Use the “Quick search” if you want to search for all documents within the whole archive where words matching or containing the searched string are found.

For more specific queries (phrase searching, operators, and filters), visit the full Search page.


The aforementioned individual(s) Entered, Checked, or Approved the electronic transcription of the source document.


C: Indicates the aforemententioned person(s) checked the transcription.

A: Indicates the aforementioned person(s) approved the transcription for publication.


Historically, in the TML long texts were split into multiple files. These are now linked to each other for easier browsing. In a future version, they will be consolidated into a single view.

 

This is a multipart text     Previous part    Next part   

Actions

Back to top

[1] Declaratio musicae disciplinae

Liber quartus

[Proemium]

Tres esse musicas, mundanam, scilicet, humanam et instrumentalem, ex prioris huius operis parte accepimus testimonium. Mundanam quidem quae in caelorum motibus ac elementorum connexione seu temporum varietate conspicitur, sonum ex orbibus mirabili harmonia caelestibus causatum, cuius excellentiam noster sensus non patitur, concordia suavissima inextimabili velocitate in sua revolutione producit. Hic nempe sonus ab omni duritia omnique disproportione semotus, sed omni penitus uniformitate refertus, silentem immo mirabilem generat consonantiam. Ex uniformi igitur sonorum concordia nascitur consonantia, sed hanc quippe quadam rationis mediante proportione incomprehensibilis fieri contingit, ex qua ita ipsa consonantia fit sicut ex ipsa sonorum amoenitas.

At ex musicali profecto harmonia etiam rerum contrariae qualitates conveniunt ut unum quid efficiant, quod minime quidem contingeret si eis proportio conveniens non adesset. Sua igitur vi proportio perficit quae [musicali] concordia copulantur.

In humana vero musica quae animae partes, id est, potentias, sua iubilatione concordat, quae animam corpori sua harmonia connectit, adest proportionis vis ingens quae ea amicabili foedere iungit.

In reliqua autem quae quibusdam conficitur instrumentis sub qua harmonica dicitur contineri, si qua sonora, si qua delectabilis et amoena conveniat consonantia sive nervorum intensione vel spiritu, sive cordarum [2] percussione fiat, ex connexorum convenienti proportione consurgit. Compacta igitur quaeque sub harmonica dicuntur proportione coniungi.

Sed cum in tertio libro de ea musicae parte pratica quae mensurabilis est explanationem fecerimus, quae profecto tota in proportione consistit, tota circa proportiones versatur cumque ad ipsius musicae praticae ac speculativae intellectionem sit ipsarum necessaria proportionum cognitio, decrevimus, domino concedente, librum musicalium duntaxat proportionum edicere, quo diatesseron, diapente, diapason aliarumque consonantium et dissonantium coniunctionum musicalium in suis proportionibus, ac etiam ipsius cantus mensurati et totius ad totum vel totius ad partem vel partes et partium inter se proportionabilium plena habeatur cognitio.

Capitulum I

Quod musica arithmetica est posterior

Musicam arithmetica posteriorem esse Boetio in sua arithmetica attestante non ignoramus, quoniam ea esse priora dicimus quibus peremptis et posteriora pereunt, et ea posteriora quibus sublatis antiquiora non pereunt, prius est enim animal homine quo perempto perditur et homo, sed sublato homine non perditur animal.

Similiter prior est numerus consonantia, quoniam eo perempto consonantia perit, sed sublata consonantia non perit numerus, posterior igitur est musica arithmetica. Hoc etenim et ratione monstratur, ut quae diatesseron dicitur ea sub epitrita proportione comprehenditur, quae autem diapente sub emiolia medietate colligitur, sed quae diapason sub dupla proportione locatur. Similiter et ceterae consonantiae musicae certos proportionales numeros anteponunt quibus peremptis pereunt consonantiae, et proportionales numeri remanebunt, priores igitur sunt numeri consonantiis et arithmetica ipsa musica.

Praeterea stante diatesseron stat et necessario epitrita proportio, stante diapente stat et emiolia medietas, stante diapason stat et necessario dupla proportio, et similiter stante tono stat et epogdoi sexquioctava proportio, et sic similiter in ceteris consonantiis et coniunctionibus musicalibus, [3] quae proportionibus coaptantur. Stante ergo posteriori stat necessario et prius, et non fit conversio quoniam posterioribus interemptis priora non desinunt. Non enim deficit epitrita proportio deficiente diatesseron consonantia, nec emiolia sublato diapente, nec dupla perempto diapason. Sed e contra deficit diatesseron consonantia deficiente epitrita proportione, deficit diapente deficiente emiolia, et deficit consonantia diapason dupla deficiente proportione, et sic in ceteris. Horum autem ratio est quoniam consonantiae causa ipsa est proportio, deficiente enim causa deficit et effectus, unde deficiente proportione deficit consonantia et omni reficiente proportione omnis deficit consonantia et musicalis coniunctio. Antecedunt igitur consonantias proportiones ut prima sequentia, posterior est igitur musica ipsa arithmetica quae ad omnis musicae partis speculationem permaxime conspicitur necessaria, eius est enim numeros demonstrare, proportiones edicere, quae partes musicae disciplinae penitus antecedunt, sine quibus musica minime probatur existere.

De his autem numeris et proportionibus ad musicam solum spectantibus erit sermo noster, de aliis vero quae motus velocitatem, ipsum motorem et mobile in motu locali, recto vel circulari, motum augmentationis vel alterationis videntur comprehendere, quae ad naturalem et non ad praesentem materiam spectant, nihil omnino impraesentiarum intendimus pertractare.

Capitulum II

De quantitate

Quantitas duplex est, una quae continua dicitur, altera quae discreta nominatur. Continua est quae suis partibus omnibus est coniuncta, nec aliquibus est finibus distributa, sicut est animal, arbor, lapis, et corpora quaeque, quae per se et proprie magnitudines appellantur. Haec namque quantitas magnitudo dicitur nuncupari, eo quod a terminata incipiens quantitate indeterminatam proportionabiliter recipit sectionem. De hac quantitate non tractat musicus. Sed altera est quae dicitur discreta sive disiuncta et suis partibus determinata, et quasi acervatim in unum redacta [4] concilium, ut ait Boetius in proemio arithmeticae, ut grex, populus, chorus, acervus, et similia, quorum partes propriis sunt extremitatibus terminatae. Huic autem nomen dicitur multitudo, quoniam multae partes in extremis seiunctae copulantur in unum. Haec enim ab uno termino inchoata ad infinita progrediens incrementa multiplicat.

Huius autem multitudinis, quae quantitas discreta nuncupatur, quaedam per se dicuntur et quaedam ad quidam aliud referuntur. Per se sunt quae per se constare videntur, ut 2, 3, 4 et omnis numerus qui ut sit nullo alio dicitur indigere. Sed ea ad aliquid aliud referuntur quae per se non constant, et nisi ad aliquid referantur per se esse non possunt, ut duplum, triplum, quadruplum, sexquialterum, sexquitertium, et similia, quae relatione dicuntur ad aliud et non sunt per se, et hanc partem quae ad aliquid quidam dicitur musica suo modulaminis temperamento pernoscit, sed eam quae per se est arithmeticae considerationis interest speculari, quam impraesentiarum omittimus.

Capitulum III

De relata ad aliquid quantitate

Omne quod ad aliquid quiddam dicitur vel alterius comparatione metitur, aut est illi aequale aut inaequale, omnis enim ad aliquid relata quantitas cum eo in aequalitate vel inaequalitate dicitur convenire, aequale quidem est quod comparatum aequali, nec eo minus infra deponitur nec in maius supra transgreditur, ut binarius binario, ternarius ternario, octonarius octonario, et similes numeri ad alios relati sub aequali quantitate contenti, quantus enim unus numerus est, tantus et alter est, dicitur enim aequale aequali aequale, et hoc est quoniam aequalitas omnis in suis terminis eandem dicitur servare mensuram atque formam. Inaequale vero illud est quod alteri comparatum aut eo maiori dimensione comprehenditur, aut minori, quoniam quod inaequale est in maius vel in minus patitur sectionem. Haec enim contrariam denominationem habent, quia maius est minore maius est, et quod minus maiore minus est, quae contraria denominantur. [5] In hac enim inaequali discrete quantitate musicalis habet propria fieri proportio universalis, tota quidem consonantium dissonantiumque coniunctionum proportio in suis terminis inaequalis est, sive in tono sive in diatesseron vel diapente, sive in diapason vel in ceteris eorum proportio fiat.

Capitulum IV

De multiplici proportione et proportionum divisionibus

Proportionum quaedam est communiter dicta, quaedam proprie dicta, et haec duplex est, quaedam rationalis et quaedam irrationalis, et rationalis proportio duplex est, quaedam aequalitatis et quaedam inaequalitatis, et haec duplex est, quaedam est maioris inaequalitatis et quaedam minoris inaequalitatis.

Proportio communiter dicta est duorum comparatorum in aliquo univoco ad invicem habitudo, et dicitur in aliquo univoco quia in aequivocis, ut dicit Aristoteles primo topicorum, nulla potest comparatio reperiri. Aequivoca dicuntur quorum nomen commune est, sed ratio substantie est diversa, sed univoca dicuntur illa quorum nomen commune est, ratio vero substantie est eadem, et ideo vox et stilus in acutie non comparantur, quia licet stilus acutus sit, et vox acuta, tamen acuties univoce de utroque non dicitur, sed aequivoce praedicatur, non enim est eadem ratio utriusque sed diversa. Ex quibus notare possumus quod inter quaecumque aequalia et quaecumque inaequalia, inter similia et dissimilia haec communiter dicta proportione potest reperiri, quia communis appellatur proportio.

Proportio proprie dicta dicitur duarum quantitatum eiusdem propinqui generis habitudo, et notanter dicitur eiusdem propinqui generis, quia licet quantitas continua et discreta sub eodem quantitatis genere contineantur, cum non sint propinqua sed remota, ut ex earum descriptionibus patet ad invicem proportionari non possunt.

Ex cuius proportionis proprie dictae descriptione colligimus quod ea fieri potest ubi aequalitas quae in quantitate consistit reperiatur, id est, in his fieri potest quae aequalitatem suscipiunt quae quantitates sunt.

[6] Proportio rationalis est duarum quantitatum commensurabilium ad invicem habitudo. Sed proportio irrationalis est duarum quantitatum incommensurabilium ad invicem habitudo.

Pro ipsarum descriptionum declaratione sciendum quod illae quantitates dicuntur ad invicem commensurabiles quibus est una communis mensura quamlibet illarum praecise, mensurans sicut sunt istae duae quantitates, pedale, bipedale, tripedale, et cetera. Unde semipedale aliquotiens sumptum utrumque illorum praecise reddit, et est eis mensura communis, et sicut sunt istae brevis et longa et maxima, unde semibrevis aliquotiens sumpta utramque illarum praecise reddit, et est eis mensura communis, et illae quantitates dicuntur incommensurabilis quibus non est aliqua mensura communis, quamlibet illarum praecise reddens sive mensurans, sicut diameter quadrati et costa eiusdem, unde data aliqua quantitate quae aliquotiens sumpta praecise reddat diametrum illa eadem vel sibi aequalis, numquam aliquotiens sumpta reddit costam praecise, sed plus vel minus, et e converso de quantitate reddente costam.

Et ad hanc incommensurationem reducuntur proportio superbipartiens, ut quae est inter 5 et 3, inter 7 et 5, in utraque prolatione, et proportione sexquitertia, ut quae est inter 4 et 3 eiusdem prolationis minoris. Huiusmodi enim proportiones incommensurabiles sunt quia praecise aequaliter commensurari non possunt, et similiter quam plures aliae incommensurabiles proportiones ad hanc reducuntur incommensurationem, ut intelligenti patet. Omnis ergo proportio commensurabiles dici potest rationalis, et incommensurabilis irrationalis, quamvis rationalis proportio et in continuis et in discretis reperiatur, sed irrationalis in continuis tantum non numeros significantibus, et propter hoc arithmetica, quae de numeris est, de rationali proportione tantum determinat, sed geometrica, quae est de magnitudine, de utraque considerat.

Proportio aequalitatis est duarum quantitatum aequalium ad invicem habitudo, sicut duorum ad duo, et unius ad unum, et cetera.

Proportio inaequalitatis est duarum inaequalium quantitatum ad invicem habitudo, sicut duorum ad unum vel unius ad duo.

[7] Proportio maioris inaequalitatis est maioris quantitatis ad minorem ad invicem habitudo, sicut duorum ad unum, quatuor ad duo.

Proportio minoris inaequalitatis est minoris quantitatis ad maiorem ad invicem habitudo, sicut duorum ad quatuor, unius ad duo, et cetera, et in his maioris vel minoris inaequalitatis proportionibus quidam est excessus sive differentia, et est illud quo maior quantitas minorem excedit, ubi enim in terminis inaequalitas reperitur, ibi excessus sive differentia ponitur.

Capitulum V

De maioris inaequalitatis proportionibus et earum generibus

Maioris inaequalitatis proportio in quinque partes seu in quinque dividitur genera, primum genus seu pars prima vocatur multiplex, secundum superparticulare dicitur, tertium superpartiens, quartum multiplex superparticulare, quintum vero multiplex superpartiens nominatur. Horum quinque generum tria prima simplicia sunt, sed duo reliqua sunt composita. Sed his quinque maioris inaequalitatis generibus alia quinque minoris dicuntur esse opposita eisdem nominibus nuncupata, sola tantum sub praepositione distantia, quorum primum submultiplex nuncupatur, secundum subsuperparticulare, tertium subsuperpartiens, quartum submultiplex superparticulare, quintum vero submultiplex superpartiens dicitur appellari.

Capitulum VI

De genere multiplici

Genus primum sive pars prima huiusmodi maioris inaequalitatis aliis antiquius aliisque natura praestantius eum numerum quem continet comparatum habet plusquam semel. Naturalis enim numeri dispositio hoc ostendit, nam unum, id est, unitatem, cuncti sequentes multiplices varietate respiciunt, ut si duo dupla erit proportio, si tria tripla, si quattuor [8] quadrupla, nempe erit habitudo, et sic ulterius progressa varietas multiplici quantitate concrescit, et quia maius minus continet plusquam semel, idque a binario sumat initium recto numerorum disposito ordine huiusmodi antiquioris species generis ordinantur. Erit igitur eius prima species ea quae vocatur dupla, secunda tripla, tertia quadrupla, et sic ulterius in infinitum earum potest esse progressio.

E contra submultiplex illud his contrarias ordinatas species habet, harum prima subdupla est, secunda subtripla, tertia subquadrupla, quarum multiplicata progressio etiam in infinitum extenditur. Quoniam harum numeri aliis comparati sua quantitate maiores numerant plusquam semel, quia aut solum maiorem numerum minor numerus bis metitur, aut ter aut quater vel maior in his metiendo potest fieri progressio.

Capitulum VII

De proportione dupla

Proportio dupla quae huius generis primi multiplicis prima species nuncupatur est quando maior quantitas seu maior numerus totum praecise minorem bis amplectitur, ut ea proportio quae est duorum ad unum, quatuor ad duo, sex ad tria, et similia, utrobique enim maior numerus minorem bis amplectitur.

In hac enim proportione dupla diapason consonantia ponitur, quae ex diapente et diatesseron coniungitur, et sicut consonantia ex consonantiis est coniuncta, ita proportio ex proportionibus est connexa, nam dupla proportio ex sexquialtera sexquitertiaque componitur, ut ea quae dupla est sex ad tria, ex sexquialtera sex ad quatuor, et ex sexquitertia quatuor ad tria dicitur esse composita, ut hic in numeris patet: 6-4-3. Ex primo enim numero ad secundum sexquialtera, ex secundo vero ad tertium diatesseron, et ex primo ad tertium dupla consurgit proportio, et sicut in his numeris diapason et dupla proportio reperitur, ita si duplentur, vel ulterior fiat, ipsorum progressio eadem erit cum diapason proportio dupla, ut 12-8-6, a primo enim numero ad secundum sexquialtera est proportio, a [9] secundo ad tertium sexquitertia, sed a primo ad tertium dupla est progressa proportio. Similiter in aliis triplicatis numeris ulterius proportiones evenient, ut 18-12-9, et 24-16-12, et si hi duplo augmento numeri concrescant, eaedem ex numeris proportiones fient, ut 36-24-18 et 48-32-24.

        Dupla proportio
          Diapason
6             4             3
 Sexquialtera   Sexquitertia
   Diapente      Diatesseron
        Dupla proportio
          Diapason
12            8             6
 Sexquialtera   Sexquitertia
   Diapente      Diatesseron
        Dupla proportio
          Diapason
36            24            18
 Sexquialtera   Sexquitertia
   Diapente      Diatesseron
        Dupla proportio
          Diapason
48            32            24
 Sexquialtera   Sexquitertia
   Diapente      Diatesseron

Capitulum VIII

De proportione subdupla

Subdupla vero proportio quae submultiplicis generis species est prima est quando minor quantitas sive minor numerus maiorem bis numerat, ut duorum ad quatuor, trium ad sex, et sic ultra qui numeri sic disponantur: [10] 2-4, 3-6. Primus enim numerus bis secundum numerat, et componitur haec proportio ex subsexquialtera, 2 ad 3, et ex subsexquitertia, 3 ad 4, ut hic: 2-3-4. A primo enim numero ad secundum ubi subsexquialtera est subdiapente est, a secundo ad tertium ubi subsexquitertia est subdiatesseron est, et a primo ad ultimum ubi subdupla est subdiapason est. Similiter si numeri duplicentur vel triplicentur inter eos eadem proportio resultabit sicut in dupla dictum est, et inter duplam et subduplam hoc interest, quia in dupla maior numerus minorem praecedit, ut 4-2, sed in subdupla e contra minor maiorem, ut 2-4, medio numero impermutato.

          Subdupla proportio
            Subdiapason
2                3                4
 Subsexquialtera   Subsexquitertia
  Subdiapente       Subdiatesseron
          Subdupla proportio
            Subdiapason
4                6                8
 Subsexquialtera   Subsexquitertia
  Subdiapente       Subdiatesseron

Capitulum IX

De generatione duplae proportionis

Haec namque proportio dupla hoc modo dicitur generationem accipere, nam si numerorum talis fiat naturalis dispositio, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20, et omnes numeros pares accipias, tunc primus par primi, id est, unitatis, duplus erit secundus par, scilicet, quatuor, secundi numeri, id est, duorum duplus erit. Tertius par, scilicet, sex, tertii numeri, id est, ternarii duplus erit. Quartus par quarti numeri, id est, quaternarii duplus erit, idemque erit in ceteris numeris naturali constitutione sequentibus in infinitum. Huiusmodi ergo duplae proportionis infinita generatio sic habetur.

[11] Capitulum X

De tripla proportione

Tripla proportio quae huiusmodi primi generis multiplicis secunda species appellatur dicitur esse quando maior quantitas sive maior numerus minorem ter continet, ut ea quae est inter tria et unum, inter 6 et 2, inter 9 et 3, et similibus, ibi enim numerus maior ter minorem complectitur, tria enim ter continent unitatem, similiter 6-2, et 9-3.

In hac enim tripla proportione diapasondiapente, quod diapason proportionem continet et diapente vel duplam et sexquialteram dicitur contineri, quod sic demonstratur. Nam proportio tripla quae est inter 6 et 2 componitur ex dupla 6 ad 3, et ex sexquialtera 3 ad 2. Disponantur igitur hi numeri 6-3-2; a primo ad secundum dupla est proportio, a secundo ad tertium sexquialtera, sed a primo ad tertium tripla dicitur esse comparatio vel proportio ex diapason et diapente composita, ut dicebatur, et si binario vel ternario vel ultra hi numeri multiplicentur, eadem erit proportio, ut in his demonstrationibus patet.

    Tripla proportio
    Diapasondiapente
6          3            2
 Diapason     Diapente
   Dupla    Sexquialtera
    Tripla proportio
    Diapasondiapente
12          6            4
 Diapason     Diapente
   Dupla    Sexquialtera

Capitulum XI

De subtripla proportione

Subtripla vero proportio submultiplicis generis secunda species, est quando maior quantitas vel maior numerus sub minori quantitate vel minori [12] numero ter dicitur numerari, et in his proportionatis numeris minor antecedit maiorem, ut 2 ad 6, et 4 ad 12, in his enim minor ter maiorem numerat, et maior ter a minore penitus numeratur. Et componitur haec proportio ex subsexquialtera 2 ad 3, et ex subdupla 3 ad 6, ut hic: 2-3-6, a primo namque numero ad secundum subsexquialtera est, quae subdiapente est, a secundo ad tertium subdupla est, quae subdiapason est, sed a primo ad tertium subtripla est, quae subdiapasondiapente est, et eodem modo si duplicentur numeri vel ulterius aequali augmento multiplicentur eaedem sicut in tripla resurgent proportiones, stante continuo in prima medio termino sed in hac extremis ad invicem permutatis.

        Subtripla proportio
        Subdiapasondiapente
2                3             6
  Subdiapente      Subdiapason
 Subsexquialtera     Subdupla
        Subtripla proportio
        Subdiapasondiapente
4                6             12
  Subdiapente      Subdiapason
 Subsexquialtera     Subdupla

Capitulum XII

[De generatione triplae proportionis]

Haec namque tripla proportio hoc modo dicitur generari. Nam si in numerorum dispositione, 1 2 3 4 5, et cetera, duo semper intermissi fuerint, et qui post duos fuerint ad numerum dispositi naturalem excepto ternario comparentur, qui unitatis triplus est solo binario praetermisso tripla creatur proportio, quoniam post 1 et 2 tria sunt qui numerus unius est triplus. Item post 4 et 5 sex sunt qui secundi numeri, id est, duorum, est triplus. Item post 7 et 8 novem sunt, qui ternarii numeri triplus est, et sic ultra in infinitum huiusmodi progressio, ut tripla habeatur proportio fieri potest.

[13] Capitulum XIII

De quadrupla proportione

Quadrupla proportio multiplicis generis species tertia est, quando maior quantitas sive maior numerus minorem quater continet, ut ea quae est inter 4 et 1, inter 8 et 2, inter 12 et 3, et his similia. Quatuor enim unitatem continent quater et similiter 8-2, et 12-3.

In hac enim quadrupla proportione bisdiapason dicitur contineri, quod sic dicitur demonstrari. Nam quadrupla proportio ut 8 ad 2 ex una dupla, 8 ad 4, quae diapason est, et ex alia dupla, 4 ad 2, quae etiam diapason est, dicitur esse composita. Continet igitur bisdiapason haec proportio quadrupla. Similiter 12 ad 3, quae quadrupla est, ex una dupla, 12 ad 6, quae diapason est, et ex alia dupla, 6 ad 3, quae etiam diapason est, composita est. Ubi est ergo proportio quadrupla ibi et bisdiapason dicitur esse adiuncta. Ordinentur igitur hi numeri 8-4-2, a primo ad medium 8-4 dupla est, a medio ad tertium 4-2 alia dupla est, sed a primo ad tertium 8-2 quadrupla, omnis enim dupla unum efficit diapason, bis igitur dupla, quae quadrupla est, bisdiapason efficiet, et si binario vel ternario numeri augeantur eadem erit proportio, ut 8-4-2 binario aucti 16-8-4 efficiunt, et hi 32-16-8, et cetera, 12-6-3, 24-12-6. Item ternario multiplicati 8-4-2, 24-12-6, et 12-6-3, 36-18-9 constituunt, et sic si ultra aucti fuerint numeri quantitate aequali eadem procedet proportio quae in primis numeris reperta est.

Quadrupla proportio

     Bisdiapason
8         4         2
 Diapason   Diapason
   Dupla      Dupla
 Quadrupla proportio
     Bisdiapason
12        6         3
 Diapason   Diapason
   Dupla      Dupla

[14] Capitulum XIV

De subquadrupla proportione

Subquadrupla proportio submultiplicis generis tertia species est, quando maior quantitas vel maior numerus a minori quantitate vel minori numero quater dicitur numerari, et in suis proportionatis numeris minor maiorem penitus antecedit, ut 2 ad 8, 3 ad 12, et similes, in his enim minor numerus antecedens quater maiorem numerat, et maior a minore quater anteceditur numeratus. Componitur namque haec proportio ex una subdupla 2 ad 4, et ex alia subdupla 4 ad 8, ut hic 2-4-8, ex primo numero ad secundum subdupla proportio, quae subdiapason est, a secundo ad tertium etiam subdupla est, quae aliud subdiapason est, sed a primo ad tertium subquadrupla est, quae subbisdiapason est, et si aequaliter duplo vel triplo numeri augeantur vel etiam ultra similis proportio fiet, ut hic, 4-8-16, quae duplata est, vel hic, 8-16-32, quae triplici augmento crescit, et cetera.

   Subquadrupla proportio
       Subbisdiapason
2            4            8
 Subdiapason   Subdiapason
   Subdupla      Subdupla
   Subquadrupla proportio
       Subbisdiapason
3            6            12
 Subdiapason   Subdiapason
   Subdupla      Subdupla

Capitulum XV

De generatione quadruplae proportionis

Huius quadruplae proportionis generatio tribus ex naturalibus numeris intermissis haberi potest, ut si 1 2 3 intermittantur 4 sunt, qui unitatis [15] quadruplus est numerus. Item intermissis quinario, 6 et 7, sequitur octonarius, qui secundi numeri, scilicet, binarii, quadruplus est. Post vero 8 intermissis 9 10 11 tribus numeris, sequitur duodenarius, qui tertii numeri, scilicet, ternarii, quadruplus est, atque in hunc modum ceteri inveniuntur multiplices, si unitate ordinata numerorum intermissio crescat. Si enim quatuor erit numerorum intermissio, quintupla erit proportio, si 5 sextupla, si 6 septupla, si 7 octupla, et sic semper ipsa proportio multiplex uno minus nomine intermissi numeri multiplicat. Dupla enim 1 remittit, tripla 2, quadrupla 3, et sic ultra omnis proportio ordinem servat eundem, ut in ordinatis his numeris naturalibus patet, sicut superius dictum est, 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20.

Capitulum XVI

De genere superparticulari

Genus secundum sive pars secunda proportionum maioris inaequalitatis quod superparticulare vocatur est quotiens numerus alternatim comparatus habet in se minorem numerum totum semel et non pluries, et eius insuper aliquam eius partem aliquotam, scilicet, vel mediam, vel tertiam, vel quartam, vel quintam, et cetera.

Pars autem aliquota est quae aliquotiens sumpta ipsum reddit praecise totum, ut unitas ad 6, sexies enim sumpta ipsum praecise reddit, et sicut 2 ter sumpta 6 praecise faciunt, et sicut 3 bis sumpta etiam 6 praecise constituunt, et sic de aliis. Sed pars non aliquota est quae aliquotiens sumpta non reddit praecise suum totum, sicut 2 respectu 5, unde si 2 bis sumantur non reddunt praecise 5, sed minus. Si vero ter sumantur transcendunt 5, et plus efficiunt.

Ex parte igitur aliquota proportio superparticularis denominationem acquirit, nam si pars aliquota qua maior quantitas sive maior numerus minorem excedit, ipsius minoris erit pars media vocatur proportio sexquialtera. Si pars aliquota sit minoris pars tertia vocatur sexquitertia, si quarta vocatur sexquiquarta, si quinta vocatur sexquiquinta, si sexta vocatur [16] sexquisexta, si septima vocatur sexquiseptima, et si octava vocatur sexquioctava, et sic in infinitum his ductis nominibus proportio superparticularis progreditur, in his quidem sic maiores numeri qui minores continent antecedunt. In aliis vero in quibus minores habentur et maioribus praeponuntur, quaedam subsexquialtera, quaedam subsexquitertia, quaedam subsexquiquarta, et sic ultra infinita proportio reperitur, quoniam superparticularium specierum infinita est multitudo. Quorum genus submultiplex appellatur subsuperparticulare.

Species igitur huius secundi generis, scilicet, superparticularis, sunt istae: sexquialtera, sexquitertia, sexquiquarta, sexquiquinta, sexquisexta, sexquiseptima, sexquioctava, et cetera, quarum descriptiones declarandae sunt.

Capitulum XVII

De sexquialtera proportione

Sexquialtera proportio, quae huius generis superparticularis dicitur esse species prima, est quando maior quantitas sive maior numerus minori comparatus habet eum semel totum et insuper eius partem aliquotam, quae ipsius minoris pars media dicitur esse, ut ea proportio quae est inter 3 et 2, 6 et 4, 12 et 8, 24 et 16; in his maior numerus minorem habet totum et insuper eius partem mediam. Tria enim duo continent et unitatem quae ipsorum duorum pars media est. Similiter 6 4 habent, et insuper 2 quae ipsorum quatuor pars media sunt. Similiter et in aliis, et praescripti numeri vel alii ubi sexquialtera sit proportio, si duplo, triplo, vel quovis augmento crescant, eadem inter eos reperitur proportio, ut 48 et 32, 96 et 64, et 9 et 6, 18 et 12, 36 et 24, et sic in ceteris eadem sexquialtera proportio fit. Harum autem superparticularium proportionum maiores numeri duces vocantur, minores vero comites.

In hac enim proportione sexquialtera quae emiolia nuncupatur diapente consonantia collocatur. Huius autem ratio est quoniam tres toni et semitonium minus qui diapente constituunt sexquialteram producunt proportionem, ut paulo inferius demonstrabitur, et dicitur haec proportio emiolia ab emi, quod est dimidium, et olon totum, eo quod in omni proportione sexquialtera, maior quantitas sive maior numerus totum minorem [17] continet et insuper eius medietatem. Quidam autem errantes et quid sit emiolium non intelligentes dicunt numerum ternarium esse emiolium et falsum dicunt, quia emiolium nomen est proportionis et non numeri.

  Sexquialtera proportio
 3                      2
12                      8
         Diapente
  Sexquialtera proportio
 6                      4
24                      16
         Diapente

Capitulum XVIII

[De generatione sexquitertiae proportionis]

Huius sexquialterae seu emioliae proportionis infinitus ordo hoc modo contexitur, primo namque naturalis numerus describatur, deinde omnes triplices seriatim ponantur, qui huius seriei hunc modum servent, scilicet, quod primus triplex primo naturali respondeat, secundus triplex secundo naturali respondeat, tertius tertio et sic ultra, et hi triplices duces erunt, inferius autem omnes pares binarii qui comites erunt supponantur, quorum primus primo triplici comparetur, secundus secundo, tertius tertio, et sic ultra, ut hic:

1  2  3  4   5   6   7   8   9   10
3  6  9  12  15  18  21  24  27  30
2  4  6  8   10  12  14  16  18  20

Primus ordo numerum continet naturalem, secundus triplices, tertius binarios numerando multiplicat, primus triplex dux primo binario comiti comparatus sexquialteram facit proportionem 3 ad 2; similiter secundus secundo 6 ad 4, tertius tertio 9 ad 6, et sic deinceps in infinitum talis emiolia proportio in his, si extendantur numeris reperitur, tria enim in se duo continent [18] et duorum medietatem, sex quatuor habent in se et quatuor medietatem, et sic in ceteris maioribus minorum medietates repertae sunt.

Capitulum XIX

De subsexquialtera proportione

Subsexquialtera proportio, quae subsuperparticularis generis est species prima, est quando minor quantitas sive minor numerus a maiori cum eius medietate dicitur contineri, ut 2 et 3, 4 et 6, 8 et 12, 16 et 24, et sic ultra sicut in sexquialtera infinita potest esse progressio. In his enim minor numerus qui comes est a maiori cum eius medietate continetur et antecedit, et maior qui dux est postponitur.

  Subsexquialtera proportio
2                           3
8                           12
         Subdiapente
  Subsexquialtera proportio
 4                          6
16                          24
         Subdiapente

Capitulum XX

De sexquitertia proportione

Sexquitertia proportio quae huius generis superparticularis est secunda species, est quando maior quantitas sive maior numerus minorem intra se semel tenet ei comparatus, et insuper eius partem aliquotam quae ipsius minoris pars tertia est, ut est ea proportio quae est inter 4 et 3, inter [19] 8 et 6, inter 12 et 9, inter 24 et 18. In his comparatis numeris maior totum minorem habet et eius tertiam partem, quoniam 4 continent 3 semel et unitatem quae est ipsorum trium pars tertia, similiter 8-6 et 12-9, et sic in aliis quibuscumque ubi haec sexquitertia proportio reperitur, pars aliquota qua maior numerus excedit minorem minoris numeri pars tertia est, et eadem procedet proportio si quo aequali augmento numeri crescant, ut si 12 ter augeantur fient 36, et 9 ter aucti 27 producent. Inter 36 autem et 27 sexquitertia est proportio quorum differentia est 9, qui ipsorum 27 pars tertia est. Similiter si 24 ter multiplicentur 72 efficiunt, et 18 ter multiplicati producunt 54, inter 72 et 54 proportio est sexquitertia, quorum differentia est 18, [qui] ipsorum 54 pars tertia [est], et similis in infinitum multiplicatis numeris proportio resultabit.

In hac enim proportione sexquitertia quae epitrita vocatur diatesseron consonantia dicitur collocari. Cuius ratio est quoniam duo toni unumque minus semitonium ex quibus conficitur diatesseron, ipsam sexquitertiam seu epitritam proportionem videntur efficere, ut inferius demonstrabitur, et dicitur epitrita ab epi quod est supra, et tritos tres, eo quod in omni proportione sexquitertia maior quantitas sive maior numerus minorem excedit per tertiam partem minoris. Et ideo redarguendi sunt qui vocant numerum quaternarium epitritum, eo quod sit supra ternarium. Sic enim omnis numerus qui supra ternarium est vel qui ternarium excedit epitritus deberet nuncupari, quod falsum est, cum epitritum non sit nomen numeri sed proportionis. Errant etiam isti quoniam nomina proportionum attribuunt nominibus numerorum, quod est falsissimum, vocant enim sexquitertiam proportionem numerum epitritum, et proportionem duplam numerum duplum, proportionem sexquialteram seu emioliam numerum emiolium, et proportionem duplam superbipartientem vocant numerum duplum superbipartientem, et proportionem triplam nominant numerum triplum, quadruplam proportionem numerum quadruplum, et etiam ipsam proportionem sexquioctavam appellant numerum sexquioctavum, ponentes numeros pro proportionibus, quod falsum est, eo quod numerus non est proportio nec e converso. Immo ad invicem specie distinguuntur proprie [20] tamen loquendo unus numerus bene potest dici epitritus ad alium et emiolius ad alium, et duplus et duplus superbipartiens et triplus et quadruplus et quintuplus, dummodo unus ad alium referatur, sed non in se et absolute, quia epitritus ad alium vel emiolius ad alium vel duplus ad alium, et cetera, proportionem faciunt, sed isti non sic numerum relative accipiunt, sed in se et absolute et ideo errant.

  Sexquitertia proportio
 4                      3
 8                      6
        Diatesseron
  Sexquitertia proportio
12                      9
24                      18
        Diatesseron

Capitulum XXI

De generatione seu ordine sexquitertiae proportionis

Huius sexquitertiae seu epitritae proportionis numerorum reperitur ordo, primo enim naturalis numerus ponitur sub quo quadruplorum series ordinatur, sub quibus triplorum forma describitur. Et primo quadruplo primus triplus suppositus correspondeat, secundus secundo, tertius tertio, et sic de ceteris deinceps alter alteri recto ordine supponatur, quadrupli maiores duces sunt, sed tripli minores comites, ut hic:

1  2  3   4   5   6   7   8   9   10
4  8  12  16  20  24  28  32  36  40
3  6  9   12  15  18  21  24  27  30

Primus namque dux primo comiti, scilicet, 4-3, comparatus sexquitertiam efficit proportionem, nam dux comitem totum habet et eius tertiam partem, et si secundus dux, scilicet, 8, secundo comiti, scilicet, 6, comparetur, eadem procedit proportio, et similiter si tertius tertio, quartus quarto, [21] et cetera, comparentur. Haec epitrita proportio in infinitum reperta progreditur.

Capitulum XXII

De subsexquitertia proportione

Subsexquitertia proportio, quae secundi generis, id est, subsuperparticularis, est species secunda, est quando minor quantitas sive minor numerus a maiori semel cum eius tertia parte dicitur contineri, ut 3 ad 4, 6 ad 8, 3 enim a 4 continentur semel et unitas ipsorum 3 pars tertia, similiter 9 ad 12, 18 ad 24, ceterique numeri hanc producentes proportionem in infinitum augmenta suscipiunt, et in his maioribus minores numeri praeponuntur.

  Subsexquitertia proportio
 3                         4
 9                         12
        Subdiatesseron
  Subsexquitertia proportio
 6                          8
18                         24
        Subdiatesseron

Capitulum XXIII

De sexquiquarta proportione

Sexquiquarta proportio huius generis tertia species est est quando maior quantitas sive maior numerus totum minorem semel tenet et eius quartam partem, ut ea proportio quae est inter 5 et 4, 5 enim 4 habent semel et unitatem quae ipsorum quatuor pars quarta est; similiter se habent [22] 10 ad 8, 20 ad 16, et quanta fuerit ad eundem modum ipsorum multiplicatio numerorum in infinitum extensa ipsa proportio fiet. Subsexquiquarta autem proportio e contra videtur haberi, est enim cum [minor] quantitas seu minor numerus a maiori cum eius quarta parte habetur, ut inter 4 et 5, inter 8 et 10, et cetera, in his minor numerus a maiori continetur, et etiam pars quarta minoris.

    Sexquiquarta proportio
 5                         4
10                         8
  Subsexquiquarta proportio
 4                         5
 8                         10

Capitulum XXIV

De sexquiquinta proportione

Sexquiquinta proportio huius generis species quarta est est quando maior quantitas seu maior numerus totum habet in se minorem semel et eius partem quintam, ut 6 ad 5, 12 ad 10, et sic ultra in infinitum, et si augeantur termini ipsamet proportio fiet, ut 24 ad 20, 48 ad 40, et cetera.

Sed subsexquiquinta proportio est cum minor numerus a [maiore] cum eius [quinta] parte dicitur contineri, ut 5 ad 6, 10 ad 12, et sic ultra infinita progressio fieri potest.

    Sexquiquinta proportio
 6                         5
12                         10
  Subsexquiquinta proportio
 5                         6
10                         12

[23] Capitulum XXV

De sexquisexta proportione

Sexquisexta proportio quae huius generis species quinta est dicitur esse cum maior numerus minorem habet in se et eius sextam partem, ut 7 ad 6, 14 ad 12, et sic ultra.

Sed subsexquisexta proportio est cum minor cum eius sexta parte a maiori dicitur haberi, ut 6 ad 7, 12 ad 14, et sic ultra.

    Sexquisexta proportio
 7                         6
14                         12
  Subsexquisexta proportio
 6                         7
12                         14

Capitulum XXVI

De sexquiseptima proportione

Sexquiseptima proportio quae huius generis species sexta est dicitur esse cum maior quantitas sive maior numerus minorem in se totum habet et eius septimam partem, ut 8 ad 7, 16 ad 14, et sic deinceps aucta proportio fieri potest.

Sed subsexquiseptima proportio e contra est cum minor a maiori cum eius parte septima continetur, ut 7 ad 8, 14 ad 16, et cetera. Quarum demonstrationes haec sunt.

    Sexquiseptima proportio
 8                          7
16                          14
  Subsexquiseptima proportio
 7                          8
14                          16

[24] Capitulum XXVII

De sexquioctava proportione

Sexquioctava proportio huius superparticularis generis species septima ea est cum maior quantitas sive maior numerus minori comparatus eum totum habet, et eius aliquotam partem quae ipsius minoris numeri octava pars est, ut ea proportio quae est inter 9 et 8, inter 18 et 16, inter 36 et 32, inter 72 et 64, inter 144 et 128, et sic ultra huius proportionis sicut in ceteris infinita potest esse progressio, in quibus ipsa proportio sexquioctava reperta conspicitur, horum maiores numeri minores totos habent ac eorum octavas partes, novem enim octo habent in se et unitatem ipsorum octo octavam partem, quod et in ceteris multiplicatis numeris idem est si diligens consideratio fiat.

Et in hac proportione sexquioctava tonus qui ex maiori minorique semitoniis componitur dicitur contineri, de quo paulo post demonstratio fiet. Sed id valde notandum est quod omnis musicalis connexio consistit in proportione et non in numero, quamquam in numeris ad invicem relatis bene videatur consistere, et ideo quare tonus consistat in novenario numero et non in maiori nec in minori impossibile est ostendere, nec etiam in musica probari potest nec demonstrari, nec etiam persuasione ostendi quare tonis sit in proportione novenarii numeri ad octonarium. Hoc enim principium quoddam in musica est quod ipse musicus non probat, sed persuadet. Artifex enim principia sua non probat sed ea praesupponit, ut dicit Aristoteles primo posteriorum. Subalternans quippe ars vel scientia subalternate sibi principia demonstrat et probat, ut arithmetica ea quae sunt musicae, et cetera.

Praeterea ea quae sunt diversorum generum propinquorum ad invicem non sunt comparabilia, sicut numerus et proportio, et ideo ostendi non potest quomodo una proportio se habeat ad unum numerum, et per consequens quomodo tonus qui est in proportione sexquioctava se habeat ad numerum novenarium vel octonarium demonstrari non potest. Item [25] tonus, ut dictum est, vel toni natura in proportione sexquioctava consistit, quae est inter 9 et 8, et in omnibus duobus numeris inter quos ipsa sexquioctava proportio cadit, hi enim numeri infiniti sunt et proportiones infinitae, et per consequens toni infiniti sunt, et quia ubicumque sexquioctava proportio reperitur ibi tonus est. Dicere possumus omnes tonos aequales esse nec unum maiorem alio, vel minorem. Huius causa est proportionum aequalitas, nam una sexquioctava alteri sexquioctavae aequalis est, nec una maior altera vel minor est, ipsa enim proportio coniunctionis sonorum causa est. Ea propter hi qui conantur ostendere quod tonus in novenario numero necessario consistit et non in maiori neque minori decipiuntur, et qui causam volunt ostendere quare tonus sit in proportione novenarii numeri ad octonarium ignorant causam et effectum, ignorant enim quod tonus sive proportio et numerus ad invicem comparari non possunt. Similiter qui dicunt tonum solum in proportione novenarii numeri ad octonarium et non in aliis consistere omnino errant, cum tonus, ut dictum est, in omnibus duobus numeris reperiatur, ubi sexquioctava proportio sit, ut hic patet.

   Sexquioctava proportio
  9                      8
 18                      16
 36                      32
            Tonus
   Sexquioctava proportio
 72                      64
144                      128
288                      256
           Tonus

Capitulum XXVIII

De subsexquioctava proportione

Subsexquioctava proportio est cum minor numerus cum eius parte octava a maiori numero continetur, et hoc fiet si ipsi minores numeri maioribus anteponantur, ut 8-9, 16-18, 32-36, et cetera, ut hic.

[26]

  Subsexquioctava proportio
 8                         9
16                         18
  Subsexquioctava proportio
32                         36
64                         72

Capitulum XXIX

De generatione sexquiquartae proportionis atque aliarum proportionum et quis sit ipsarum ordo in numeris

Descriptis huius generis superparticularis proportionibus restat generationem ipsarum et unde procreentur ostendere. Generatio primarum specierum, scilicet, sexquialterae et sexquitertiae, iam ostensa est. Sequitur sexquiquartae proportionis generatio ostendenda quae taliter haberi potest, disponatur primo ordine naturalis numerus quousque placeat, cui ordine alio omnes quintupli supponantur, ita quod primo naturali primus quintuplus correspondeat, et secundo naturali secundus quintuplus, et sic deinceps. Deinde sub quintuplis quadrupli disponantur, ita quod primo primus, secundo secundus, et cetera, ex quibus in infinitum sexquiquarta proportio resultabit, ut hic.

1  2   3   4   5   6   7   8   9   10
5  10  15  20  25  30  35  40  45  50
4  8   12  16  20  24  28  32  36  40

Nam si primus numerus quintuplus primo quadruplo comparetur, sexquiquartae proportionis ratio habetur, quinque enim quatuor habent et nitatem quae ipsorum quatuor pars quarta est, similiter si secundus quintuplus secundo quadruplo, et tertius tertio, et cetera, eadem proportio sexquiquarta procedit.

Capitulum XXX

De generatione sexquiquintae proportionis

Generatur sexquiquinta proportio si disposito naturali numero subordinentur [27] sextupli, sub quibus quintupli supponantur, ita quod alter alteri respondere videatur, ut hic.

1  2   3   4   5   6   7   8   9   10
6  12  18  24  30  36  42  48  54  60
5  10  15  20  25  30  35  40  45  50

Si primus sextuplus primo quintuplo comparetur, et secundus secundo, et sic ultra, sexquiquinta creatur proportio, sex enim quinque tenent et eorum partem quintam. Similiter 12 10 habent et eorum partem quintam, et sic in ceteris huiusmodi sexquiquinta proportio generatur.

Capitulum XXXI

De generatione sexquisextae proportionis

Generatur sexquisexta proportio disposito naturali numero si omnes septupli sublocentur, quibus sextupli subordinentur alter alteri respondentes, ut hic.

1  2   3   4   5   6   7   8   9   10
7  14  21  28  35  42  49  56  63  70
6  12  18  24  30  36  42  48  54  60

Primus septuplus primo sextuplo comparatus, secundus secundo, et sic ultra, sexquisextam reddit proportionem, habet enim maior numerus minorem totum et eius sextam partem.

Capitulum XXXII

De generatione sexuiseptimae proportionis

Generatur sexquiseptima proportio posito naturali numero, si omnes octupli ordinentur quibus septupli supponantur alter alterum respicientes hoc modo.

1  2   3   4   5   6   7   8   9   10
8  16  24  32  40  48  56  64  72  80
7  14  21  28  35  42  49  56  63  70

Si primus octuplus primo septuplo comparetur, sexquiseptima proportio redditur, similiter si secundus secundo, tertius tertio, et sic ultra in infinitum, maior enim minorem totum tenet, et eius partem septimam.

[28] Capitulum XXXIII

De generatione sexuioctavae proportionis

Generatio sexquioctavae proportionis fit si sub naturali numero novecupli numeri disponantur quibus octupli subordinentur hoc modo.

1  2   3   4   5   6   7   8   9   10
9  18  27  36  45  54  63  72  81  90
8  16  24  32  40  48  56  64  72  80

Si comparetur primus novecuplus primo octuplo sexquioctava sequitur proportio, similiter si secundus secundo, tertius tertio, et sic ultra, omnis namque maior numerus minorem totum habet ac eius octavam partem, ut intelligenti patet.

Capitulum XXXIV

De genere superpartiente

Genus tertium sive pars tertia proportionum maioris inaequalitatis quod superpartiens vocatur est cum quantitas sive numerus ad alium comparatus habet eum in se totum semel et non pluries et insuper aliquas eius partes quae non sunt pars aliquota, sed ex partibus aliquotis composita. Et illae partes vel sunt duae vel tres vel quatuor, et cetera, ut 5 ad 3, 7 ad 4, 9 ad 5, et sic ultra, 5 enim 3 continent semel et insuper ipsorum trium duas partes, id est, duas unitates, quae non sunt pars aliquota ipsorum trium, ut patet per descriptionem partis aliquotae. Septem quatuor continent semel et eius tres partes, et 9 continent quinque et eius quatuor partes quae partes minoris numeri pars aliquota non sunt quae si duplentur totum maiorem non efficiunt, si triplentur transcendunt, ut patet intelligenti. Et pro maiori declaratione videndum est de parte ista non aliquota quam numerus maior continet ultra totum minorem, quot partes aliquotas contineat, quia vel 2 vel 3 vel 4 vel 5 continet, et cetera. Ex his enim huiusmodi proportionibus specialius nomen habetur, unde si pars non aliquota duas contineat partes aliquotas vocatur proportio superbipartiens, ut [29] sunt 5 ad 3, si tres vocatur supertripartiens, sicut 8 ad 5. Si quatuor superquadripartiens, sicut 9 ad 5, et sic ultra in infinitum, et si partes aliquotae sint partes tertiae minoris proportio dicitur superpartiens tertias. Si quartae proportio dicitur superpartiens quartas, et sic in infinitum.

Si vero ultra minorem numerum maior duas quartas haberet non superpartiens erit talis proportio, sed superparticularis, cum duae quartae totius eius medietas sint. Huiusmodi ergo proportio sexquialtera esse probabitur quae totum minorem et eius medietatem habet, similiter si maior minorem habeat et eius duas sextas non superpartiens sed etiam superparticularis erit illa proportio, duae enim sextae unam valent totius tertiam partem. Talis ergo proportio sexquitertia merito debet nuncupari, quae ultra totum quod habet tertiam partem tenet.

Huius igitur species generis sunt istae proportio superbipartiens vel superpartiens tertias, proportio supertripartiens vel superpartiens quartas. Sic ultra infinitae possunt esse species huius generis in quibus numeri duces comitibus praeponuntur. Sed his profecto speciebus aliae sunt e converso se habentes in quibus comites antecedunt, ut est proportio subsuperbipartiens, subsupertripartiens, et cetera, quarum numerus in infinitum extenditur.

Capitulum XXXV

De superbipartiente proportione

Superbipartiens proportio prima huius generis species est quando maior quantitas sive maior numerus ad minorem comparatus eum semel totum continet et insuper eius duas partes, quae non sunt pars aliquota sed ex aliquotis compositae, sicut 5 ad 3, quinque enim tria continent semel tota et duas partes, id est, duas unitates, illorum trium, quae duae unitates duae sunt partes aliquotae ipsorum trium ex quibus eorum pars non aliquota dicitur esse composita, et quia partes aliquotae sunt duae tertiae minoris numeri, id est, trium, ideo vocatur haec proportio superpartiens tertias. Vocatur igitur haec proportio superbipartiens respectu duarum partium minoris numeri ultra totum in maiori numero contentarum, et vocatur superpartiens tertias eo quod illae duae partes, id est, duae unitates, sunt duae tertiae minoris numeri, id est, trium, et haec proportio in infinitum progreditur si ipsius numeri duplicentur, 5 enim duplicata 10 efficiunt, [30] et 3 duplicata 6 faciunt. Modo inter 10 et 6 ea superbipartiens proportio est quae inter 5 et 3 conspicitur, 10 enim 6 continent, et insuper 4 quae ipsorum 6 duae partes sunt. Similiter si 10 duplentur 20 erunt, si 6 12, inter 20 et 12 eadem est proportio quae et supra.

Sed proportio subsuperbipartiens est cum minor numerus cum eius duabus partibus semel a [maiori] dicitur contineri, sicut ea proportio quae est inter 3 et 5, inter 6 et 10, et cetera. Quarum demonstrationes sunt istae.

    Superbipartiens proportio
    vel superpartiens tertias
 5                            3
10                            6
20                            12
  Subsuperbipartiens proportio
  vel subsuperpartiens tertias
 3                            5
 6                            10
12                            20

Capitulum XXXVI

De supertripartiente proportione

Supertripartiens proportio secunda huius generis species est cum maior quantitas sive maior numerus ad minorem numerum comparatus eus totum in se habet et insuper eius tres partes minoris, quae non sunt pars aliquota sed ex aliquotis composita, sicut 7 ad 4, 7 enim 4 continent semel tota, et eorum tres partes, id est, tres unitates, quae ipsorum 4 tres partes aliquotae sunt, ex quibus pars non aliquota composita est. Et quia hae tres partes aliquotae sunt tres quartae minoris numeri, id est, quatuor, ideo vocata est haec proportio superpartiens quartas. Vocatur igitur haec proportio supertripartiens respectu trium partium minoris numeri ultra [31] totum in maiori numero contentarum, et vocatur superpartiens quartas eo quod illae tres partes, id est, tres unitates, sunt tres quartae minoris numeri, id est, quatuor, et si huiusmodi primi numeri triplicentur, haec proportio ulterius producitur et si ex his producti triplicentur et sic iterum, potest in infinitum haec proportio progredi, 7 enim triplicati 21 efficiunt, 4 vero ter ducti 12 faciunt, inter 21 et 12 supertripartiens proportio est. Similiter 21 triplicati 63 constituunt, 12 vero 36, inter 63 et 36 eadem proportio supertripartiens reperitur, et sic deinceps triplicando numeros potest in infinitum haec proportio reperiri.

Proportio autem subsupertripartiens est cum minor numerus cum eius tribus partibus quae non sunt pars aliquota, sed ex aliquotis compositae semel a minori continetur, sicut 4 ad 7, 12 ad 21, et cetera. Quatuor proportionum demonstrationes sunt istae.

    Supertripartiens proportio
    vel superpartiens quartas
 7                             4
21                             12
63                             36
  Subsupertripartiens proportio
  vel subsuperpartiens quartas
 4                             7
12                             21
36                             63

Capitulum XXXVII

De superquadripartiente proportione

Superquadripartiens proportio quae est huius generis species tertia est cum maior quantitas sive maior numerus minorem totum semel continet et insuper minoris partes quatuor, quae pars aliquota non sunt sed ex aliquotis compositae, ut sunt 9 ad 5, 9 enim 5 habent in se tota et eorum partes quatuor quae sunt quatuor unitates et ipsorum quinque partes aliquotae, ex quibus pars non aliquota composita est. Et quoniam hae quatuor [32] partes aliquotae sunt quatuor quintae minoris numeri, id est, quinque, ideo vocatur haec proportio superpartiens quintas. Dicitur ergo haec proportio superquadripartiens respectu quatuor partium minoris numeri ultra totum in maiori numero contentarum, et dicitur superpartiens quintas eo quod illae quatuor partes, id est, quatuor unitates, sunt quatuor quintae minoris numeri, id est, illorum quinque. Et si huius proportionis radices, id est, primi numeri, in quadruplum multiplicentur, qui ex illa multiplicatione provenient, in eadem erunt superquadripartienti proportione, ut si 9 quater augeantur producent 36, et 5 20, inter 36 et 20 eadem est proportio quae est inter 9 et 5. Similiter 36 quater aucti 144 efficiunt, et 20 80 producunt, inter 144 et 80 similis quadripartiens sive superpartiens quintas proportio reperitur, utrobique maior quantitas minorem continet semel et eius quatuor partes, et sic in infinitum ex quadruplo numerorum augmento huiusmodi ratio potest haberi.

Sed proportio subsuperquadripartiens est cum numerus minor semel eiusque partes quatuor a maiori contineri dicuntur, sicut 5 a 9, 20 a 36, 80 a 144, et cetera, quarum demonstrationes sunt istae.

    Superquadripartiens proportio
      vel superpartiens quintas
  9                               5
 36                               20
144                               80
  Subsuperquadripartiens proportio
    vel subsuperpartiens quintas
 5                                9
20                                36
80                                144

Aliae autem species secundum partium numerum ultra totum a maiori numero contentarum denominationem accipiunt, ut si quinque sint partes contentae proportio superquinquepartiens vel superpartiens sextas appellatur, et si sint sex partes supersexipartiens vel superpartiens septimas nuncupatur, et sic deinceps huius generis omnis proportio reperitur.

Harum autem specierum in infinitum habetur progressio, si numerorum [33] naturalis ordo a tribus incipiens paribus et imparibus seriatim sequentibus disponatur quibus impares a quinque inchoantes alio ordine supponantur hoc modo.

3  4  5  6   7   8   9   10
5  7  9  11  13  15  17  19

Quinarius igitur ternario comparatus superbipartientem efficit proportionem, septenarius quaternario supertripartientem, novenarius quinario superquadripartientem, et sic ultra harum specierum generatio infinita procedit.

Capitulum XXXVIII

De genere multiplici superparticulari

Genus quartum sive pars quarta maioris inaequalitatis est multiplex superparticulare ex primis duobus generibus compositum, quod taliter describi potest. Multiplex superparticulare genus est quotiens quantitas vel numerus ad numerum comparatus habet eum plusquam semel, scilicet, bis, ter vel quater, et cetera, et insuper eius minoris numeri partem aliquam aliquotam, scilicet, vel mediam vel tertiam vel quartam, et cetera. Cuius species quoniam genus coniunctum est et ipsae coniunctae sunt. Nam prima multiplicis quae dupla est cum prima superparticularis quae sexquialtera est dicitur esse coniuncta quae proportionem duplam sexquialteram efficiunt, quae huius compositi generis species dicitur esse prima. Et secunda multiplicis quae tripla vocatur et secunda superparticularis quae sexquitertia dicitur secundam huius generis proportionem constituunt, quae tripla sexquitertia nuncupatur, sicque deinceps aliae fiunt, scilicet, quadrupla sexquiquarta, quintupla sexquiquinta, et ceterae, a simplicibus compositae, et in his numeri qui duces sunt comites antecedunt.

Sed huic maioris inaequalitatis generi aliud minoris cuius comites numeri praeponuntur opponitur, a quo sola sub praepositione distat, ut dictum est, cuius species sunt, subdupla sexquialtera, subtripla sexquitertia, subquadrupla sexquiquarta, et sic ultra infinita transgressione multiplicant.

[34] Capitulum XXXIX

De dupla sexquialtera proportione

Dupla sexquialtera proportio huius generis species prima est quando maior quantitas seu maior numerus minorem in se habet bis et eius medietatem, ut sunt 5 ad 2, 10 ad 4, habent enim 5 binarium bis et eius medietatem, id est, unitatem, quae ipsorum duorum medietas est, et 10 similiter bis quaternarium tenent et eius medietatem, id est, binarium, qui ipsius quaternarii medietas est.

Sed subdupla subsexquialtera proportio cuius comites praeponuntur ea est cum minor quantitas seu minor numerus a maiori bis cum eius medietate dicitur contineri, ut 2 a 5, 4 a 10, et sic ultra, ut hic sequitur.

   Dupla sexquialtera proportio
 5                              2
10                              4
Subdupla subsexquialtera proportio
2                               5
4                               10

Capitulum XL

De tripla sexquitertia proportione

Tripla sexquitertia proportio huius generis species secunda est cum maior quantitas sive maior numerus minori comparatus eum ter totum continet et insuper minoris partem tertiam, ut sunt 10 ad 3, decem enim ter 3 continent, et insuper unitatem ipsorum 3 partem tertiam. Similiter 20 ad 6 inter quos ea differentia est et eadem proportio, et haec quia maior minorem ter continet tripla dicitur, et quia tertiam minoris habet dicitur sexquitertia.

Subtripla subsexquitertia autem proportio, cuius comites ducibus [35] praeponuntur, est cum minor numerus seu minor quantitas a maiori ter cum eius parte tertia dicitur numerari, ut 3 a 10, 6 a 20, et sic ultra, ut hic.

   Tripla sexquitertia proportio
10                               3
20                               6
Subtripla subsexquitertia proportio
3                                10
6                                20

Capitulum XLI

De quadrupla sexquiquarta proportione

Quadrupla sexquiquarta proportio huius generis species tertia est cum maior quantitas sive maior numerus minorem totum quater continet et insuper eius quartam partem, ut sunt 17 ad 4, 34 ad 8, et sic deinceps, 17 enim quater continent 4 et unitatem quae ipsorum 4 pars quarta est. Similiter 34 quater tenent 8, et dualitatem quae ipsorum 8 pars quarta est, et haec quia maior minorem quater habet dicitur quadrupla et quia eius partem quartam tenet dicitur sexquiquarta.

Sed subquadrupla subsexquiquarta proportio cuius duces postponuntur est cum minor a maiori quater cum sua quarta parte continetur, ut 4 a 17, 8 a 34, ut hic.

   Quadrupla sexquiquarta proportio
17                                  4
34                                  8
Subquadrupla subsexquiquarta proportio
4                                   17
8                                   34

Et quoniam multas habet alias species hoc genus sicut duplam sexquialteram, duplam sexquitertiam, duplam sexquiquartam, et cetera, ideo [36] earum generatio notanda est, unde si naturalis numerus a binario inchoatus ordine disponatur, sub quo a quinario incepti omnes dispares supponantur, quorum prior impar inferior primo naturali superiori respondeat, secundus secundo, tertius tertio, et cetera, omnes duplices superparticulares evenient, ut in hac figura patet.

2  3  4  5   6   7   8   9   10
5  7  9  11  13  15  17  19  21

Primus namque impar, id est, 5, primo naturali comparatus, id est, 2, habet ipsum totum bis et insuper unitatem quae ipsorum 2 pars media est, et ideo proportio haec dupla sexquialtera est. Et sic ortum habet si secundus inferior impar, scilicet, 7, secundo naturali comparetur, scilicet, 3, habet ipsum totum bis et unitatem, quae minoris pars tertia est, et sic dupla sexquitertia proportio nascitur. Si tertius inferior impar, scilicet, 9, tertio naturali, scilicet, 4, comparetur eum totum bis continet, et eius quartam partem, scilicet, unitatem quae ipsorum 4 pars quarta est, ex quibus dupla sexquiquarta proportio ortum habet. Et sic ultra ex quarto inferiori 11 et ex quarto superiori [5] dupla sexquiquinta, ex quinto inferiori et ex quinto superiori dupla sexquisexta, et ex sexto inferiori et ex sexto superiori dupla sexquiseptima, et ex ceteris dupla sexquioctava, dupla sexquinona, et dupla sexquidecima oriuntur.

Capitulum XLII

De generatione duplicis sexquialterae proportionis

Duplices sexquialterae hoc numerorum ordine ortum habent, nam si primo a binario omnes pares numeri disponantur quibus a quinario inchoantes ceteri quinarii supponantur, omnes duplices sexquialterae ex his nasci noscuntur.

2  4   6   8   10
5  10  15  20  25

Si primus inferior primo superiori sit comparatus, habet eum bis totum et insuper eius medietatem. Similiter si secundus inferior secundo superiori, tertius tertio et sic ultra omnes maiores minores in se bis continent et medietates eorum qui duplices sexquialteras proportiones creant.

[37] Capitulum XLIII

De generatione duplicis sexquitertiae proportionis

Duplices sexquitertiae proportiones hoc ordine procreantur, a tribus inchoantes ternarii numeri aucti disponantur, quibus septenarii respondentes ordine supponantur, ut hic.

3  6   9   12  15  18  21  24  27  30
7  14  21  28  35  42  49  56  63  70

Primus inferior primo superiori comparatus eum habet bis totum et eius tertiam partem. Similiter secundus inferior secundo superiori, tertius tertio, et sic deinceps, quae omnes duplices sexquitertiae proportiones sunt, et sic generationem acquirunt.

Capitulum XLIV

De generatione duplicis sexquiquartae proportionis

Duplices sexquiquartae proportiones habentur si primo omnes quadrupli suo ordine disponantur, sub quibus novenarii alio ordine coaptentur, ut hic.

4  8   12  16  20  24  28
9  18  27  36  45  54  63

Primus novenarius primo quadruplo comparatus duplam sexquiquartam efficit proportionem similiterque alii subordinati novenarii cum supraordinatis quadruplis adaptati easdem duplas sexquiquartas proportiones producunt.

Capitulum XLV

De generatione triplicis sexquialterae proportionis

Triplices autem sexquialterae proportiones nascuntur si ordine primo a binario incipientes omnes pares numeri disponantur, sub quibus septenarii alter alteri respondentes supponantur, ut hic.

[38] 2  4   6   8   10
       7  14  21  28  35

Septenarius primus primo superiori pari coaptatus triplam sexquialteram efficit proportionem, habet enim maior minorem ter et eius minoris medietatem sicque in septenariis ceteris suis paribus coaptatis, in infinitum ea proportio valet reperiri.

Ceteras autem huius generis proportiones harum cognitione diligens investigator poterit ratione comprehendere.

Capitulum XLVI

De genere multiplici superpartiente

Genus quintum sive pars quinta proportionum maioris inaequalitatis dicitur esse multiplex superpartiens, quod ex primo tertioque simplicibus generibus est compositum, cuius diffinitio talis est: Multiplex superpartiens genus est quotiens numerus ad numerum comparatus habet eum in se plusquam semel et insuper eius vel duas vel tres vel quotlibet plures partes, quae partes non erunt duae medietates quoniam illae totum constituunt, neque duae quartae quia illae medietatem faciunt, neque duae sextae quae unam tertiam partem efficiunt, sed illae partes erunt vel duae tertiae vel duae quintae vel duae septimae minoris numeri quae ipsius aliquota pars non sunt, ut superius in tertio genere dictum est. Et secundum has partes species huius generis denominationem habent, quia dicitur vel dupla superbipartiens, vel dupla supertripartiens, vel dupla superquadripartiens, et rursus vel tripla superbipartiens, vel tripla supertripartiens, vel tripla superquadripartiens, et cetera, de quibus omnibus dicendum est.

In his enim speciebus duces numeri comites antecedunt, sed in oppositis ducibus comites praeponuntur. Quae oppositae sunt subdupla subsuperbipartiens, subdupla subsupertripartiens, et sic ultra, ut superius in aliis dictum est.

[39] Capitulum XLVII

De dupla superbipartiente proportione

Dupla superbipartiens proportio est cum maior quantitas sive maior numerus ad minorem comparatus habet eum bis et insuper ipsius minoris partes duas quae non sunt pars aliquota, sed ex aliquotis compositae, ut sunt 8 ad 3, 16 ad 6, 8 enim 3 bis continent et insuper eius duas partes, id est, duas unitates, quae ipsorum trium una pars aliquota non sunt, sed duae tertiae. Similiter 16 bis continent 6 et insuper duas eius partes, id est, duas dualitates, quae sunt duae tertiae, et ideo dicitur haec proportio dupla superpartiens tertias, ratione iam dicta.

Sed subdupla subsuperbipartiens vel subdupla subpartiens tertias proportio est cum minor quantitas vel minor numerus a maiori bis cum suis duabus tertiis continetur, et haec proportio dupla superbipartiens facile reperitur, si duces sese octonario transcendant et comites ternario, cuius demonstratio haec est. In hac proportione diapasondiatesseron dicitur collocari, prout in primo libro dictum est.

   Dupla superbipartiens proportio
   vel dupla superpartiens tertias
 8                                 3
16                                 6
24                                 9
         Diapasondiatesseron
Subdupla subsuperbipartiens proportio
vel subdupla subsuperpartiens tertias
3                                  8
6                                  16
9                                  24
      Subdiapasonsubdiatesseron

Capitulum XLVIII

De dupla supertripartiente proportione

Dupla supertripartiens proportio est cum maior quantitas sive maior [40] numerus minorem in se bis habet et insuper eius tres partes, ut 11 ad 4, 22 ad 8, 11 enim 4 bis continent et eius tres partes, id est, tres unitates, quae ipsorum 4 tres quartae sunt. Et similiter 22 continent 8, et ideo haec proportio dupla superpartiens quartas nominatur.

Sed proportio subdupla subsupertripartiens vel subdupla subsuperpartiens quartas est cuius minor numerus bis a maiori cum eius tribus [quartis] continetur, et huiusmodi proportio in infinitum extenditur si duces numeri undenario numero se transcendant et comites quaternario, cuius demonstratio haec est.

   Dupla supertripartiens proportio
   vel dupla superpartiens quartas
11                                  4
22                                  8
33                                  12
Subdupla subsupertripartiens proportio
vel subdupla subsuperpartiens quartas
 4                                  11
 8                                  22
12                                  33

Capitulum XLIX

De dupla superquadripartiente proportione

Dupla superquadripartiens proportio est cum maior quantitas sive maior numerus minorem in se bis continet et eius minoris partes insuper quatuor, ut sunt 14 ad 5, 28 ad 10, et sic ultra, 14 enim 5 bis habent, et insuper quatuor unitates quae ipsorum 5 quatuor quintae sunt. Et similiter 28 se habent ad 10, et ideo haec proportio dupla superpartiens quintas appellatur.

Proportio autem subdupla subquadripartiens est cuius comites ducibus [41] praeponuntur, cuius numerus minor a maiori bis cum eius quatuor quintis continetur. Haec enim proportio si duces numeri quatuordenario numero se transgrediantur et comites quinario in infinitum erit reperibilis. Cuius demonstratio haec est.

   Dupla superquadripartiens proportio
     vel dupla superpartiens quintas
14                                      5
28                                      10
42                                      15
Subdupla subsuperquadripartiens proportio
  vel subdupla subsuperpartiens quintas
 5                                      14
10                                      28
15                                      42

Capitulum L

De tripla superbipartiente proportione

Tripla superbipartiens vel tripla superpartiens tertias proportio est quotiens quantitas maior vel numerus maior minori comparatus continet eum totum ter et insuper ipsius partes duas, ut sunt 11 ad 3, 11 enim 3 ter continent et insuper 2, quae ipsorum 3 duae tertiae sunt. Similiter 22 ad 6 et 33 ad 9.

Sed proportio subtripla subsuperbipartiens vel subtripla subsuperpartiens tertias est cum comes sive minor numerus a maiori cum eius duabus tertiis ter dicitur contineri, ut 3 ab 11, 6 a 22, 9 a 33, et cetera. Haec nempe proportio si duces numeri undenario numero sese transcendant et comites ternario infinita poterit reperiri. Cuius demonstratio est haec.

   Tripla superbipartiens proportio
   vel tripla superpartiens tertias
11                                  3
22                                  6
33                                  9
[42] Subtripla subsuperbipartiens proportio
       vel subtripla subsuperpartiens tertias
       3                                  11
       6                                  22
       9                                  33

Capitulum LI

De tripla supertripartiente proportione

Tripla supertripartiens vel tripla superpartiens quartas proportio est quotiens maior quantitas vel maior numerus minori comparatus eum ter totum continet et insuper eius minoris tres partes, ut sunt 15 ad 4, 15 enim 4 in se ter continent et insuper ipsorum 4 tres unitates quae ipsorum 4 tres quartae sunt. Similiter se habent 30 ad 8, et 45 ad 12, et sic in ceteris, utrobique enim talis proportio reperitur.

Sed proportio subtripla subsupertripartiens vel proportio subtripla subsuperpartiens quartas dicitur esse cum minor numerus ter a maiori cum suis tribus quartis dicitur contineri. In prima duces anteponuntur, sed in ista postponuntur, ut patet intelligenti. Harum demonstrtatio haec est.

   Tripla supertripartiens proportio
   vel tripla superpartiens quartas
15                                  4
30                                  8
45                                  12
Subtripla subsupertripartiens proportio
vel subtripla subsuperpartiens quartas
 4                                  15
 8                                  30
12                                  45

[43] Capitulum LII

De tripla superquadripartiente proportione

Tripla superquadripartiens vel tripla superpartiens quintas est cum maior quantitas vel maior numerus minori comparatus eum totum ter continet in se et insuper eius minoris quatuor partes, ut sunt 19 ad 5, 19 enim 5 continent ter et insuper quatuor unitates quae ipsorum 5 quatuor quintae sunt. Simili proportione se habent 38 ad 10, et 57 ad 15, et cetera.

Sed proportio subtripla sub[super]quadripartiens vel subtripla subsuperpartiens quintas est cum numerus minor cum suis quatuor quintis a maiori ter continetur, ut sunt 5 ad 19, 10 ad 38, et 15 ad 57, et cetera.

Et haec proportio si duces numeri undevicesimo numero se transeant et quinario comites in infinitum erit reperibilis, cuius demonstratio haec est.

   Tripla superquadripartiens proportio
     vel tripla superpartiens quintas
19                                     5
38                                     10
57                                     15
Subtripla subsuperquadripartiens proportio
  vel subtripla subsuperpartiens quintas
 5                                     19
10                                     38
15                                     57

Capitulum LIII

De generatione duplicis superbipartientis proportionis

Duplices superbipartientes proportiones nasci dicuntur si numeri ab octonario inchoantes sese continuo octonario transeant sub quibus ternarii secundo ordine supponantur, ut hic.

[44] 8  16  24  32  40  48  56
       3  6   9   12  15  18  21

Primus octonarius cum supposito primo ternario duplicem superbipartientem proportionem producit, habet enim maior numerus minorem bis et insuper eius duas partes tertias. Similiter ceteri octonarii cum sibi respondentibus ternariis eandem proportionem producunt.

Capitulum LIV

De generatione duplicis supertripartientis proportionis

Duplices supertripartientes proportiones hoc ordine generationem accipiunt, disponantur ab undenario inchoantes omnes aucti numeri primo ordine quibus suppositi quaternarii correspondeant, ut hic.

11  22  33  44  55  66  77  88  99
4   8   12  16  20  24  28  32  36

Si maior superior, id est, undenarius minori comparetur inferiori, id est, quatenario, habet eum bis totum et insuper eius tres partes quartas qui proportionem duplam supertripartientem efficiunt. Sicque in ceteris ad invicem comparatis ea proportio fiet.

Capitulum LV

De generatione duplices superquadripartientis proportionis

Duplices superquadripartientes proportiones creantur, si primo ordine a quatuordenario numero incipientes omnes hi quatuordenarii numeri disponantur sub quibus quinarii secundo ordine supponantur, ut hic.

14  28  42  56  70  84  98
5   10  15  20  25  30  35

Nam primus quatuordenarius primo quinario comparatus continet eum totum bis et insuper eius quatuor partes quintas. Eadem proportio reperitur in ceteris ad invicem comparatis, ut patet intelligenti, quae dupla superquadripartiens proportio est.

[45] Capitulum LVI

De generatione triplicis superbipartientis proportionis

Triplices superbipartientes proportiones eo modo nascuntur ut si primo ordine undenarii aucti numeri disponantur sub quibus ternarii secundo ordine supponantur, ut hic.

11  22  33  44  55  66  77  88
3   6   9   12  15  18  21  24

Si primus undenarius primo ternario comparetur triplam superbipartientem proportionem producit, habet enim maior minorem totum ter et insuper eius duae partes tertias. Et si secundus secundo, tertius tertio, et cetera, eadem resultat proportio.

Capitulum LVII

De generatione triplicis supertripartientis proportionis

Triplices supertripartientes proportiones generantur si a quindenario numero incipientes, ceteri 15 eo aucti sese transcendant sub quibus a quaternario inchoantes ceteri quaternarii subsequantur, ut hic.

15  30  45  60  75  90
4   8   12  16  20  24

Primus quindenarius primo quaternario comparatus habet eum totum ter et insuper eius tres partes quartas, quo tripla supertripartiens proportio fit, eandem ceteri comparati generant proportionem.

Capitulum LVIII

De generatione triplicis superquadripartientis proportionis

Triplices superquadripartientes proportiones habentur, si numeri a undevicesimo inchoent et eo aucti ulterius se transcendant, et sub eis quinarii ordine supponantur, ut hic.

[46]   19  38  57  76  95
         5   10  15  20  25

Primus undevicesimus primo quinario comparatus, secundus secundo, tertius tertio, et cetera, triplam superquadripartientem comparatus producit proportionem, omnis enim maior numerus minorem ter continet et insuper eius quatuor partes quintas.

Capitulum LIX

De primo fundamento inveniendae proportionis

Quinque generum maioris inaequalitatis proportionum musicalium diffinitionibus declaratis connexionum quarundam, id est, toni, semitonii, diphtoni, semidiphtoni, et cetera, intendimus proportiones ostendere ut eorum differentiarum distantiarumque plena habeatur cognitio. Huiusmodi autem perfecta cognitio profecto nequit haberi si duplicis fundamenti notitia careamus, horum primum est illius eximii doctoris Boetii in suae musicae fonte, libro secundo, capitulo de semitonio, secundum fundamentum est Jordani in sua arithmetica propositione sexta, quae ad ipsarum cognitionem connexionum habendam permaxime sunt utilia immo verius necessaria.

Primi fundamenti ratio talis est: Quoniam tonus in sexquioctava proportione consistit, quot ergo volumus ad invicem coniungere tonos tot oportet sexquioctavas invenire proportiones. Si enim unius toni volumus rationem habere, unius sexquioctavae proportionis ratio est requirenda, si duorum tonorum speculationem quaerimus, duarum sexquioctavarum habitudinum debet haberi notitia, et sic deinceps quousque inquaerendis tonis vel tonorum rationibus quiescamus, et huius ratio est quoniam, ut dictum est, tonus in ea sexquioctava proportione dicitur contineri, quod et in praesenti fundamento monstrabitur.

Proportiones autem sexquioctavae ex ipsis octuplis numeris oriuntur. Nam prima sexquioctava ex primo octuplo, secunda sexquioctava ex secundo octuplo, et sic ultra, unaquaeque sexquioctava ex suo octuplo [47] ortum habet, octupli vero numeri sic habentur. Unitas enim quae non numerus sed numeri principium est octies facta primum octuplum facit, qui primus numerus octuplus est, id est, 8, 8 vero octies ducti numerum 64 efficiunt, qui secundus octuplus est, qui 64 octies multiplicati 512 producunt, tertium octuplum, qui 512 si octies augeantur erunt 4096, quartus octuplus, et sic ultra in infinitum possunt numeri octupli reperiri. Primus igitur octuplus est numerus ut 8, secundus 64, tertius 512, quartus 4096.

His autem octuplis suas dabimus sexquioctavas, si cuique octuplo sua pars addatur octava, ut ei qui primus est, ut 8 unitas addatur sola quae ipsorum 8 pars est octava, qui coniuncti 9 constituunt. Octuplus igitur primus, id est, 8, et is cui octava est est superaddita pars, id est, 9, primam sexquioctavam proportionem efficiunt. Est enim inter 9 et 8 sexquioctava proportio, sicut superius dictum est, et sic ex primo octuplo prima nascitur sexquioctava.

Secundus octuplus est numerus 64, cui si sua pars addatur octava, id est, 8, erunt 72, qui 64 et 72 sexquioctavam producunt proportionem, continet enim maior minorem semel et insuper eius octavam partem, ex secundo igitur octuplo secunda oritur sexquioctava.

Tertius octuplus est numerus 512, cui si sua superaddatur octava, id est, 64, fit numerus 576, inter hos autem 512 et 576 sexquioctava dicitur esse proportio, quoniam maior minorem continet et eius octavam partem, ex tertio igitur octuplo tertia oritur sexquioctava.

Quartus octuplus est numerus 4096, cui etsi ei sua adiungatur octava, scilicet, 512, efficitur numerus 4608, inter quos, scilicet, 4608 et 4096, sexquioctava proportio est quoniam maior minorem continet et eius octavam partem, ex quarto igitur octuplo oritur quarta sexquioctava proportio. Ex octuplis igitur numeris sexquioctavae oriuntur proportiones, sicut superius dictum est, quorum demonstrationes sunt istae.

    Primus octuplus cum
     eius sexquioctava
   8                     9
[48] Secundus octuplus cum
       eius sexquioctava
       64                     72
    Tertius octuplus cum
      eius sexquioctava
 512                     576
    Quartus octuplus cum
      eius sexquioctava
4096                     4608

Capitulum LX

De inventione unius toni ac duorum tonorum

Si igitur unum volumus invenire tonum, primum oportet octuplum invenire qui est 8 cum eius sexquioctava quae est 9, et sic unus sive primus tonus habetur, qui est inter 9 et 8. Si vero volumus duos tonos continuos invenire oportet secundum octuplum primo habere, qui est 64, et eius sexquioctavam, quae est 72, inter quos cadit tonus, cum in sexquioctava proportione consistant, cui 72, si sua addatur octava quae est 9, producentur 81. Inter 81 et 72 est proportio sexquioctava et per consequens tonus. Et sic a secundo octuplo duas habemus continuas sexquioctavas proportiones, scilicet, 64-72-81, quae duos continuos tonos producunt. Et ex his concludere possumus quod ratio unius toni ab uno octuplo est habenda, sed duorum tonorum ratio a secundo octuplo est inchoanda, ut hic eorum demonstratio patet.

 Sexquioctava proportio    Sexquioctava  Sexquioctava
8                      9 64            72            81
        Tonus                 Tonus         Tonus

[49] Capitulum LXI

De inventione diatesseron et diapente

Post unius toni ac duorum tonorum inventionem sequitur diatesseron demonstratio sive inventio, quod diatesseron ex duobus tonis semitonioque minore componitur, et illam speciem diatesseron volumus demonstrando invenire, quae ex duobus continuis tonis componitur ac semitonio, quae dicit ut-fa et non eam quae a semitonio inchoat, quae est mi-la, nec eam cuius semitonium in medio videtur consistere, quae est re-sol.

Invenitur ergo diatesseron hoc modo, scilicet, sumantur duo toni suprascripti a secundo octuplo incepti, scilicet, 64-72-81, et quia diatesseron in sexquitertia proportione consistit ab eo numero 64 sexquitertiam proportionem oportet accipere, quae diatesseron efficiat proportionem. Sed quia 64 partem tertiam non habet, quia in tres partes aequales dividi non potest, sexquitertiam proportionem habere non potest, et ideo is numerus 64 cum ceteris, id est, 72-81, ternario augeantur et fiet numerus 64 ter auctus 192, et numerus 72 ter productus 216, et numerus 81 ter multiplicatus 243. Sunt igitur hi numeri ter producti 192-216-243, qui in ea sunt proportione in qua ante augmentum prius erant numeri non producti, scilicet, sexquioctava, a primo enim numero, id est, 192, ad secundum, id est, 216, differentia est 24, qui ipsorum 192 pars est octava, octies enim 24 ducti 192 producunt. Est ergo inter eos proportio sexquioctava et per consequens tonus. Similiter a secundo numero, id est, a 216, ad tertium, id est, 243, alia sexquioctava proportio est. Eorum differentia est 27 qui octies ducti constituunt 216; est igitur inter eos tonus; praedicti igitur numeri duas sexquioctavas proportiones efficiunt, et per consequens duos tonos.

Sed quia diatesseron quaerimus invenire qui in sexquitertia proportione consistit, si primo numero, id est, 192, sua tertia pars addatur, quae est 64, 256 producent, qui ad 192 sexquitertiam habent proportionem, et per consequens diatesseron consonantiam, disponantur igitur hi numeri 192-216-243-256. A primo enim ad secundum tonus est, ut re, [50] a secundo ad tertium tonus est, re mi, a tertio vero ad quartum semitonium minus est, mi fa. Producunt ergo hi numeri ut re mi fa, quae a primo ad ultimum diatesseron videntur producere consonantiam, quam invenire volebamus.

Ulterius si pro hoc fundamento diapente cupimus invenire quod per tonum diatesseron dicitur superare, numeri ultimi, id est, 256, partem octavam oportet reperire, quae est 32, octies enim 32 ducti 256 efficiunt, et ea pars octava his 256 adiuncta 288 videtur efficere, qui 288 cum 256 sexquioctavam faciunt proportionem et per consequens tonum. Et erit hic ultimus praedictorum numerus qui tali dispositione sequatur 192-216-243-256-288, a primo enim ad quartum est diatesseron, ut fa, sicut dictum est; a quarto ad quintum est tonus ut nunc probatum est, erit ergo fa sol. A primo ergo ad quintum erit diapente, ut sol, compositum ex duobus tonis, semitonio minore, et tono, quod quaerebamus.

Item proportio primi numeri ad secundum est proportio toni sexquioctava, proportio secundi ad tertiam est etiam sexquioctava toni, proportio tertii ad quartum est proportio semitonii minoris quae est inter 243 et 256, quorum differentia est 13, et ista est proportio semitonii minoris, quae est super 13 partiente 243. Quarti autem numeri ad quintum est proportio toni sexquioctava, sicut dictum est.

Duas igitur sexquioctavas proportiones diatesseron habet cum semitonii minoris proportione. Diapente autem tres cum eadem semitonii proportione, et haec dicta pro primo fundamento sufficiant.

Capitulum LXII

De secundo fundamento inveniendae proportionis

Cum omnis musicalis coniunctio ex tonorum semitoniorumque coaptatione consistat quae quadam eorum mediante additione fit, ut plena horum quae connexa sunt habeatur cognitio, regula additionis qua una coniunctio alteri coniunctioni, vel una proportio alteri proportioni sit addenda est necessaria. Cumque connexorum ratio in partium ratione consistat, [51] si partium rationes seorsum scire intendimus, regula subtractionis quomodo una coniunctio ab altera coniunctione vel una proportio ab altera proportione subtrahatur est necessaria. Et hinc est quod pro secundo fundamento duas regulas Jordani in sua arithmetica ad hanc proportionum declarationem accipimus, quarum prima est haec.

Si proportionem rationalem proportioni rationali addere volumus, maior proportio cui debet fieri additio in superiori ordine disponatur, minor vero proportio quae alteri est addenda in inferiori ordine subscribatur, ita tamen quod proportionum termini maior maiorem et minor minorem sese respiciant, id est, quod primus secundae, primo primae, et secundus secundae, secundo primae respondeat. Postea maior terminus secundae proportionis addendae per maiorem terminum primae proportionis cui debet fieri additio debet multiplicari, et secundus secundae per secundum primae, ut verbi gratia, si unam duplam alteri duplae velimus addere, sumamus unam duplam ut 4 ad 2, cui addamus aliam duplam, scilicet, 2 ad 1, multiplicando maiorem terminum unius per maiorem alterius, scilicet, 4 per 2, et habebimus 8, et multiplicando secundum terminum unius per secundum alterius, scilicet, 2 per 1, producuntur 2, et sic habebimus proportionem quadruplam quae est 8 ad 2.

Si vero volumus unam proportionem sexquialteram uni duplae addere, ut gratia exempli proportionem quae est 6 ad 4, quae est sexquialtera, addere proportioni 8 ad 4, quae est dupla, multiplicabimus maiorem terminum unius per maiorem alterius, ut 8 per 6, et productum erit 48, et minorem unius per minorem alterius, scilicet, 4 per 4, et productum erit 16, et sic habebimus proportionem 48 ad 16, quae est una tripla, ter enim 16 multiplicata producunt 48, et sic ex una dupla et una sexquialtera producitur tripla proportio.

Secunda regula est, si velimus unam proportionem rationalem ab altera rationali subtrahere, ut gratia exempli unam sexquialteram ab una dupla, ordinetur dupla in ordine superiori sub quo sexquialtera collocetur, ut gratia exempli, 8-4, quae est dupla, superius, et 6-4, quae est sexquialtera, inferius, ita quod termini alter alteri correspondeant. Hoc modo, scilicet, quod maior sive primus terminus proportionis duplae per secundum sive minorem terminum proportionis, scilicet, sexquialterae, et maior terminus [52] secundae proportionis, scilicet, sexquialterae per secundum sive minorem terminum proportionis duplae ducantur, et ea deductio modo contradictorio fit. Nam 8 per 4 ducti producunt 32, 6 per 4 producunt 24. Modo productum primi ad productum secundi est proportio sexquitertia sicut 32 ad 24, maius enim minus continet semel et eius tertiam partem, a proportione rationali subtrahitur, scilicet, sex subtrahitur, scilicet, sexquialtera a dupla ex qua subtractione sola remanet sexquitertia, ut intelligenti patet.

Capitulum LXIII

De proportionibus coniunctionum

Positis fundamentis ex quibus tonorum inventionem et addendi atque subtrahendi rationem habemus, sequitur ut coniunctionum proportionum demonstrationem tradamus. Sunt enim coniunctiones sicut in primo libro dictum est, tonus, semitonium, diphtonus, semidiphtonus, diatesseron, tritonus, diapente, et cetera, quorum unumquodque suam proportionem habet.

Capitulum LXIV

De proportione toni

Proportio toni dicitur esse sexquioctava, dictum est enim supra et demonstratum in primo fundamento proportionem diatesseron esse in his numeris 192-216-243-256, et in his numeris esse duos tonos et unum semitonium minus; primus enim tonus est a primo numero ad secundum; secundus tonus est a secundo numero ad tertium; et a tertio numero ad quartum est ipsum semitonium minus.

Item a primo numero ad secundum est sexquioctava proportio; a secundo ad tertium est sexquioctava proportio, sicut in ipso primo fundamento demonstratum est. Ergo ubi sexquioctava proportio est, ibi tonus est, est igitur ipse tonus in proportione sexquioctava.

[53] Praeterea diapente superat diatesseron tono, id est, sexquioctava proportione. Si igitur a diapente subtrahatur sexquioctava proportio et remaneat sexquitertia, tonus erit in sexquioctava proportione. Scribatur ergo proportio diapente 3-2, cui subscribatur sexquioctava, 9-8, et stent sic: 3-2 9-8, et multiplicetur 3 per 8 abstrahendo, et fiet 24. Postea multiplicetur 9 per 2, et erit 18. Erunt igitur numeri producti 24-18, quorum proportio est sexquitertia, continet enim numerus maior minorem semel, et eius tertiam partem. Igitur proportio abstracta est sexquioctava quae est toni, igitur, et cetera. Hoc enim apparet etiam in coniunctionibus quibuscumque, nam quot sexquioctavae proportiones in aliqua coniunctione sunt, ibi tot toni sunt, ut inferius demonstrabitur.

Praeterea diapente superat diatesseron per tonum. Si igitur a diapente subtrahatur diatesseron, id est, a sexquialtera sexquitertia proportio subtrahatur, debet remanere sexquioctava proportio, quae est tonus, et si sic, proportio sexquioctava est proportio toni. Scribatur ergo sexquialtera proportio 3-2, cui subordinetur sexquitertia proportio 4-3, et stent sic: 3-2 4-3, et multiplicetur 3 per 3 subtrahendo, et fiet 9. Deinde multiplicetur 4 per 2, et erit 8. Erunt igitur termini multiplicati 9-8, inter quos est sexquioctava proportio igitur, quae remanet subtracto diatesseron a diapente. Igitur tonus est in sexquioctava proportione, quod erat demonstrandum.

Consistit ergo tonus in proportione et non in numero nisi ad alium relato, sicut superius in sexquioctava proportione plenius dictum est.

Capitulum LXV

De proportione semitonii minoris

Proportio semitonii minoris quod in compositione diatesseron et diapente ac aliarum coniunctionum cadit dicitur esse in proportione super 13 partiente 243. Apparet hoc in diatesseron numeris tertio et quarto, scilicet, [54] 243 et 256, superius demonstratis, quorum differentia est 13, quae est proportio ipsius semitonii minoris, et quod talis proportio minoris semitonii in numero 13 partiente 243 consistat sic demonstrari potest. Diatesseron ex duobus tonis minoreque semitonio vel ex duabus proportionibus sexquioctavis et una semitonii minoris proportione compositum est. Supervadit igitur diatesseron semitonium minus per duos tonos vel per duas proportiones sexquioctavas.

Modo autem si a diatesseron subtrahantur duo toni sive duae proportiones sexquioctavae remanet sola semitonii minoris proportio, quod sic demonstratur. Subtrahatur igitur primo a diatesseron una sexquioctava, quae subtractio secundum secundam regulam secundi fundamenti hoc modo fit. Sumatur una sexquitertia in suis minimis numeris 4-3, sub qua subscribatur una sexquioctava etiam in suis minimis numeris, scilicet, 9-8, ita tamen quod primus terminus sexquioctavae proportionis primo sexquitertiae et secundus secundo respondeat, et multiplicetur primus sexquitertiae per secundum sexquioctavae, et primus sexquioctavae per secundum sexquitertiae. Primus sexquitertiae multiplicatus per secundum sexquioctavae, scilicet, 4 per 8, vel e contra producit 32, et primus sexquioctavae multiplicatus per secundum sexquitertiae producit 27. Et sic subtrahendo unam sexquioctavam ab una sexquitertia remanet proportio quae est inter 32 et 27, quorum differentia est 5, et haec, scilicet, 32-27, est proportio super 5 partiens 27as, una sexquioctava subtracta ab una sexquitertia sive uno tono subtracto a diatesseron.

A qua proportione, scilicet, 32-27, etiam alia sexquioctava subtrahitur, hoc modo, scilicet, sub his numeris 32-27 supponantur numeri sexquioctavae, scilicet, 9-8, et maior numerus praedictae proportionis, scilicet, 32, multiplicetur per minorem sexquioctavae proportionis, scilicet, per 8, et productum erit 256. Postea vero numerus maior sexquioctavae proportionis, scilicet, 9, multiplicetur per minorem alterius proportionis, scilicet, per 27, et quod producitur est 243, et sic a praedicta proportione 32-27 subtracta una sexquioctava remanet proportio quae est inter 256-243, quorum differentia est 13. Et haec est proportio super 13 partiens 243as, quae est proportio semitonii minoris subtracta a praedicta proportione 32-27 una sexquioctava sive subtracto uno tono. Sic igitur subtractis a diatesseron duobus tonis sive duabus sexquioctavis remanet proportio semitonii [55] minoris quae est inter 256 et 243 super 13 partiente 243as, quod erat demonstrandum.

Hoc etiam aliter demonstratur. Si una sexquioctava alteri addatur sexquioctavae et productum ex his subtrahatur ab una sexquitertia remanet proportio semitonii minoris praedicta, ut exempli gratia una sexquioctava 9-8 addatur alteri sexquioctavae 9-8, quae sunt in suis minimis numeris, et ipsarum primi numeri, scilicet, 9, et 9 multiplicentur ad invicem per primam regulam secundi fundamenti producunt 81. Deinde secundi numeri, scilicet, 8 et 8, ad invicem multiplicati producunt 64. Igitur 81 et 64 sunt termini producti ex coniunctione duarum sexquioctavarum proportionum, quorum differentia est 17, quae est proportio super 17 partiens 64. Qui termini producti sic ab una sexquitertia subtrahuntur. Sumatur primo sexquitertia 4-3 et sub primo termino 4 scribatur primus productorum, scilicet, 81, sub secundo, scilicet, 3, scribatur productorum secundus, scilicet, 64, et stent sic: 4-3 81-64, et multiplica 4 per 64, et productum erit 256. Deinde multiplica 3 per 81, et productum erit 243. Sunt igitur termini ex subtractione producti 256 et 243 in quibus est proportio semitonii praedicta vel supradicta super 13 partiente 243as, quod erat demonstrandum.

Capitulum LXVI

De proportione diphtoni

Proportio diphtoni, qui duo legitima continet spatia et perfecta et per consequens duos tonos, consistit in proportione quae est inter 64 et 81, quorum differentia est 17 superpartiens 64, cuius ratio est, quoniam sicut superius in primo fundamento dictum est, si duos tonos volumus invenire, debemus a secundo octuplo inchoare, secundus autem octuplus est 64, ut ibidem superius dictum est, cui si sua superaddatur octava, scilicet, 8, producentur 72 sexquioctava ad 64, cui 72, si sua adiungatur octava quae [56] est 9, fient 81 sexquioctava ad 72, et sic his terminis ordinatis 64-72-81 sunt duae sexquioctavae et per consequens duo toni. A primo igitur termino ad tertium, scilicet, 64 et 81, est proportio diphtoni, quorum differentia est 17 superpartiens 64as sicut dictum est, quod erat demonstrandum.

Praeterea sicut duo toni diphtonum constituunt, ita duae sexquioctavae proportionem diphtoni efficiunt. Adiungatur ergo una sexquioctava alteri sexquioctavae et stent sic: 9-8 9-8, et multiplicentur primi maiores numeri 9 et 9, et productum erit 81. Deinde multiplicentur minores 8 et 8, et productum erit 64. Sed inter 81 et 64 est proportio diphtoni sicut probatum est, igitur, et cetera.

Capitulum LXVII

De proportione semidiphtoni

Proportio semidiphtoni qui unum tenet spatium legitimum et perfectum et unum illegitimum et imperfectum, et per consequens tonum cum semitonio minore consistit in proportione quae est inter 32 et 27, quorum differentia est 5 superpartiens 27, quod taliter potest demonstrari. Nam diatesseron superat semidiphtonum per tonum sive per unam sexquioctavam. Si ergo una sexquioctava a diatesseron removeatur, illa proportio quae remanet est proportio semidiphtoni. Illa autem est ea quae dicta est, quod sic patet. Scribatur una sexquitertia 4-3 sub quo scribatur una sexquioctava ab ea subtrahenda 9-8, et fiant sic: 4-3 9-8. Et subtrahatur multiplicando 4 per 8 vel e contra et erunt 32. Deinde subtrahatur multiplicando 3 per 9 et erunt 27. Sunt ergo producti numeri 32 et 27, quorum differentia est 5 partiens 27, et haec est proportio semidiphtoni praedicta, quod erat demonstrandum.

[57] Capitulum LXVIII

De proportione diatesseron

Proportio diatesseron duo legitima spatia et unum illegitimum continentis, et per consequens tonos duos et semitonium unum minus est sexquitertia proportio, sicut superius in capitulo de eius inventione patet, ibi enim demonstratum est diatesseron in sexquitertia proportione consistere, et sexquioctavas duas ac proportionem semitonii minoris habere, et per consequens tonos duos et semitonium unum minus.

Sed hoc aliter demonstrari potest. Constat enim diapente per tonum sive per unam sexquioctavam diatesseron superare. Si ergo a proportione diapente quae est sexquialtera una sexquioctava subtrahatur, ea quae remanet erit sexquitertia quae est proportio diatesseron, quod sic demonstratur. Sumatur una sexquialtera ut 6-4, cui supponatur una sexquioctava 9-8, et stent sic: 6-4 9-8, et multiplicetur 6 per 8, et productum erit 48. Deinde multiplicetur 9 per 4 et erunt 36. Modo inter 48 et 36 est proportio sexquitertia, continet enim maior numerus minorem semel et eius tertiam partem. Igitur a diapente remota una sexquioctava remanet proportio diatesseron quae est sexquitertia. Igitur diatesseron est in sexquitertia proportione, quod erat demonstrandum.

Praeterea diapason cuius est proportio dupla superat diatesseron per diapente vel per sexquialteram proportionem. Igitur abstracta a diapason sexquialtera proportione debet remanere sexquitertia proportio vel ipsum diatesseron. Scribatur igitur una proportio dupla ut 8-4, cui supponatur una sexquialtera 6-4, et ordinentur sic: 8-4 6-4, et multiplicetur subtrahendo 8 per 4, et erit 32. Deinde multiplicetur 6 per 4, et erit 24. Modo inter 32 et 24 est proportio sexquitertia continet enim maior numerus minorem semel et eius tertiam partem, remota igitur a diapason vel a dupla sexquialtera proportione remanet proportio sexquitertia et per consequens diatesseron. Igitur diatesseron est in sexquitertia proportione, quod erat demonstrandum.

[58] Capitulum LXIX

De proportione tritoni

Proportio tritoni quae tria habet legitima et perfecta spatia et per consequens tres tonos sive tres sexquioctavas proportiones dicitur esse ea proportio quae est inter 729 et 512, quod duplici ratione potest demonstrari.

Prima demonstrationis ratio est haec: Dictum est enim superius in capitulo de primo fundamento inveniendae proportionis quod quot volumus invenire tonos seu sexquioctavas proportiones, tot nos oportet invenire octuplos, ita quod si unum tonum volumus invenire a primo octuplo debemus incipere, si duos a secundo, si tres a tertio, et sic ultra. Nunc autem tritonus tres habet tonos, igitur proportionis eius ratio a tertio octuplo est inchoanda. Tertius autem octuplus est 512, ut in eodem capitulo patet, cui si sua octava pars sit addita, quae est 64, fiet 576, qui ad 512 sexquioctavam habet proportionem, et si 576 sua pars octava sit adiuncta, quae est 72, fiet 648, qui ad 576 sexquioctavam habet proportionem. Et si 648 sua fuerit octava pars addita, quae est 81, fiet 729, qui ad 648 habet sexquioctavam proportionem. Sunt ergo hi numeri quatuor tres tonos producentes, scilicet, 512-576-648-729, quorum primus ad secundum, secundus ad tertiam, tertius ad quartum sexquioctavam habet proportionem. Sed inter primum et ultimum, scilicet, 512 et 729, qui sunt trium tonorum extremi est proportio tritoni quorum differentia est 217 partiens 512as, quod erat demonstrandum.

Secunda ratio est ista: Diapente existens in sexquialtera proportione continens tres tonos et semitonium superat tritonum per semitonium vel per proportionem semitonii. Abstracta igitur proportione semitonii a diapente debet remanere proportio tritoni supradicta et si sic, proportio tritoni est illa quae demonstrata est. Scribatur igitur proportio diapente sexquialtera 3-2, cui subscribatur proportio semitonii minoris [256]-243, et stent sic: 3-2 256-243, et multiplicetur subtrahendo 3 per 243 et productum erit 729. Deinde multiplicetur 2 per 256 et fiet numerus 512, qui sunt numeri praedicti ipsius tritoni. Igitur ex abstractione proportionis [59] semitonii minoris a diapente, remanet proportio tritoni. Igitur tritonus in proportione 729 ad 512 super 217 partiente 512as videtur consistere, quod erat demonstrandum.

Capitulum LXX

De proportione diapente

Proportio diapente tria legitima et perfecta spatia ac unum illegitimum ac imperfectum spatium continentis sive tres tonos cum minore semitonio est ipsa sexquialtera proportio. Dictum est enim superius in capitulo de eius inventione diapente tres sexquioctavas proportiones et eam quae semitonii minoris est [dicitur] continere, quae proportionem efficiunt sexquialteram. Est enim diapente in ea proportione quae est inter 192 et 288 quae est sexquialtera, cuius termini medii cum extremis sunt 192-216-243-256-288, quorum primus cum secundo sexquioctavam, secundus cum tertio sexquioctavam, tertius cum quarto semitonii minoris, et quartus cum quinto sexquioctavam facit proportionem, ut superius demonstratum est. Est ergo ipsum diapente in sexquialtera proportione, quod erat demonstrandum.

Praeterea diatesseron cuius est sexquitertia a diapente cuius est sexquialtera tono cuius est sexquioctava superatur. Si igitur sexquitertiae addatur sexquioctava, debet fieri sexquialtera, et si sic diapente in sexquialtera proportione consistit. Tunc demonstratur sic: scribatur una sexquitertia 4-3 cui supponatur una sexquioctava eidem sexquitertiae addenda 9-8, et stent sic: 4-3 9-8, et per regulam additionis Jordani in capitulo de fundamento secundo positam multiplicetur 4 per 9, et fiet 36. Deinde multiplicetur 3 per 8, et fiet 24. Sed inter 36 et 24 est proportio sexquialtera, continet enim maior numerus minorem et eius tertiam partem, igitur ex additione sexquioctavae ad sexquitertiam sequitur proportio sexquialtera. Igitur diapente est in proportione sexquialtera, quod erat demonstrandum.

[60] Praeterea diapason cuius est proportio dupla continet diapente cuius est sexquialtera, et diatesseron cuius est sexquitertia. Si a diapason subtrahatur sexquitertia debet remanere sexquialtera, et si sic diapente erit in proportione sexquialtera. Tunc sic scribatur diapason proportio dupla 8-4, cui subscribatur diatesseron proportio sexquitertia 4-3, et stent sic: 8-4 4-3, et multiplicetur abstrahendo secundum regulam 8 per 3, et fiet 24. Postea multiplicetur 4 per 4, et fiet 16. Modo inter 24 et 16 est proportio sexquialtera, continet enim maior numerus minorem semel et eius medietatem. Igitur a diapason subtracta sexquitertia, quae est diatesseron, remanet sexquialtera, quae est diapente. Igitur diapente est in proportione sexquialtera, quod erat demonstrandum.

Capitulum LXXI

De proportione diapente imperfecti sive diatesseron cum semitonio

Proportio diapente imperfecti sive diatesseron cum semitonio quod idem est duo legitima spatia et perfecta ac duo illegitima continentis, id est, duos tonos cum duobus minoribus semitoniis, est ea proportio quae est inter 1024 et 729, quorum differentia est 295. Hoc enim sic demonstratur: scribatur superius proportio diatesseron quae est sexquitertia 4-3, cui subscribatur inferius adiungenda proportio semitonii minoris 256-243, et stent sic: 4-3 256-243, et multiplicetur secundum regulam additionis 4 per 256, et fiet 1024. Deinde multiplicetur 3 per 243 et fiet 729. Est ergo praedicta proportio diapente imperfecti sive diatesseron cum semitonio illa quae est inter 1024 et 729, quorum differentia est 295 partiens 729, quod erat demonstrandum.

Capitulum LXXII

De proportione diapente cum tono

Proportio diapente cum tono quatuor legitima et perfecta spatia ac unum illegitimum et imperfectum spatium continentis, id est, tonos quatuor [61] et semitonium unum minus, est illa proportio quae est inter 27 et 16, quorum differentia est 11, quod sic demonstratur. Scribatur proportio diapente 3-2, cui supponatur adiungenda proportio toni 9-8, et stent sic: 3-2 9-8, et per regulam additionis multiplicetur 3 per 9, et fiet 27. Deinde multiplicetur 2 per 8, et fiet 16, quorum differentia est 11. Est igitur proportio diapente cum tono illa quae est inter 27 et 16, super 11 partiente 16as, quod erat demonstrandum.

Capitulum LXXIII

De proportione diapente cum semitonio

Proportio diapente cum semitonio, quae est eadem cum proportione diatesseron cum semidiphtono, tria perfecta et legitima spatia ac duo imperfecta spatia continentis, id est, tonos tres et semitonia minora duo, est illa proportio quae est inter 128 et 81, quorum differentia est 47, quod sic demonstratur. Sumatur proportio diatesseron 4-3, cui subscribatur proportio semidiphtoni 32-27, et stent sic: 4-3 32-27 et secundum regulam additionis multiplicetur 4 per 32, et fiet 128. Postea multiplicetur 3 per 27, et erit 81, quorum differentia est 47. Est igitur proportio diatesseron cum semidiphtono quae quoad tonos et semitonia est eadem cum proportione diapente cum semitonio illa quae est inter 128 et 81 super 47 partiente 81as, quod erat demonstrandum.

Sed proportio diapente cum semitonio sic demonstrari potest in maioribus numeris. Scribatur proportio diapente superius posita in capitulo de inventione diapente, scilicet, 192-288, quorum maior continet minorem in et super eius medietatem, ut patet, cui subscribatur proportio semitonii minoris eidem coniungenda, scilicet, 243-256, et stent sic: 192-288 243-256, et multiplicetur 192 per 243, et fiet numerus 46656. Deinde [62] multiplicetur 288 per 256 et erit numerus multiplicatus 73688, quorum differentia est 27032, et haec est proportio diapente cum semitonio minore, scilicet, inter 73688 et 46656 super 27032 partiente 46656as, quod erat demonstrandum.

Capitulum LXXIV

De proportione diapente cum diphtono

Proportio diapente cum diphtono quinque spatia perfecta et legitima et unum imperfectum et illegitimum continentis, id est, quinque tonos et unum minus semitonium, est ea proportio quae est inter 243 et 128, quorum differentia est 115. Huius autem compositae proportionis ratio in hoc consistit, ut proportio diphtoni diapente proportioni iungatur. Proportio diphtoni est, sicut superius dictum est, inter 64 et 81, quae ex duabus sexquioctavis est connexa, componitur enim ex 64-72-81, quae sicut paulo ante dictum est, a primo numero ad secundum unam sexquioctavam et a secundo ad tertium aliam sexquioctavam producit proportionem. Demonstratio autem huius proportionis sic potest haberi. Scribatur una sexquioctava 9-8, sub qua alia sexquioctava supponatur 9-8, et stent sic: 9-8 9-8, et per regulam additionis multiplicetur addendo 9 per 9, et productum erit 81. Deinde multiplicetur 8 per 8 et fiet 64. Ex duabus igitur sexquioctavis coniunctis producitur diphtoni proportio inter 81 et 64, sicut superius dicebatur.

Habita igitur diphtoni proportione scribatur superiori ordine proportio diapente 3-2, sub qua ponatur proportio diphtoni praedicta 81-64, et stent sic: 3-2 81-64, et multiplicetur 3 per 81, et fiet 243. Postea multiplicetur 2 per 64, et fiet 128, quorum differentia est 115. Igitur inter 243 et 128 super 115 partiente 128as est proportio diapente cum diphtono supradicta, quod erat demonstrandum.

Huius autem ratio etiam aliter potest demonstrari. Duo toni a secundo octuplo sunt inchoandi, sicut in primo fundamento superius dictum est. Secundus autem octuplus est 64, a quo duae sexquioctavae succedunt, 72 et 81, duos tonos continuos producentes, ut dictum est. Ordinentur [63] igitur ut dictum est. Ordinentur igitur praedicti numeri 64-72-81 diphtonum constituentes, a quorum ultimo, scilicet, 81, quia in duas non potest dividi aequales medietates, diapente non potest intendi, et ideo dicti numeri binario augeantur numero, et 64 fiet 128, et 72 fiet 144, et 81 fiet 162. Sunt igitur hi numeri duplicati 128-144-162, cuius 162 medietas, id est, 81, si eidem adiungatur erunt 243, qui ad 162 sexquialteram habent proportionem, habet enim numerus maior minorem semel et insuper eius medietatem. Disponantur igitur praedicti numeri sic, 128-144-162-243. A primo ad secundum est sexquioctava proportio et tonus, a secundo ad tertium sexquioctava proportio et tonus, a tertio ad quartum proportio sexquialtera et diapente. Est ergo a primo ad ultimum proportio diphtoni cum diapente et e converso diapente cum diphtono, quod erat demonstrandum.

Capitulum LXXV

De proportione diapente cum semidiphtono

Proportio diapente cum semidiphtono quatuor legitima et perfecta spatia ac duo imperfecta et illegitima, id est, quatuor tonos et duo semitonia continentis, est illa proportio quae est inter 96 et 54, quorum differentia est 42, quod sic potest demonstrari. Sumatur proportio diapente sexquialtera 3-2, cui proportio semidiphtoni adiungenda subordinetur 32-27, et stent sic: 3-2 32-27, et per regulam additionis multiplicetur 3 per 32 et fiet 96. Postea multiplicetur 2 per 27, et fiet 54, quorum differentia est 42. Est ergo proportio diapente cum semidiphtono inter 96 et 54, quorum differentia est 42 partiens 54as, quod erat demonstrandum.

Sed aliter potest haec proportio demonstrari, quae quatuor comprehendit tonos et semitonia duo, nam bisdiatesseron cum diapente cum semidiphtono in tonis et semitoniis dicitur convenire, utrumque enim quatuor tonos et duo semitonia tenet, sed bisdiatesseron proportio inter 16 et 9 dicitur esse. Iungantur enim ad invicem duae sexquitertiae proportiones hoc modo: 4-3 4-3, et multiplicetur 4 per 4 et fiet 16. Deinde multiplicetur 3 per 3 et fiet 9. Ergo inter 16 et 9 est proportio bisdiatesseron, quorum differentia est 7 partiens nonas.

[64] Capitulum LXXVI

De proportione bisdiatesseron cum semitono

Proportio bisdiatesseron cum semitonio quatuor legitima et perfecta spatia et tria imperfecta et illegitima continentis, id est, quatuor tonos et tria semitonia, est illa quae inter 4096 et 2187 consistit, quorum differentia est 1909, cuius demonstratio hoc modo fit. Scribatur proportio bisdiatesseron supradicta, scilicet, 16-9, cui subordinetur proportio semitonii minoris 256-243, et stent sic: 16-9 256-243, et multiplicetur adiungendo 16 per 256 et fiet numerus iste 4096. Deinde multiplicetur 9 per 243 et fiet 2187, et in his consistit proportio bisdiatesseron cum semitonio quorum differentia est 1909 partiens 2187, quod erat demonstrandum.

Capitulum LXXVII

De proportione diapente cum tritono

Proportio diapente cum tritono sex legitima et perfecta spatia et unum illegitimum et imperfectum spatium continentis, id est, sex tonos et unum semitonium, est quae est inter 1024 et 2187, quorum differentia est 1163. Nam termini minimi tritoni sunt 512 et 729. Si huic maiori termino posset superintendi diapente proportio sexquialtera, tunc ab eo superintenso ad primum esset proportio diapente cum tritono. Sed cum dictus maior numerus sit impar et medietatem integram habere non possit sexquialtera caret proportione. Si vero dicti termini augeantur ad duplum, tunc dicta sexquialtera poterit haberi proportio. Dupletur igitur numerus 512 et fiet 1024; dupletur 729 et fiet 1458, cui si sua medietas addatur, id est, 729, erit 2187.

Disponantur ergo hi numeri duplicati 1024-1458-2187. A primo ad secundum est proportio tritoni, a secundo ad tertium est proportio sexquialtera, [65] continet enim numerus maior minorem semel et insuper eius minoris medietatem. A primo ergo ad tertium est proportio tritoni cum diapente, quorum differentia est 1163 partiens 1024as, sicut dictum est, quod erat demonstrandum.

Capitulum LXXVIII

De proportione diapason

Proportio diapason quinque legitima et perfecta spatia et duo imperfecta et illegitima continentis, id est, quinque tonos et duo semitonia minora est proportio dupla. Hoc enim sic demonstrari potest. Diapason ex diatesseron et diapente componitur, igitur ex eorum proportionibus proportio enim dupla quae est diapason componitur ex sexquialtera et sexquitertia, quae sunt diapente et diatesseron, ut dupla quae est 4 ad 2 componitur ex 4 ad 3, quae est sexquitertia, et ex 3 ad 2, quae est sexquialtera, quae sic ordinentur 4-3-2. A primo ad ultimum est dupla proportio, a primo ad secundum sexquitertia, et a secundo ad tertium sexquialtera, sicut dictum est, igitur diapason est in dupla proportione, quod erat demonstrandum.

Praeterea sicut pratice diapente adiunctum diatesseron efficit diapason, ita proportio sexquialtera adiuncta proportioni sexquitertiae duplam proportionem efficit, speculative probatur quia scribatur proportio diapente 3-2, cui adiungatur proportio sexquitertia 4-3, et stent sic: 3-2 4-3, et multiplicetur adiungendo 3 per 4 et fiet 12. Postea multiplicetur 2 per 3 et fiet 6, sed inter 12 et 6 est proportio dupla, igitur diapason est in proportione dupla, quod erat demonstrandum.

Praeterea illa dicitur esse dupla proportio a qua si abstrahatur proportio sexquitertia remanet proportio sexquialtera. Scribatur ergo dupla proportio 4-2, cui subordinetur sexquitertia proportio 4-3, et stent sic: 4-2 4-3, et multiplicetur abstrahendo 4 per 3 et fiet 12. Postea multiplicetur 4 per 2 et fiet 8. Erunt ergo hi numeri 12-8 inter quos est proportio sexquialtera, quod erat demonstrandum.

[66] Praeterea illa dicitur esse proportio dupla a qua si abstrahatur sexquialtera remanet sexquitertia. Scribatur ergo dupla proportio 4-2 cui subscribatur sexquialtera 3-2, et stent sic: 4-2 3-2, et multiplicetur abstrahendo 4 per 2 et fiet 8. Et postea multiplicetur 3 per 2 et fiet 6, et erunt numeri 8-6, inter quos cadit proportio sexquitertia. Abstrahendo igitur a dupla sexquialtera remanet sexquitertia, quod erat demonstrandum. Igitur diapason est in proportione dupla, sexquitertia enim quae diatesseron est, et sexquialtera quae est diapente constituunt duplam quae est diapason, sicut dictum est.

Capitulum LXXIX

De proportione diapasondiatesseron

Proportio diapasondiatesseron septem legitima et perfecta spatia et tria illegitima et imperfecta continentis est proportio dupla superbipartiens, quae est inter 8 et 3. Hoc enim sic demonstrari potest. Scribatur proportio dupla 2-1 cui subordinetur proportio sexquitertia adiungenda 4-3, et stent sic: 2-1 4-3, et multiplicetur adiungendo 2 per 4 et fiet 8. Postea multiplicetur 1 per 3 et fiet 3, et erunt numeri 8-3 inter quos est proportio dupla superbipartiens supradicta, quod erat demonstrandum.

Praeterea tripla proportio in qua est diapasondiapente excedit duplam superbipartientem quae est diapasondiatesseron per sexquioctavam quae est toni. Excedit enim diapasondiapente diapason diatesseron per tonum. Si igitur a tripla abstrahatur sexquioctava, debet remanere dupla superbipartiens, et si sic habetur propositum. Scribatur ergo tripla proportio 3-1 sub qua subordinetur proportio sexquioctava 9-8, et stent sic: 3-1 9-8, et multiplicetur abstrahendo 3 per 8 et fiet numerus 24. Deinde multiplicetur 9 per 1 et fiet 9. Erunt igitur producti numeri 24-9, inter quos est proportio dupla superbipartiens, continet enim numerus maior bis minorem in et super duas partes minoris, scilicet, 6, qui ipsorum 9 duae partes sunt, quod erat demonstrandum. Est igitur diapasondiatesseron in proportione dupla superbipartienti.

[67] Capitulum LXXX

De proportione diapasondiapente

Proportio diapasondiapente octo legitima et perfecta spatia ac tria illegitima et imperfecta spatia continentis, id est, octo tonos et tria semitonia, est ipsa proportio tripla quae est inter 3 et 1, inter 6 et 2. Quod hoc modo demonstrari potest. Proportio diapason est dupla proportio, proportio diapente est sexquialtera. Si sexquialtera duplae addatur producitur tripla proportio quod sic demonstratur. Scribatur proportio dupla 4-2, cui subscribatur sexquialtera 3-2, et stent sic: 4-2 3-2, et multiplicetur addendo 4 per 3 et fiet 12. Deinde multiplicetur 2 per 2 et fiet 4. Sunt igitur numeri producti 12-4, inter quos est proportio tripla, quod erat demonstrandum. Igitur diapasondiapente est in tripla proportione.

Praeterea bisdiapason cuius est proportio quadupla excedit diapasondiapente cuius est proportio tripla per diatesseron cuius est proportio sexquitertia. Si igitur abstrahatur a bisdiapason sive a quadrupla proportione una sexquitertia, debet remanere tripla proportio, et si remanet habetur propositum, et quod remaneat sic demonstratur. Scribatur quadrupla proportio 8-2, cui subordinetur sexquitertia 4-3, et stent sic: 8-2 4-3, et multiplicetur abstrahendo 8 per 3 et fiet 24. Deinde multiplicetur 4 per 2 et erunt 8. Sunt igitur hi numeri multiplicati 24-8, inter quos est proportio tripla, continet enim maior numerus minorem ter, quod erat demonstrandum. Est igitur diapasondiapente in proportione tripla.

Capitulum LXXXI

De bisdiapason proportione

Proportio bisdiapason decem legitima et perfecta spatia et quatuor illegitima et imperfecta, id est, decem tonos et quatuor semitonia continentis, est ipsa proportio quadrupla, quod facile potest demonstrari. Scribatur suo ordine una dupla proportio 4-2, cui subordinetur alia dupla [68] 4-2, et stent sic: 4-2 4-2, et multiplicetur adiungendo 4 per 4, et erit 16 Postea multiplicetur 2 per 2 et fiet 4, et erunt numeri multiplicati 16-4, inter quos est proportio quadrupla, continent enim maior numerus minorem quater, quod erat demonstrandum. Igitur, et cetera.

Praeterea si diapasondiapente adiungatur diatesseron, proveniet bisdiapason, et per consequens, si triplae proportioni addatur proportio sexquitertia, producetur proportio quadrupla. Scribatur ergo proportio tripla 6-2, cui subordinetur sexquitertia 4-3, et stent sic: 6-2 4-3, et multiplicetur adiungendo 6 per 4 et fiet 24. Postea multiplicetur 2 per 3, et erit 6. Sunt ergo termini producti 24-6, inter quos est proportio quadrupla, continet enim maior numerus minorem quater, quod erat demonstrandum. Igitur, et cetera.

Praeterea si diapasondiatesseron adiungatur diapente, bisdiapason producetur, et per consequens, si proportioni duplae superbipartienti addatur sexquialtera, quadrupla proportio producetur. Scribatur ergo proportio dupla superbipartiens 8-3, cui subscribatur proportio sexquialtera 6-4, et stent sic: 8-3 6-4, et multiplicetur adiungendo 8 per 6 et productum erit 48. Postea multiplicetur 3 per 4 et fiet 12. Sunt igitur termini producti 48-12, inter quos est proportio quadrupla, continet enim numerus maior minorem quater, quod erat demonstrandum. Igitur bisdiapason in quadrupla proportione consistit, si enim diapason diapason coniungatur producitur bisdiapason, et si uni duplae proportioni altera addatur dupla quadrupla consurgit proportio, sicut superius demonstratum est.

Forma generalis inveniendae proportionis.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
2   4   6   8   10  12  14  16  18  20
3   6   9   12  15  18  21  24  27  30
4   8   12  16  20  24  28  32  36  40
5   10  15  20  25  30  35  40  45  50
6   12  18  24  30  36  42  48  54  60
7   14  21  28  35  42  49  56  63  70
8   16  24  32  40  48  56  64  72  80
9   18  27  36  45  54  63  72  81  90
10  20  30  40  50  60  70  80  90  100

[69] In hac superiori forma sive tabula generaliter omnes quinque generum proportiones reperiuntur, et si tabula maior fieret plura possent haberi proportionum exempla. Unde si numero secundi spatii numerus primi spatii comparetur prima species proportionis multiplicis invenitur, scilicet, dupla.

Si vero numerus tertii spatii ad numerum primi spatii comparetur secunda species proportionis multiplicis invenitur, scilicet, tripla, et sic ultra numeris spatiorum ad invicem comparatis aliae multiplicis proportionis species reperiuntur.

Si numero secundi spatii numerus tertii spatii comparetur prima species proportionis superparticularis fiet, scilicet, sexquialtera, et si tertio quartus, secunda, scilicet, sexquitertia, si quarto quintus, tertia, scilicet, sexquiquarta, et sic ultra.

Si numero tertii spatii numerus quinti comparetur prima species proportionis superpartientis invenitur, scilicet, bipartiens, et si numero quarti spatii numerus septimi comparetur, secunda species invenitur, scilicet, tripartiens, et si numero quinti numerus noni comparetur tertia species huius proportionis superpartientis invenitur, scilicet, quadripartiens, et sic ultra.

Si vero numerus secundi spatii numero quinti comparetur, fiet prima species multiplicis superparticularis, scilicet, dupla sexquialtera. Si vero idem septimo comparetur secunda species invenitur, scilicet, tripla sexquialtera, et sic ultra. Si vero numero tertii numerus octavi comparetur prima species proportionis multiplicis superpartientis reperitur, scilicet, dupla superbipartiens et sic ultra. Si tabula maior esset, dupla, tripla, et cetera, posset reperiri.

Capitulum LXXXII

De proportione semitonii maioris

Proportio semitonii maioris quod toni maiorem partem tenet, quod maius semitonium nuncupatur sive apotome, est ea proportio quae est inter 2187 et 2048, quorum differentia est 139, quod potest taliter demonstrari, nam tonus duo in se continet semitonia, scilicet, maius et minus. Si igitur [70] a tono abstrahatur minus semitonium sive proportio minoris semitonii remanet proportio maioris semitonii, et si est ea quae dicta est, habetur propositum. Scribatur ergo proportio toni 9-8, cui subordinetur proportio semitonii minoris iam saepe dicta 256-243, et stent sic: 9-8 256-243. Postea multiplicetur abstrahendo 9 per 243 et productum erit 2187. Postea multiplicetur 8 per 256 et fiet 2048, quorum differentia est 139. Ex remotione igitur seu abstractione semitonii minoris sive ipsius proportionis a tono remanet semitonium maius sive eius proportio quae est inter 2187 et 2048 super 139 partiente 2048as, quod erat demonstrandum.

Praeterea tritonus constat ex tribus tonis, diatesseron autem ex duobus tonis et semitonio minore. Supervadit igitur tritonus diatesseron semitonio maiore. Subtrahatur ergo a tritono diatesseron sive eius proportio sexquitertia, et remanebit proportio semitonii maioris praedicta, et si sic habetur propositum. Praeordinetur ergo proportio tritoni 729 et 512, cui subordinetur proportio diatesseron sexquitertia 4-3, et stent sic: 729-512 4-3, et multiplicetur 729 per 3 et productum erit 2187. Postea multiplicetur 512 per 4 et erit numerus 2048. Sunt igitur numeri producti 2187 et 2048, quorum differentia est 139, sicut superius in toni declaratione demonstratum est vel in toni demonstratione declaratum est, quod erat demonstrandum. Est igitur proportio semitonii maioris inter 2187 et 2048, quorum differentia est 139 partiens 2048as.

Capitulum LXXXIII

De proportione comatis

Proportio comatis inter 531441 et 524288 consistit, quorum differentia est 7153, quod sic demonstratur. Nam coma est spatium quo maius semitonium excedit minus. Si igitur a maiori semitonio vel ab eius proportio comatis, et si sic habetur propositum. Scribatur ergo proportio semitonii maioris 2187 et 2048, cui subordinetur abstrahenda proportio semitonii minoris 256 et 243, et stent sic: 2187-2048 256-243, et multiplicetur abstrahendo [71] 2187 per 243 et productum erit 531441. Et postea multiplicetur 2048 per 256 et productum erit 524288, quorum differentia est 7153. Est ergo proportio comatis inter 531441 et 524288 super 7153 partiente 524288as, quod erat demonstrandum.

Capitulum LXXXIV

De numerorum divisionibus

Quoniam ex numeris proportiones habentur notandae sunt numerorum quaedam divisiones quarum prima haec est: Numerus est duplex, scilicet, numerus simplex et numerus compositus. Numerus simplex est ille qui non potest numerari ab aliquo numero, et si ipse sit numerabilis solum ab unitate quae non est numerus, et talis est numerus impar, scilicet, ternarius, quinarius, septenarius, novenarius, et ceteri numeri impares. Numerus compositus est omnis numerus qui numerari potest ab aliquo numero circumscripta unitate per se, et sic omnis numerus par est numerus compositus, ut 4, 6, 8, 10, 12, 14, et cetera. Haec divisio est manifesta ex doctrina Euclidis in principio quinti elementorum, et est etiam de mente Jordani in sua arithmetica.

Secunda divisio numerus compositus est duplex, quidam superficialis, quidam solidus. Ista divisio est satis nota apud arithmetas.

Tertia divisio numerus potest duci in numerum dupliciter quia vel multotiens vel semel tantum. Si primo modo sic est numerus solidus, si secundo modo sic est superficialis.

Quarta divisio numerum duci in numerum semel contingit dupliciter, scilicet, in se ipsum et alium. Si primo modo sic est numerus quadratus, ut novenarius qui producitur ex radice sua ducta in se ipsam, unde ducendo ternarium in se ipsum producitur novenarius. Similiter 16 est numerus quadratus, nam ducitur ex quaternario ducto in se ipso, qui est eius radix. Similiter 64 est numerus quadratus, quia ducitur ex octonario ducto in se, tamquam ex eius radice. Si secundo modo sic est superficialis.

[72] Quinta divisio numerum duci in numerum pluries contingit dupliciter, vel in se ipsum vel in alium. Si primo modo, sic producitur numerus cubus, unde 8 est primus numerus cubus, cuius radix est binarius, qui ductus in se ipsum bis producit 8. Similiter 27 est numerus cubus cuius radix est ternarius, qui ductus in se ipsum ter producit 27. Exemplum primi bis duo bis producunt 8, et ter tria ter producunt 27. Si in alium producitur est numerus solidus et sic numerorum quinque sunt divisiones. Haec enim dicta sunt non quia ad musicam necessaria, sed quia ad eius speculationem non sunt inutilia.

Capitulum LXXXV

De quatuor notabilibus in proportionibus

Quatuor ad hanc materiam valde notabilia dignoscuntur, primum notabile est quod numeri in quacumque proportione sint, hi si quo aequali augmento multiplicentur in ea stabunt proportione in qua erant ante augmenti multiplicationem, ut exempli gratia 6-4, qui sexquialteram habent proportionem, si binario augmententur, fiet 12-8, quorum proportio est eamet sexquialtera iam praedicta. Similiter si ternario augeantur hoc idem contingit, ut 18-12, inter quos ea sexquialtera proportio penitus reperitur, similiter in ceteris quibuscumque fiet proportionibus augendis.

Secundum notabile est quod unitas ducta in se producit se ipsam et non alium numerum, et ideo omnis numerus per unitatem in se ipsum ductus producit se ipsum et non alium, unde binarius in se ductus per unitatem producit binarium, et similiter ternarius in se ductus per unitatem producit se ipsum, scilicet, ternarium et sic de aliis.

Tertium notabile omnis numerus praeter binarium ductus in se producit maiorem numerum ipsomet duplicato. Patet hoc quia ternarius ductus in ternarium producit novenarium, ternarius vero duplicatus producit senarium, modo novenarius est maior senario, cum excedat ipsum per eius medietatem, est enim 9 ad 6 proportio maioris inaequalitatis quia sexquialtera, binarius vero ductus in se producit praecise numerum sibi duplum.

Quartum notabile est sicut stat proportionem componi ex proportionibus [73] ita denominationem ex denominationibus hoc clamat Euclides in quinto elementorum, et similiter in sexto cui concordat auctor de proportione et proportionalitate, et potest declarari in terminis proportio 8 ad 2 est quadrupla composita ex duabus duplis, scilicet, ex proportione 8 ad 4, quae est una dupla, et 4 ad 2, quae est alia dupla, ducta autem denominatione primae proportionis, quae denominatur a duobus in denominationem secundae, quae etiam denominatur a duobus producitur quaternarius, qui est denominator proportionis compositae ex 8 ad 4, et 4 ad 2, quae est una quadrupla. Ex quibus sequitur quod omnis proportio rationalis a numero denominata recipit denominationem eius numeri denominatoris.

Capitulum LXXXVI

De proportionalitate

Proportionalitas differt a proportione quoniam proportio in duobus tantum terminis videtur consistere, sed proportionalitas ad minus in tribus, quae a Boetio in secundo suae musicae capitulo 26o sic diffinitur: Proportionalitas est habitudo proportionum aequarum ad invicem coniunctarum, quae proportionalitas est triplex, scilicet, geometrica, arithmetica et harmonica. Geometrica consistit inter proportiones vel inter terminos importantes proportiones. Quae geometrica proportionalitas est comparatorum ad invicem aequalitas, sive similitudo proportionum, quali proportione sunt proportionabilia 6-3, 4-2. Nam sicut se habent 6 ad 3, ita se habent 4 ad 2 quoad proportionem, utrobique enim est proportio dupla.

Arithmetica proportionalitas consistit inter terminos secundum numerum, quae est comparatorum ad invicem aequalitas differentiarum, quali proportione sunt proportionabilia 6-4, 3-1. Nam sicut se habent 6 ad 4, ita 3 ad 1 quoad differentiam sive excessum, nam sicut 6 excedunt 4 per 2, ita 3-1 per 2, differentia autem sive excessus dicitur quo maior quantitas excedit minorem, ut si 6 comparentur ad 4, duo vocantur differentia, nam 6 excedunt 4 per 2.

Harmonica vero proportionalitas consistit in differentiarum proportionibus, quae est aequalitas proportionis maximi termini ad minimum, et differentiae maiorum terminorum ad differentiam minorum, ut patet in his terminis 3-4-6, nam 6 ad 3 est proportio dupla, iterum 6 excedunt 4 per 2, 4 vero excedunt 3 per 1, duorum vero ad 1 est proportio dupla, qualis erat 6 ad 3.

[74] Proportionalitas geometrica est duplex, scilicet, continua et discontinua. Continua est aequalitas proportionum per communem terminum medium vel per communes terminos medios copulata, per communem terminum, sicut hic, sicut se habent 4 ad 2, ita 2 ad 1 per communes terminos sicut hic, sicut se habent 8 ad 4, ita 4 ad 2, et 2 ad 1.

Proportionalitas geometrica discontinua est aequalitas proportionum per nullum communem terminum medium, vel per nullos communes terminos medios copulata, sicut hic, sicut se habent 16 ad 8, ita 6 ad 3, et 4 ad 2.

Proportionabilia proportionalitate geometrica sunt quorum proportiones sunt aequales, sicut sunt 6-3, 4-2.

Proportionabilia proportionalitate geometrica permutatim dicuntur illa quae sic se habent quod eadem sive aequalis est proportio antecedentis unius ad antecedens alterius et consequentis unius ad consequens alterius, sicut hic, 8-4-2-1, unde qualis est proportio 8 ad 2, talis est proportio 4 ad 1, utrobique enim est proportio quadrupla.

Proportionalitas arithmetica est duplex, scilicet, continua et discontinua: continua proportionalitas arithmetica est aequalitas differentiarum per communem terminum medium vel per communes terminos medios copulata. Exemplum per communem terminum medium sicut se habent 3 ad 2, ita 2 ad 1. Exemplum per communes terminos medios sicut se habent 4 ad 3, ita 3 ad 2, et 2 ad 1.

Proportionalitas arithmetica discontinua est aequalitas differentiarum per nullum communem terminum vel terminos copulata, ut hic, sicut se habent 6 ad 4, ita se habent 10 ad 8, et 3 ad 1.

Proportionabilia proportionalitate arithmetica dicuntur quorum differentiae sunt aequales, sicut sunt 4-6, et 3-1.

Proportionabilia proportionalitate arithmetica permutatim dicuntur illa quae sic se habent, quod sicut se habet antecedens unius ad antecedens alterius, ita se habent antecedens unius ad antecedens alterius, ita se habent consequens unius ad consequens alterius, et hoc quoad excessum seu differentiam, ut hic 6-4-3-1, ut sicut se [habent] 6 ad 3, ita se [habent] 4 ad 1, ubique enim est excessus ut tria.

[75] Capitulum LXXXVII

De notabilibus in proportionalitate

Circa proportionalitatem autem quaedam sunt notabilia attendenda quorum primum est hoc. Omnis proportionalitatis ex tribus terminis constitutae denominator est terminus superficialis. Patet hoc quia quaelibet talis producitur ex denominatione semel ducta in denominationem, tamquam ex ductu numeri in numerum semel, ut patet in his terminis 1-2-4.

Secundum notabile omnis proportionalitatis ex quatuor terminis constitutae denominator est numerus solidus. Patet hoc quia quaelibet talis producitur ex denominatione in denominationem bis tamquam ex ductu numeri in numerum bis.

Tertium notabile cuiuslibet proportionis duplicatae denominator est numerus quadratus. Patet hoc quia talis producitur ex denominatione ducta in se ipsam quemadmodum ex ductu unius numeri in se ipsum.

Quartum notabile cuiuslibet proportionis triplicatae denominator est numerus cubus vel cubicus. Patet hoc quia talis ducitur ex denominatione ducta in se ipsam bis quemadmodum ex ductu unius numeri in se ipsum bis.

Quintum notabile cuiuslibet proportionis ex tribus terminis proportionalibus constitutae proportio primi ad tertium est sicut proportio primi ad secundum duplicatae. Patet hoc ex doctrina quinti elementorum Euclidis et Campani commentatoris eiusdem, ideo alia non indiget probatione.

Sextum notabile cuiuslibet proportionis ex quatuor terminis proportionalibus constitutae proportio primi ad quartum est sicut proportio primi ad tertium triplicata. Hoc etiam commentator Campanus satis declaravit quinto elementorum.

Capitulum LXXXVIII

De quibusdam dubiis in proportionibus

Dubia quaedam circa quasdam proportiones insurgunt quorum primum est an proportio quadrupla sit dupla ad duplam, quidam enim dixerunt et male quod sicut octupla non est quadrupla ad duplam, sed [76] tripla ad duplam, ita quadrupla non est dupla ad duplam, sed aliter se habet ad duplam.

Ad quod dubium sine argumentis breviter respondetur, quod quadrupla est dupla ad duplam, cuius ratio est quia ipsa producitur ex tribus terminis continue proportionalibus, scilicet, 4 ad 2, et 2 ad 1, quarum quaelibet est dupla. Hoc enim est quia binarius ductus in se producit praecise numerum sibi duplum propterea dictum est superius in tertio notabili de proportionibus quod omnis numerus in se ductus producit maiorem numerum se ipso duplicato praeter binarium. Igitur quadrupla proportio est dupla ad duplam.

Praeterea omnis quantitas est divisibilis in duas partes aequales tamquam in duas medietates, ad quarum quamlibet ipsa est dupla, sicut bipedale est divisibile in duo pedalia tamquam in duas medietates, ad quorum quodlibet est duplum et similiter quadrupedale in duo bipedalia ad quorum quodlibet est duplum. Sed proportio quadrupla est quaedam quantitas, igitur ipsa est divisibilis in duas partes aequales tamquam in duas medietates, id est, in duas duplas ad quarum quamlibet ipsa est dupla. Igitur quadrupla est dupla ad duplam, quod erat probandum.

Secundum dubium est an novecupla proportio quae est inter 9 et 1 sit dupla ad triplam, quidam enim non ulterius considerantes dixerunt proportionem novecuplam esse duplam ad triplam. Quorum ratio erat ista, quia proportio novecupla est divisibilis in duas triplas ad quarum quamlibet est dupla, scilicet, novem ad tria et trium ad unum, quarum quaelibet est tripla. Et sic dicebant novecuplam proportionem esse duplam ad triplam. Et ulterius inferebant isti hanc conclusionem non sicut denominatio ad denominationem, ita proportio ad proportionem, et probabant isti hanc conclusionem sic: Novecupla est dupla ad triplam, et tamen numerus denominator unius non est duplus ad denominationem alterius, denominator enim novecuplae est 9, denominator triplae est 3, modo 9 ad 3 non est duplus, sed maior quam duplus, quia triplus. Igitur non sicut denominatio ad denominationem, ita proportio ad proportionem. Istius opinionis prout invenimus fuit magister Thomas Barduadin, magister Albertus de Saxonia, magister Nicolaus Cresin, et multi alii eorum insequentes doctrinam.

Sed quamvis isti fuerint viri magnae auctoritatis eorum tamen salva reverentia non bene dixerunt nec viderant bene doctrinam Euclidis quinto [77] elementorum et Campani commentatoris eiusdem quia forte non venissent in hunc errorem, et ideo aliter est investiganda veritas.

Veritas igitur istius dubii sic potest haberi, dictum est enim superius in tertio notabili in proportionalitate quod cuiuslibet proportionis duplicatae denominator est numerus quadratus. Novecupla autem proportio est duplicata eo quod sit ex tribus terminis constituta, scilicet, ex 9 ad 3, et et ex 3 ad 1, et denominatur a novem, qui est terminus quadratus, cuius radix est 3, qui in se ipsum ductus producit maiorem numerum se ipso duplicato, sicut dictum est superius in tertio notabili in proportionibus, et quia producit maiorem numerum se ipso duplicato, ideo novecupla proportio non est dupla ad triplam sed maior quam dupla, ideo et cetera.

Praeterea proportio novecupla ex tribus terminis continue proportionalibus est constituta, scilicet, ex 9 ad 3, quae est una tripla et ex 3 ad 1, quae est alia tripla. Sed per quintum notabile in proportionalitate, cuiuslibet proportionis ex tribus terminis constitutae proportio primi ad tertium est sicut proportio primi ad secundum duplicata, et non dicit dupla quia proportio duplicata non est dupla, sicut dicit Euclides et Campanus et bene, ergo proportio novecupla non est dupla ad triplam.

Dicitur ergo quod novecupla proportio vel dicimus ergo quod novecupla proportio non est dupla ad triplam sicut isti dicebant, sed est dupla ad quadruplam sexquialteram. Patet hoc quia 9 ad 4 cum dimidio est proportio dupla, continet enim 9 4 cum dimidio bis, modo sicut 9 ad 4 cum dimidio, ita novecupla ad quadruplam sexquialteram, quod erat probandum.

Ad eorum autem conclusionem in qua dicunt, non sicut denominatio ad denominationem, ita proportio ad proportionem, respondetur sicut superius dictum est in quarto notabili in proportionibus, quod omnis proportio rationalis a numero denominata recipit denominationem sui numeri denominatoris, sicut dicit Euclides et Campanus. Modo denominator novecuplae est ipse ternarius radix quadrati numeri, id est, 9, a quo immediate ipsa novecupla denominatur. Patet hoc quia novecupla componitur primo ex una tripla, scilicet, 9 ad 3 a tribus denominata, secundo ex alia tripla 3 ad 1 a tribus denominata, igitur sicut denominatio ad denominationem, ita proportio ad proportionem, cuius contrarium illi dicebant. Verum est igitur notabile quartum praedictum, per quod ista proportio novecupla a tribus denominata eius numeri recipit denominationem.

[78] Tertium dubium est an proportio octupla sit tripla ad duplam sicut supradicti valentes viri dicebant et male. Dicebant enim quod octupla est tripla ad duplam, quia ipsa est divisibilis in tres duplas tamquam in tres tertias sive in tres partes aequales, quod faciliter in terminis declaratur. Proportio quae est 8 ad 1 est octupla, et componitur ex proportione quae est 8 ad 4, 4 ad 2, 2 ad 1, quarum quaelibet est dupla et ad quarum quamlibet est tripla secundum illos. Igitur octupla est tripla ad duplam, et ulterius sicut superius dictum est inferebant isti proportionistae conclusionem praedictam non sicut denominatio ad denominationem, et cetera. Et probabant istam conclusionem ad suum propositum sic. Octupla est tripla ad duplam et tamen denominator octuplae est maior denominatione duplae. Denominatur octupla ab 8, dupla vero denominatur a duobus, modo 8 non est duplus ad duo, sed quadruplus igitur non sicut denominatio ad denominationem, ita proportio ad proportionem.

Sed contra istos potest responderi quod proportio octupla non est tripla ad duplam, quia octupla componitur ex quatuor terminis continue proportionalibus. Igitur proportio primi ad ultimum est sicut proportio primi ad tertium triplicata. Patet hoc ex doctrina Campani commentatoris quinti elementorum et etiam per sextum notabile in proportionalitate, et componitur octupla proportio ex quatuor terminis, scilicet, ex 8 ad 4, 4 ad 2, 2 ad 1, et notanter dicitur triplicata et non tripla, quia tripla non est triplicata, immo differt tripla a triplicata, sicut dupla a duplicata.

Praeterea octupla proportio est plusquam tripla ad duplam. Patet hoc quia octupla, ut dictum est, producitur ex quatuor terminis continue proportionabilibus, et denominatur a numero cubico, cuius radix est binarius sicut patet per quartum notabile in proportionalitate quia haec proportio dicitur triplicata. Modo binarius ductus in se ipsum bis producit maiorem numerum ipsomet triplicato quia, sicut dictum est superius in quinta numerorum divisione, binarius in se bis ductus producit 8. Nam bis duo bis producunt 8, sed binarius triplicatus producit senarium qui minor est octonario. Dicamus ergo illorum opinionem fuisse falsam, et non esse octuplam proportionem triplam ad duplam, sicut illi dicebant, sed maiorem quam triplam ad duplam.

[79] Capitulum LXXXIX

De unitate an sit numerus

Quoniam ex unitatibus omnis componitur numerus, declarandum videtur an ipsa unitas sit numerus. Ideo notandum est quod numerus potest accipi dupliciter, scilicet, proprie et improprie prout ex principio algorismi de integris habetur. Numerus proprie sumptus est collectio unitatum, et sic unitas non est numerus quia unitas collectio unitatum non est.

Praeterea si unitas esset numerus, vel esset numerus par vel impar, non par, ut notum est, nec impar, quia primus numerus impar est ternarius, igitur unitas non est numerus. Haec enim manifesta sunt auctoritate Philolai, nam Philolaus fuit pythagoricus et volens probare tonum fore divisibilem statuit primordium toni ab eo numero qui primus est impar, quod maxime apud pythagoricos fuit honorabile efficere, talis est ternarius, hoc dicit Boetius tertio suae musicae capitulo septimo.

Architas autem volens probare quod unitas non sit numerus taliter demonstravit. Sumantur duo numeri habentes proportionem superparticularem ad invicem, ut puta sexquialteram in minimis terminis, ut sunt isti 2 et 3 sit primus C, secundus E. Isto posito arguitur sic E numerus C numerum parte una sua transcendit, sit haec D dico quoniam D numerus non erit sed unitas, quoniam in radicibus est differentiae. Si enim est D numerus et pars eius quae est E metitur D numerus D numerum quocirca et D E numerum metietur, quo fit ut E quoque metiatur. Patet igitur unitatem non esse numerum, quod fit deducendum.

Si autem numerus sumatur improprie tunc unitas erit numerus. Primus ergo numerus erit binarius, qui primus numerus par est ex quo unitas numerus non est, secundus numerus est ternarius primus impar, quod est contra communem opinionem omnium et maxime vulgi. Patet hoc de mente Philolai pythagorici secundum Boetium tertio suae musicae capitulo septimo.

[80] Secundum autem hanc rationem dicetur quod numerus binarius non est duplus ad unitatem numeralem. Patet hoc quia unitas non est numerus.

Item dicitur quod prima proportio inter numeros est proportio sexquialtera, patet hoc quia proportio sexquialtera est quando maior numerus continet minorem numerum semel et insuper medietatem minoris numeri, modo ternarius continet binarium numerum, infra quem non est alius numerus et cum hoc eius medietatem, igitur, et cetera.

Item dici potest, quod secunda proportio inter numeros sit proportio sexquitertia. Patet hoc quia proportio sexquitertia est quando maior numerus minorem continet semel et cum hoc praecise tertiam eius partem, ut patet in his terminis minimis 4 et 3.

Item argui potest quod sexquialtera et sexquitertia proportiones sunt maximae proportiones superparticulares. Patet hoc quia in superparticularibus quanto minor est proportionum numerus tanto maior est earum proportio. Hinc est quod sexquialtera prima est maior quia ex primis superparticularibus numeris et minoribus, scilicet, 2 et 3, constituta est. Sexquitertia vero ex 3 et 4 est composita numeris praedictis maioribus, quae ipsa sexquialtera minor est, et sic ultra, quanto in superparticulari maior est numerus, tanto est proportio minor. Hoc probat Boetius secundo suae musicae capitulo trigesimo nono, sic inquiens: Illud quoque addendum necessario est, quoniam si diapente ac diatesseron superparticulares proportiones continent, in maximis proportionibus collocantur. Sunt autem maximae sexquialtera et sexquitertia.

Item ex quo numerus binarius est numerus primus, prima proportio dupla inter numeros est ea quae est inter 4 et 2, et prima proportio subdupla est proportio quae est inter 2 et 4, et cetera.

Capitulum XC

De maioritate et minoritate proportionis

Interdum dubium est propositis duabus proportionibus quae ipsarum [81] sit maior vel minor, et ideo pro ipsarum cognitione nota hanc regulam: Quod propositis duabus proportionibus in suis minimis terminis, multiplica maiorem numerum unius per minorem alterius, sicut fit in subtractione unius proportionis ab alia, et illa erit maior proportio, cuius numerus ex multiplicatione producitur maior, ut exempli gratia: Captis minimis terminis proportionis sexquialterae 3-2 et proportionis sexquitertiae 4-3, et maior terminus proportionis sexquialterae multiplicetur per minorem sexquitertiae, scilicet, 3 per 3, et productum erit 9. Postea maior numerus sexquitertiae multiplicetur per minorem sexquialterae, scilicet, 4 per 2, et producetur 8. Modo numerus productus ex maiori sexquialterae et minori sexquitertiae, scilicet, 9, est maior quam productus ex maiori sexquitertiae et minori sexquialterae, scilicet, 8. Igitur maior est proportio sexquialtera quam sexquitertia, et eo modo potest videri de omni proportione, quae sit maior vel minor.

Capitulum XCI

Qui sunt minimi termini in proportionibus

Alius saepe adest dubium qui in proportione sint minimi termini, et ideo proposita tibi aliqua proportione in terminis et velis scire an illi termini in ea proportione sint minimi, age secundum hanc regulam: Divide maiorem terminum per minorem, et si post divisionem aliquid restat dividendum, per illud divide divisorem, et si adhuc ex illa divisione aliquid restat, etiam per illud secundum divisorem divide, et sic ultra, de tertio et quarto aliisque divisoribus, si opus erit, quousque tibi remaneat facta divisione aut unitas ante nihil aut nihil ante unitatem. Et si unitas remanet ante nihil dicendum est illos terminos fuisse minimos illius proportionis, et si nihil ante unitatem, dicendum est illos terminos non fuisse minimos illius proportionis. Et si gratia exempli vis videre an isti termini huius proportionis 9 et [5] sint minimi, divide primo 9 per 5 et restat 4. Deinde divide 5 qui fuit divisor per 4, qui fuit residuum, et restat unitas antequam nihil, quare dicimus supradictum proportionem fuisse in suis [82] minimis terminis. Item de proportione quae est inter 15 et 9, si vis scire utrum hi numeri sint minimi, divide primo 15 per 9, et restat 6. Deinde divide 9 divisorem per 6, qui fuit residuum, et restat 3. Deinde divide 6 qui fuit secundus divisor per 3, qui fuit secundum residuum, et restat nihil prius quam unitas. Quare dicimus supradictam proportionem non fuisse in suis minimis terminis. Sed minimos terminos per hanc regulam poteris invenire, nam facta ultima divisione ex qua tibi nihil remansit, capias divisorem huius ultimae divisionis et per ipsum dividas quemlibet terminorum producentium proportionem quam invenisti non esse in suis minimis terminis et termini qui ex divisione resultant erunt termini minimi illius proportionis. Verbi gratia quia visum est proportionem quae est inter 15 et 9 non esse in suis minimis terminis et factis divisionibus 3 fuit divisor ultimae divisionis, per ipsum 3 dividas 15 et resultans erit 5. Postea per 3 dividas 9 et resultans erit 3, et tunc dicimus quod 5 et 3 sunt minimi termini proportionis quae erat inter 15 et 9, et sic omnium proportionum minimi termini cognoscuntur.

Capitulum XCII

De musicae partibus proportionabilibus

Quoniam omnis partium coniunctio ex proportione connectitur, sonorum igitur seu vocum connexio proportionibus est constituta, proportiones autem in ipsis numeris attenduntur; proportio vero simplex numerorum vel in multiplici vel in superparticulari vel in superpartienti dicitur reperiri. In multiplici vero proportione vel superparticulari consonae vel dissonae comprehenduntur voces. Consonae sunt quae simul pulsae suavem permixtumque inter se connectunt sonum, dissonae vero quae simul pulsae non reddunt suavem neque permixtum sonum.

Proportio multiplex binario multiplicata multiplicem proportionem producit, ut si binarius est duplus ad unitatem et quaternarius ad binarium duplus erit. Quaternarius autem unitatis est quadruplus, sic enim fit ut si [83] proportio binario multiplicata multiplicem facit proportionem, et ipsa quoque multiplex est quoniam si numeri proportionalitas fuerit et prior naturaliter fuerit ultimo comparatus, si primum ultimus fuerit mensus metietur et medium, ut hic: 1-2-4.

Superparticularis proportionis medius numerus neque unus neque plures proportionabiliter intervenient. In minimis enim superparticularium sola interest unitas. Quanti vero in superparticularibus proportionibus proportionabiliter inter eiusdem proportionis minimos numeros incident, tot etiam inter ceteros eiusdem proportionis incident, sed nullus inter minimos eiusdem proportionis intervenire potest. Ergo nullus in superparticulari proportione medius intervenit, ut exempli gratia sicut inter 2 et 3 inter quos est sexquialtera proportio nullus proportionabiliter medius intervenit, ita nec inter 10 et 15 quae etiam est sexquialtera medius intervenit. Si enim de tribus binarius auferatur, reliquum est unitas quae utrumque metitur, nullus ergo inter binarium et ternarium numerus est, qui binario maior sit nec ternario minor alioquin unitas divideretur, quod est inconveniens. Quare nec inter 10 atque 15 potest numerus inveniri, qui ad 10 talem habeat proportionem qualem ad eum habet 10, et cetera.

Si proportio non multiplex binario multiplicetur nec multiplex est nec superparticulare, sit ergo proportio non multiplex 4-6 quae sexquialtera est, et fiat alia proportio ad 6, qualis fuit 6 ad 4, et illa erit alia sexquialtera 6 ad 9. Sunt ergo numeri 4-6-9, qui 9 ad 4 nec multiplex nec superparticularis proportio est. 4-6-9.

Si proportio binario multiplicetur et ea quae ex illa multiplicatione creabitur non sit multiplex, ipsa etiam multiplex non est, ut hic: 4-6-9. Dupla proportio ex duabus maximis superparticularibus est coniuncta, ex sexquialtera, scilicet, et sexquitertia, ut hic: 12-8-6 6-4-3, 12 enim ad 8 sexquialtera est, 8 ad 6 sexquitertia, sed 12 ad 6 dupla proportio est. Duo igitur sexquialteri tribus sexquitertiis aequi sunt, duo enim duodenarii tribus octonariis aequi sunt, et octo cum sit sexquitertius ad sex est etiam subsexquialter ad 12.

[84] Ex dupla proportione atque sexquialtera tripla nascitur proportio, ut hic: 6-3-2, a 6 enim ad 3 dupla proportio est, a 3 vero ad 2 sexquialtera, sed a 6 ad 2 tripla proportio est.

Si a sexquialtera proportione sexquitertia dempta fuerit, relinquitur sexquioctava proportio, ut hic: 9-8-6, a 9 ad 8 sexquioctava est proportio, ab 8 ad 6 sexquitertia, sed a 9 ad 6 sexquialtera. Si sexquitertia removeatur 8 ad 6 remanet sexquioctava 9 ad 8.


Previous part    Next part   



Except where otherwise noted, this website is subject to a Creative Commons Attribution 4.0 International License
Thesaurus Musicarum Latinarum - www.chmtl.indiana.edu/tml - 2018
Creative Commons Attribution License