroit 80 toises en 1": le 4 apres 15" feroit 60 toises en vne seconde: le 6 apres 10" feroit 40 toises en vne seconde: partant leur vitesse seroit en proportion comme 10, 8, 6, 4, et feroient l'Octaue, la Quinte, la Quarte, la Tierce maieure, et la Sexte majeure.

[-136-] [Mersenne, Livre second des dissonances, 136; text: Table des cheutes dans chaque seconde. Dans 10". toises, 1" 2, 10", 200, 6, 8, 20, 600, 800, 3, 10, 18, 30, 1000, 1800, 4, 14, 32, 40, 1400, 3200, 5, 18, 50, 6, 22, 72, 7, 26, 98, 8, 128, Dans 5". 9, 34, 162, 150, 38, 15, 250, 450, 11, 42, 242, 350, 800, 12, 46, 288, 25, 450, 1250, 13, 338, 550, 54, 392, 35, 650, 2450, 15, 58, 16, 62, 512, Dans 2" 1/2, 17, 66, 578, 70, 648, 12 1/2, 19, 74, 722, 37 1/2, 20, 78, 800, 7 1/2, 62 1/2, 112 1/2, 21, 82, 882, 87 1/2, 86, 968, 312 1/2, 23, 90, 1058, 137 1/2, 24, 94, 1152, 17 1/2, 162 1/2, 612 1/2, 187 1/2, 102, 1352, 22 1/2, 212 1/2, 1012 1/2, 27, 106, 1458, 237 1/2, 28, 110, 1568, 27 1/2, 262 1/2, 1512 1/2, 29, 114, 1682, 287 1/2, 118, 31, 122, 1922, 126, 2048, 33, 130, 2178, 134, 2312, 138, 25", 30", 35", 15", 60, 80, 12" 1/4, 55, 75, 95, 100, 7" 1/2, 90, 110, 5", 120, 122", 500, 700, 400, 300, 1128 1/3, 1125, 1100, 1075, 975, 875, 775, 750, 675, 575, 475, 375, 275, 175, 1200, 900, 1522 1/2, 1500, 1450, 1350, 1150, 1050, 950, 850, 1700, 1600, 1300, 787 1/2, 20", 1096 7/8, 1150, 1475, 1487 1/2, 1650, 1750, 1850, 1950, 2050, 2100, 2150, 2225, 2250, 2300, 2350, 2400, 2300, 2200, 2000, 1900, 1662 1/2, 135<.> 1/2, 971, 962, 3<..>, 2<.>, VT, RE, MI, FA, SOL, LA, C, c, D, d, E, F, f, G, g, A, B, 86, 87, 663, 43, 85, 69, 65, 45, 37, 89, 135, 75, 64, 612, 52, 225, 56, 320, 53, 165, 662, 169, 12875, 109, 80, 169, 256, 225, 665, 135, 228, 95, 44] [MERHU2_4 05GF]

A la fin de leur cours le premier poids apres 35" feroit 140 toises: le second apres 3" 120 toises; le 4 apres 25", 100 toises; et le 6 apres 20" feroit 80 toises en vne seconde; et lesdits nombres sont en proportion comme 7, 6, 5, 4, et 5", deuant ils sont en proportion comme 6, 5, 4, 3, et encore 5" deuant, ils sont comme 5, 4, 3, 2; et si l'on prenoir encore 5" deuant, ils seroient comme 4, 3, 2, 1.

[-137-] Au commencement des 10" la vitesse des poids sera en proportion comme 3, 4, 5 1/2, 6, 7, 8, 10; au milieu comme 5, 6, 7 1/2, 8, 9, 10, 12; et a la fin comme 7, 8, 9' 1/2, 10, 11, 12, 14. Et 5" deuant les 10" leur vitesse estoit comme 1, 2, 3 1/2, 4, 5, 6, 8: et 5" apres les 10" comme 9, 10, 11 1/2, 12, 13, 14, 16. On void icy qu'ajoutant 5" de temps, il faut seulement ajoûter deux a chaque nombre pour auoir la proportion de la vitesse des poids: et si l'on ajoûtoit, ou si l'on ostoit 2" 1/2 desdits temps, il ne faudroit oster ou ajoûter qu'vn pour auoir ladite proportion: donc la raison est que l'augmentation de la vitesse est en proportion Arithmetique.

Si l'on prend la cheute des poids en la 10 partie du temps, il faudra prendre la 100 partie des espaces; et toutes les proportions se rapporteront. Au lieu que le premier poids chet 2450 toises en 35", il ne cherra que 24 1/2 en 3" 1/2, et 18 toises en 3", au lieu de 1800 en 30": et en la 3" il cherra 10 toises, au lieu de 1000 aux 3 10": et apres que le premier poids sera cheu 18 toises en 3", tous les poids se rencontreront à 6 1/2 toises pres de la terre: et lors le 6 poids fera 3/5, le 4 4/5, le second vne toise, et le premier 1 1/5 de toise en 1/10 de seconde s'ils ne hastent plus leur course.

PROPOSITION XIII.

Demonstrer qu'il n'y a nulle d fficulté dans la Theorie de la Musique, et que toutes les Consonances, les Dissonances, les chants, et les concerts se font par la seule addition, ou souztraction des battemens d'air; où l'on void en quoy les sons ressemblent à la lumiere.

Si l'on suppose vn son, tel que l'on voudra, qui soit fait d'vn battement d'air, ou de plusieurs, l'on oyra toutes les differences des sons, et toutes les Consonances et les Dissonances; car si l'on fait premierement vn son égal d'vn battement d'air, il fera oüyr l'Vnisson; si on ajoûte vn autre battement d'air à l vn des precedens, tandis que l'autre demeure tousiours ferme, et qu'il est au mesme ton, l'on aura 'Octaue; si l'on ajoûte encore vn battement, l'on aura la Quinziesme; le 5 battement fera la Dixseptiesme majeure; le 6 fera la Dixneufiesme, et ainsi des autres iusques à l'infini: et si l'ongarde le mesme ordre en ostant ces 6 battemens d'air, l'on redescendra par les mesmes Consonances iusques au premier son: ce qui arriue semblablement aux Dissonances; car si l'on met 2 sons à l'Vnisson, et que chacun soit composé de 8 battemens d air, si l'on ajoûte vn nouueau battement à l'vn desdits sons, l'on fera le ton majeur de 8 à 9; et si l'on ajoûte encore vn autre battement à neuf pour en auoit 10, l'on fera le ton mineur de 9 à 10.

Semblablement si l'on ajoûte vn battement au son composé de 15 battemens d'air, l'on aura le demiton majeur de 15 à 16, et ainsi des autres, dont les raisons sont appellées surparticulieres. Quant aux autres Dissonances, ou degrez, dont les raisons sont surpartissantes, comme il arriue à la Diese, qui est de 125 à 128, elle se fait par l'addition de 3 battemens d'air: la Sexte mineure se fait aussi par l'addition de 3 battemens d'air; car si l'on ajoûte 3 battemens au son qui est composé de 5 battemens, l'on aura 8 battemens, qui font la Sexte mineure contre 5 battemens: ce qui est si clair, et si aisé à comprendre, qu'il n'est pas besoin d'expliquer plus amplement cette addition, et cette souztraction de mouuemens, ou battemens d'air.

Il faut seulement remarquer que quand on bande, ou que l'on debande les [-138-] chordes des Instrumens, ou que l'on accourcit, et que l'on allonge lesdites chordes, ou les tuyaux des Orgues, et les Flustes pour faire hausser, ou baisser les sons, que l'on ne fait autre chose que d'ajoûter, ou souztraire le nombre des battemens de l'air; car il faut necessairement ajoûter autant de battemens d'air comme l'on veut que le son monte plus haut, et qu'il deuienne plus aigu, et souztraire autant desdits battemens, comme l'on veut l'abbaisser. De là vient que si l'on met deux sons à lVnisson, et que l'on ajoûte autant de battemens à l'vn que l'on en ostera de l'autre, que l'vn haussera autant que l'autre baissera, et consequemment que ces sons iront par mouuemens contraires, dont l'vn s'approchera tousiours de la simplicité et de l'vnité, iusques à ce qu'il arriue au repos et au silence, et l'autre deuiendra tousiours plus composé, iusques à ce qu'il ait vn si grand nombre de battemens d'air, qu'ils ne puissent plus subsister ensemble, et qu'ils soient contraints de nous representer le silence.

En effet l'on experimente souuent que les extremitez contraires ont quelque chose de semblable, comme il arriue au neant, et au tout; car comme l'estre de Dieu est si grand et si parfait, qu'il ne peut estre compris par l'esprit humain, de mesme le neant est si imparfait, que l'esprit humain ne le peut conceuoir: ce qui arriue semblablement à la quantité, car elle peut tousiours estre diminuee, et diuisee, ou augmentee, et multipliee iusques à l'infini, sans que l'on puisse comprendre cet infini d'vn costé ny d'autre. D'où il est aisé de conclure que l'esprit a aussi bien des bornes et des limites que les sens, lesquelles il ne peut franchir; ce qui tesmoigne euidemment qu'il depend d'ailleurs, et qu'il est creé et limité, quoy qu'il soit incorruptible et immortel.

Or les sons composez d'vne trop grande multitude de battemens, ou qui en ont vn trop petit nombre, ne peuuent estre apperceus de l'oreille, comme la lumiere qui a vne trop grande multitude de rayons, ou qui est trop foible, ne peut estre veuë; ce que l'on experimente à la lumiere qui est reflechie dans le foyer des miroirs concaues spheriques, paraboliques, ou elliptiques, qui est si grande qu'elle destruit et brusle l'oeil, et à celle d'vne chambre qui n'a nulle ouuerture par où passe la lumiere du Soleil, ou des autres corps; car encore qu'il n'y ait, peut-estre, nul lieu dans le monde sans quelque rayon de lumiere, comme croyent ceux qui disent que tous les corps sont transparens, et que l'on peut tellement ramasser la lumiere de ladite chambre, et de toutes autres sortes de lieux souzterrains, par le moyen des Instrumens de la Dioptrique, et de la Catoptrique, qu'elle sera sensible à l'oeil; neantmoins elle est si foible auant que d'estre ramassée, que l'oeil ne l'apperçoit nullement.

D'où l'on peut encore conclure qu'il faut vn nombre de rayons certain et determiné, qui ne soit ny trop grand, ny trop petit pour assujettir et proportionner la lumiere à l'oeil, comme il faut vn certain nombre de mouuemens, ou de battemens d'air pour faire vn son proportionné à l'oreille. Mais il est tres-difficile de sçauoir s'il faut plus ou moins de rayons pour l'oeil que de battemens, ou de mouuemens pour l'oreille: et puis nous ne sçauons pas combien il faut plus de rayons d'vne chandelle, d'vn ver luysant, et cetera que du Soleil, pour illuminer également; car encore que 4 rayons du Soleil, par exemple, soient assez forts pour faire vne lumiere sensible, il en faut peut-estre plus de 400 de ceux d'vne chandelle, et plus de 4000 de ceux de l'agaric, ou de l'eau de la mer, et cetera pour illuminer également.

[-139-] Ce que i'ay semblablement experimenté aux battemens de l'air, qui frappent l'oreille; car encore que les 500 derniers battemens d'air que fait la chorde d'vn Luth, ou d'vn autre Instrument, ne soient pas assez forts pour faire vn son sensible à l'oreille, neantmoins les 4 ou 5 premiers battemens de la mesme chorde rendent le son sensible: et bien que plusieurs chordes ne puissent estre oüyes lors qu'elles frappent seulement 25 fois l'air, neantmoins il y en a d'autres qui sont oüyes, encore qu'elles ne le frappent que 5 ou 6 fois, patce qu'elles le frappent plus fort: de sorte que l'on peut comparer la diuersité des battemens de l'air, et des tours et retours de toutes sortes de chordes aux differens rayons de toutes sortes de corps lumineux, dont les plus forts sont semblables aux plus forts, ou plus grands battemens d'air, sur lequel la chorde fait vne impression dautant plus grande que la chorde est plus grosse, plus dure, et plus tenduë, comme fait le rayon du corps plus lumineux, dont la plus grande, ou la plus forte lumiere peut estre comparee à la plus grande tension de la chorde, et les rayons les plus foibles, et les plus deliez aux moindres battemens d'air, ou à ceux qui sont plus tardifs; car le rayon frappe et penetre l'air auec vne splendeur dautant plus grande, qu'il est plus clair et plus vif, comme la chorde frappe ou perce l'air auec des battemens qui sont dautant plus vistes que le son est plus aigu.

Or comme l'on peut s'imaginer que toutes les actions des sens se font par des mouuemens differens, qui reçoiuent diuers noms à cause des differens organes qu'ils affectent, ou de la diuerse maniere dont ils operent: de mesme l'on peut dire qu'vne mesme puissance fait les fonctions de tous les sens, et consequemment qu'elle oit par le moyen de l'oreille, et qu'elle void par l'oeil, et cetera comme il arriue que la lumiere du Soleil fait de differens effets, à raison des corps differens qu'elle rencontre.

PROPOSITION XIV.

Donner le sommaire de tout ce qui a esté dit dans le liure des Consonances, et des Dissonances.

Ceux qui n'ont pas loisir de lire tout ce qui a esté dit dans ces deux liures, peuuent se contenter de cette proposition, dans laquelle ie comprends tout ce qui concerne les Consonances et les Dissonances. Or la premiere Consonance, ou la racine des Accords, a sa raison d'vn à vn: celle de l'Octaue, qui procede de la premiere bisection d'vne chorde, est de 2 à 1: celle du Diapente, qui vient de la 2 bisection, est de 3 à 2: celle du Diatessaron de 4 à 3: celle de la Tierce majeure de 5 à 4, celle de la mineure de 6 à 5: celle de la Sexte majeure de 5 à 3, et celle de la mineure de 8 à 5, par lesquelles le Diapason est diuisé, et se resoût; car il se diuise en la raison de 3 à 2, et 4 à 3; ou dans celles de 3 à 4, 4 à 5, et 5 à 6; où dans celles de 4 à 5, et 5 à 8, ou 5 à 6, et 3 à 5. Ce qui se void mieux par la table qui suit, et qui monstre toutes les diuisions agreables de l'Octaue, qui ne peut auoir que trois interualles ou raisons Harmoniques, de sorte qu'elles épuisent toute la Musique, puis que toutes les Consonances, que l'on ajoûte aux trois accords compris par l'Octaue, ne sont que des repetitions, comme l'on void dans les Concerts de dix parties exprimees par ces nombres 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24, parce que tous les nombres [-140-] qui suiuent apres 3, 4, et 5, ne font que des redites, car 6 retombe en 3, 8 en 4, 10 en 5, 12 en 6 et en 3, 16 en 8 et en 4, 20 en 10 et en 5, et 24 en 12, 6 et 3.

Six diuisions de l'Octaue.

I  II  III  IV  V   VI

3 4 5 10 12 15

4 5 6 12 15 20

5 6 8 15 20 24

6 8 10 20 24 30

Quant aux discords, ils procedent de la difference des accords, puis que le ton parfait de 9 à 8 est la difference du Diapente au Diatessaron. Le petit de 10 à 9 vient de la difference de la Tierce mineure à la Quarte, ou de la Quinte à la Sexte majeure.

Le demiton majeur de 16 à 15 procede de la difference de la Tierce mineure à la Quarte, ou de la Quinte à la Sexte mineure. Le demiton mineur, ou la diese Diatonique de 25 à 24 est la difference des deux Tierces, ou des deux Sextes, ou du ton mineur et du demiton majeur.

Le demiton moyen de 135 à 128 est la difference du demiton majeur et du ton maieur, et le comma de 81 à 80 est celle des deux tons, comme la diese Enharmonique l'est du demiton maieur et mineur. Et si l'on veut supprimer toutes ces diuisions necessaires pour la perfection du genre Diatonic, l'on aura tous les tons et les demitons egaux, comme i'ay déja monstré.

Or il faut faire voir l'ordre que tous ces differens interualles doiuent garder ensemble pour composer vn systeme parfait, afin que l'on en puisse vser en toutes sortes de Chants, et que nostre Theorie se reduise en Pratique. C'est pourquoy i'aioûte le troisiesme liure qui suit, dans lequel on verra tout ce qui appartient aux Genres, aux Systemes, aux especes d'Octaues, et aux Modes.

COROLLAIRE

Il est certain que l'on peut ajoûter plusieurs degrez à ceux que i'ay expliquez dans ce liure; par exemple ceux de toutes les especes des trois genres que i'ay raporté dans le 2 liure des Instrumens, et vne infinité dautres, suiuant les diuisions differentes que l'on peut faire de la Quarte: par exemple si l'on met ses termes de 30 à 40, l'on aura tous les interualles et toutes les raisons qui se rencontrent entre tous les nombres qui sont entr'eux, c'est à dire entre 30 et 29, et puis entre 39, 38, 37, 36, 35, et cetera iusques à 31. Mais il n'est pas necessaire de parler de ces interualles, tant parce qu'ils ne sont pas en vsage, que parce que les principes que nous auons expliqué suffisent pour faire tout ce que l'on peut s'imaginer dans l'Harmonie.


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