Fn and Ft: MERHU1_3 TEXT
Author: Mersenne, Marin
Title: Livre troisiesme du mouuement, de la tension, de
la force, de la pesanteur, et des autres proprietez des
chordes Harmoniques, et des autres corps.
Source: Harmonie Universelle, contenant la theorie et la
pratique de la musique, 3 vols. (Paris: Sebastien Cramoisy, 1636;
reprint ed., Paris: Centre national de la recherche
scientifique, 1965), 1:157-230.
Graphics: MERHU1_3 01GF-MERHU1_3 03GF
[-157-] LIVRE TROISIESME DV MOVVEMENT, DE LA tension, de la force, de la pesanteur, et des autres proprietez des chordes Harmoniques, et des autres corps.
APres auoir parlé du mouuement des principaux corps de cet Vniuers, particulierement de celuy de la terre, il faut examiner plus particulierement ceux qui appartiennent aux chordes des instrumens, et aux autres corps qui font de l'Harmonie: ce que nous ferons dans les Propositions de ce liure, où nous traiterons aussi de la force necessaire pour soustenir le poids donné sur vn plan oblique et incliné à l'horizon.
PROPOSITION I.
La raison du nombre des retours de toutes sortes de chordes est inuerse de leurs longueurs.
SOit la chorde precedente A B attachée aux deux cheualets du Monochorde aux deux points A et B; et la chorde A F attachée aux points A et F, ie dis que la chorde A B estant tirée au point G ne retornera qu'vne fois au point F, pendant que la chorde A F tirée au point I, retornera deux fois au point H, comme monstre l'experience; de sorte que A F reuiendra tousjours deux fois pendant que A B ne reuiendra qu'vne fois: par consequent le nombre des retours d'A F est double de ceux d'A B, comme la chorde A B est double de la chorde A F: d'où il s'ensuit que le nombre des mouuemens ou des retours d'vne chorde s'augmente en mesme raison que sa longueur se diminuë, et consequemment que la raison desdits retours est inuerse de la raison des longueurs de la chorde.
La raison de cette inesgalité de retours se prend de l'esgalité de la tension, car le point G de la chorde A B va aussi viste vers F, que le point I de la chorde A F va vers H; ce qui preuue que la chorde A B est aussi tenduë, et aussi violentée au point G, que la chorde A F l'est au point I: mais parce que le point G a deux fois plus de chemin à faire iusques à F, que le point I iusques à H, il s'ensuit que le point I ira iusques à H, et reuiendra de H vers le point I, pendant que G ira à F; et qu'I frappera deux fois l'air de la ligne A F, pendant que G ne frappera qu'vne fois l'air de la ligne A B.
[Mersenne, Mouuement III, 157; text: A, B, C, E, F, H, I, K, L] [MERHU1_3 01GF]
Il faut conclure la mesme chose des autres chordes pour grandes ou petites qu'elles puissent estre; par exemple, de la chorde A H, qui est souzquadruple de la chorde A B, c'est pourquoy ses retours seront quadruples en nombre des retours de la chorde A B: et si elle estoit cent fois plus courte, ils seroient centuples, et ainsi consequemment iusques à l'infini, ou du moins iusques à la briefueté et longueur des [-158-] chordes, qui est capable de leur faire produire quelque Son, ou quelques retours. Mais il faut remarquer que la chorde A B estant tirée au point E, ne retournera pas si viste à F, comme le point I de la chorde A F retournera à H, quoy que le chemin de I à F soit esgal au chemin d'I à H, car il sera deux fois plus de temps à retourner à F, qu'il n'en employera pour retourner iusques à H: ce qui n'empesche pourtant nullement que le point G ne se meuue aussi viste que le point I, quand les distances d'où ils retornent sont proportionnelles; ce qui n'arriue pas au point I, qui est deux fois plus tendu, comme il est facile de conclure par la proportion des triangles, ou des chordes A I B, et A I F. De là vient que l'air I H est frappé et pousse deux fois plus fort et plus viste par le point I: et que le Son qui est fait par les battemens de la chorde A F est double du Son qui est fait par ceux de la chorde A B, laquelle fait vn Son d'autant plus graue qu'elle fait moins de retours en mesme temps.
D'où l'on peut conclure que le Son graue se fait de l'aigu, car si l'on diuise l'aigu, c'est à dire si l'on soustrait quelques-vns de ses mouuemens, ou retours, l'on en fera le son graue, de mesme que l'on fait vn moindre nombre par la diuision que l'on fait d'vn plus grand; par exemple si l'on soustrait vn retour de la chorde A F, l'on fera le son graue de la chorde A B, qui est à l'Octaue en bas du son de la chorde A F, de sorte que tous les sons de la Musique se peuuent faire par la soustraction et par l'addition, car si l'on adioustoit vn battement d'air à chaque retour de la chorde A B, elle feroit le son aigu de la chorde A F.
COROLLAIRE I.
L'on peut comparer la vitesse du point G ou I à la vitesse des pierres et autres missiles que l'on iette auec violence, car ils vont tousiours plus viste au commencement de leur mouuement qu'en nul autre endroit; et comme la force souzdouble du point M est cause qu'il va deux fois plus lentement à F, qu'I à H, lequel est poussé par vne double force, de mesme la pierre iettée par la force souzdouble va deux fois plus lentement que lors qu'elle est iettée par vne double force. Neantmoins c'est chose asseurée que la seule resistance de l'air, qui retarde et esteint le mouuement des missiles, n'est pas si grande que la resistance de la chorde A B, qui s'efforce tant qu'elle peut de se restablir dans sa ligne droite A F B, et qui a encore la resistance de l'air aussi bien que les missiles: c'est pourquoy ils font beaucoup plus de chemin en mesme temps que les chordes: mais nous ferons vn discours particulier de cette comparaison, et de la difference de ces deux vitesses.
COROLLAIRE II.
L'on peut encore comparer les missiles et lesdits points quant aux differentes vitesses qu'ils ont en chaque point, ou chaque partie du chemin qu'ils font, car si l'on s'imagine que la pierre iettée se meuue de G à F, elle fera deux fois plus viste le chemin de G à M, que celuy de M à F, comme le point G fait deux fois plus viste le chemin de G à M, que de M à F; et consequemment le mouuement des missiles que l'on meut violemment, vont d'autant plus lentement qu'ils s'esloignent dauantage de leur origine, c'est à dire de la force par laquelle ils ont esté iettez: et parce que la force qui est en I, est deux [-159-] fois aussi grande que celle qui est en M, I va deux fois plus viste iusques au point H, que M ne va iusques à F. Mais ce discours des missiles contient beaucoup de choses qu'il faudra examiner ailleurs.
COROLLAIRE III.
Il faut encore remarquer que le son I, qui va iusques à H, est deux fois plus fort et plus vehement que le son du point M qui va iusques à F, d'autant qu'I frappe vne esgale quantité d'air d'vne double vitesse: car la grandeur ou force du son vient de la grande quantité d'air qui est frappé d'vne grande vitesse: mais la force des sons requiert vn autre lieu.
COROLLAIRE IV.
Puis que nous trouuons que toutes choses sont icy proportionnees, l'on peut conclure que la periode entiere de tous les retours de la chorde A B, qui se font depuis G iusques à ce qu'elle se repose en F, dure deux fois autant que celles des retours de la chorde A F, qui se font depuis I iusques à ce qu'elle se repose en H: car il reste tousiours deux fois autant de chemin à faire à la chorde A B apres chaque retour, qu'à la chorde A F; mais il est difficile de sçauoir à quel endroit de la ligne G F se trouue le point G, lorsque la chorde A F commence à se reposer: c'est à dire à quel point de la ligne G F se rencontre le milieu des retours de la chorde A B, quoy que l'on suppose que la diminution des retours, depuis le premier iusques au dernier, se fasse en proportion Geometrique, parce qu'il faut premierement sçauoir la proportion du premier retour au second, et puis le nombre de tous les retours, ce que l'on ne cognoist pas; toutesfois s'il arriue que la chorde A B tirée en G fasse son premier retour plus court d'vne vingtiesme partie que la ligne F G, et qu'elle fasse mille retours auant que de se reposer, l'on peut trouuer par le desnombrement et la mesure des parties proportionnelles de la ligne G F, sur laquelle il faut marquer tous les retours, et determiner le point où se fera chaque retour combien il faut de retours pour faire le chemin de la partie donnée de la ligne G F, ce que nous ferons dans la dix-septiesme Proposition du premier liure des instrumens à chordes, et ailleurs.
COROLLAIRE V.
Puis que nous auons monstré que la chorde A B estant tirée en G retourne aussi tost au point F, que lors qu'elle est seulement tirée en M, ou en quelqu'autre point de la ligne M F, et qu'elle fait neantmoins le mesme son quant à l'aigu, comme ie suppose maintenant, il s'ensuit qu'vne bande de Violons, ou qu'vne multitude d'autres ioüeurs d'instrumens à chordes, peuuent tellement proportionner les sons graues et aigus, que le mouuement de chaque chorde sera esgal, ce que ie demonstre dans le son graue, et dans l'aigu de l'Octaue: car si l'on tire la chorde A B, qui fait le son graue, iusques à G, et la chorde A F qui fait le son aigu, iusques à I, I retournera au point H en mesme temps que G retournera à M; or la ligne I H est esgale à la ligne G M, donc vn esgal mouuement d'air peut faire le son graue et l'aigu de l'Octaue; ce que [-160-] l'on peut aysément accommoder aux autres sons aigus et aux Concerts entiers, comme nous dirons plus amplement au traité de la Composition et des Concerts.
COROLLAIRE VI.
Il s'ensuit encore de cette Proposition, que les Musiciens ont pris iusques à present les raisons de la Musique à rebours, car ils ont creu que le son graue de chaque interualle est le plus grand terme de la raison, et que l'aigu est le moindre, parce qu'ils ont seulement consideré le materiel du son, ou plustost sa cause efficiente, au lieu qu'ils eussent deu considerer sa nature et sa forme, comme nous faisons: de là vient qu'ils ont dit que le son graue de l'Octaue contient deux fois l'aigu, au lieu que l'aigu contient deux fois le graue, et qu'ils ont nommé la plus agreable proportion des sons, diuision harmonique, au lieu qu'elle est seulement Arithmetique, comme nous demonstrerons tres-clairement dans la trente-sixiesme Proposition du liure des Consonances: et consequemment l'on peut dire que la veritable raison des sons, ou de leurs interualles est inuerse de celle que tous les Musiciens ont suiui iusques à maintenant.
PROPOSITION II.
Expliquer les differentes vitesses des parties de chaque tour et retour des chordes qui seruent aux instrumens de Musique, et en quelle proportion ils se diminuent.
IL est certain que le premier retour d'vne chorde de Luth, de Viole, et des autres instrumens est plus grand que ceux qui suiuent apres, autrement ils dureroient perpetuellement, et iamais la chorde ne se reposeroit: par exemple la chorde A B arrestée aux points A et B estant poussée, ou tirée depuis le point E iusques au point C, si on la laisse aller et qu'elle reuienne iusques au point D, c'est chose asseurée qu'elle ne retournera pas iusques en C, mais seulement iusques en F, c'est à dire à quelque point moins esloigné d'E que n'est C. Or i'ay souuent experimenté que si la ligne du premier tour C D est de 20 parties, que le premier retour D F n'est que de dix-neuf parties, quoy que i'aye aussi quelquefois obserué vne plus grande raison du premier tour au premier retour, par exemple la raison d'onze à douze, de sorte que le premier tour est sesquionziesme du premier retour, comme i'explique plus au long dans la dix-septiesme Proposition du premier liure des Instrumens, dans laquelle on void la table des diminutions de chaque tour et retour, depuis le premier iusques au dernier, dont i'ay encore mis vne autre table dans la trente-deuxiesme Proposition du second liure Latin des causes du Son. Mais auant que d'en parler icy plus amplement, il faut expliquer les differentes vitesses de chaque tour et retour. Surquoy ie dis premierement que la chorde ne va iamais plus viste en aucun lieu de la ligne de ses periodes C D, que quand la main la laisse aller du point C où elle auoit esté tirée, d'autant qu'elle n'est iamais plus violentée; ce qu'il faut aussi dire des arcs qui seruent à tirer les fleches, car la chorde A C D fait vn arc, encore qu'elle face l'angle A C D dans cette figure.
Secondement ie dis qu'elle alentit tousiours son mouuement depuis C iusques à D, où il est si tardif que plusieurs croyent qu'elle s'y repose vn moment auant [-161-] que de retorner à F, auquel elle se repose encore, de sorte qu'elle se repose autant de fois comme elle fait de tours, ou de retours: par exemple si elle en fait 2000, (qui est le nombre ordinaire de ceux que fait vne chorde de Luth touchée assez fort, comme ie monstreray ailleurs) elle se reposera deux mille fois, et consequemment la longueur du son qu'elle fait est interrompu deux mille fois, encore que l'oreille l'apperçoiue comme s'il estoit continu.
En troisiesme lieu, il est certain que le tour de la chorde depuis C iusques à D est naturel depuis C iusques à E, auquel elle retourne comme à son centre, ou à sa ligne de direction A E B; et que le reste d'E à D peut estre appellé violent, parce qu'il l'esloigne de son centre E, c'est pourquoy elle resiste tant qu'elle peut à cette violence qu'elle a receuë dez le commencement de l'impression qu'on luy a fait en la tirant iusques à C: de sorte que chaque tour ou retour de la chorde est composé de deux especes de mouuemens, quoy qu'on le puisse prendre pour vn seul, à raison que la violence de la traction, ou de l'impulsion d'E à C est cause de l'vn et de l'autre.
Or ie trouue icy trois difficultez fort considerables, à sçauoir si la chorde ne va pas tousiours plus viste depuis F iusques à E, puis que nous experimentons que les corps pesans vont d'autant plus viste qu'ils approchent dauantage de leur centre, et que nous disons qu'E est le centre de la chorde, dont le point est consideré comme vne pierre qui tombe vers le centre de la terre E. La seconde difficulté consiste à sçauoir pourquoy la chorde ne s'arreste pas en E, puis qu'il semble qu'elle n'a nul autre dessein que de retourner à son centre, et neantmoins elle le quitte deux mille fois auant que de s'y reposer.
Et la troisiesme appartient à la cause des retours, ou des reflexions de la chorde, car il est tres-difficile de sçauoir ce qui la contraint de reuenir de C en E;
[Mersenne, Mouuement III, 161; text: A, B, C, D, E, F, G, H] [MERHU1_3 01GF]
mais ces difficultez meritent des Propositions particulieres, c'est pourquoy ie m'arreste seulement icy à ce qui est contenu dans cette Proposition, et dis qu'il semble probable que la vitesse du point C qui retourne en D se diminuë tousiours iusques en D, suiuant les differens espaces qu'il fait sur la ligne C D, c'est à dire que son mouuement est moins viste à proportion qu'il s'approche de D, comme il arriue aux missiles que l'on iette, qui vont deux fois plus viste dans la premiere partie de leur chemin qu'en la seconde, comme ie suppose maintenant: mais si l'on s'imagine que C descende en E en mesme proportion de vitesse que les pierres descendent au centre de la terre, c'est chose asseurée que C va moins viste de C en F, et qu'il haste sa course de F en E, de sorte que si F E est triple de C F, le point C passe aussi viste de F en E, que de C en F, c'est à dire qu'il fait trois fois plus de chemin au second moment qu'au premier, et que les espaces qu'il parcourt sont en raison doublée des temps qu'il employe à les parcourir, et consequemment que les temps de sa course sont en raison souzdoublée de ses espaces, comme i'ay monstré dans le discours de la cheute des corps pesans.
Or puis que le raisonnement tout seul n'est pas à mon aduis capable de resoudre cette difficulté, tant parce que l'on peut considerer le retour de C en E comme le jet violent d'vne pierre, ou comme son mouuement naturel vers son centre, que parce qu'il tient quelque chose de l'vn et de l'autre, et que l'on ne sçait pas la proportion dont le mouuement des missiles se diminuë, il [-162-] faut vser des mesmes experiences dont ie me suis serui pour trouuer le nombre des retours de chaque chorde d'instrument, et au lieu que ie n'ay eu besoin que d'vne chorde de leton, et de boyau de cent pieds de Roy, il en faut prendre vne longue de mille pieds, et la bander tellement que sa traction d'E en C soit de dix pieds, et qu'elle employe dix secondes minutes à chaque tour et retour, c'est à dire la dixiesme partie d'vne minute, afin qu'ayant diuisé sa ligne de retour C D en dix parties esgales, l'on ayt loisir de remarquer le temps qu'elle employe à faire chaque dixiesme partie, car si elle fait la premiere partie dans la premiere seconde, et les trois autres suiuantes dans la deuxiesme seconde, elle suiura la proportion des corps pesans qui descendent vers leur centre, et si elle passe deux fois plus viste la premiere partie que la seconde, et cetera elle suiura la proportion du mouuement violent des missiles, et cetera or la gallerie des Tuilleries est assez commode pour faire cette experience. L'on peut encore douter si la diminution de la vitesse qui se fait d'E en D suit la mesme proportion que celle de C en D, à raison que le mouuement E D est violent, puis qu'il esloigne la chorde de son centre E, duquel elle s'approche par le mouuement C E, et si la partie E D du retour C E D dure dauantage que la partie C E.
L'experience et la raison me font conclure que le point C de la chorde va tousiours en diminuant sa vitesse depuis C iusques à D, car puis qu'elle ne reuient qu'à raison de la violence qui la tend, elle doit reuenir d'autant plus viste qu'elle est plus tenduë: ce que ie demonstre en cette maniere. Quand on la tire seulement iusques à F, ou à tel point que l'on veut entre F et E, elle est aussi long-temps à faire son tour, que quand on la tire iusques à C, ou au delà, ce qui ne peut arriuer qu'elle n'aille d'autant plus lentement qu'elle est moins tirée, et consequemment moins violentée: or cette violence est d'autant moindre que le point C s'approche dauantage d'E, dans lequel elle n'est plus violentée, d'où il s'ensuit qu'elle doit aller moins viste à proportion qu'elle s'auance vers E, auquel elle se reposeroit si l'air qui enuironne A C B ne la poussoit encore vers D, ou si elle n'auoit pris vn trop grand bransle pour reuenir à sa ligne de direction.
D'où nous pouuons coniecturer la responce de la seconde partie de cette Proposition, à sçauoir que les retours se diminuent en mesme proportion que les violences, de sorte que si la violence de la chorde A D C est moindre d'vne dix-neufiesme partie, suiuant la table de la dix-septiesme Proposition du premier liure des Instrumens, le retour D F sera moindre et plus lent d'vne dix-neufiesme partie que le tour C D, et ainsi consequemment des autres tours et retours, si leur diminution continuë selon la proportion geometrique. Mais les experiences sont si difficiles qu'à moins d'vne chorde de mille pieds on ne peut s'en asseurer; et l'on n'est iamais si certain des endroits où elle reuient à chaque tour, que l'on ne puisse douter si elle n'a point passé outre, et si elle a iustement terminé ses allées et ses venuës aux points que l'on marque; de sorte qu'il est tousiours necessaire que la raison supplée quelque chose dans les experiences, qui seules ne peuuent seruir de principes pour les sciences, qui desirent vne parfaite iustesse, que les sens ne peuuent remarquer: par exemple l'on ne peut demonstrer par les sens qu'vne chorde d'Epinette soit deux, ou trois fois plus longue, plus grosse, ou plus tenduë qu'vne autre, car s'il s'en faut seulement vne cent milliesme partie sur deux pieds, il [-163-] est impossible de le remarquer: c'est pourquoy si quelqu'vn maintenoit que l'Octaue n'est pas de deux à vn, et que la plus longue chorde doit exceder la moindre de moitié, plus ou moins d'vne cent milliesme partie, il seroit impossible de le conuaincre par l'experience de l'oeil, de la main, ou de l'oreille.
COROLLAIRE.
L'on trouuera vne partie de ce que l'on pourroit icy desirer dans les Propositions qui suiuent, et qui appartiennent encore au mouuement et au repos des chordes. I'adiouste seulement icy que l'on peut s'imaginer que la force, ou le ressort qui fait reuenir la chorde de C et de D en E estant diuerse, suiuant qu'elle s'esloigne plus ou moins de son centre E, peut estre comparée a des poids differents, et que la force qui reste dans chaque retour de la chorde a tousiours mesme raison auec l'air qui reste à trauerser et à vaincre, que la force des tours precedens auoit auec les espaces d'air qu'ils ont trauersé, ce que l'on peut demonstrer.
PROPOSITION III.
A sçauoir si les chordes et les autres missiles qui ont des retours se reposent aux points de leurs reflexions, et quelle est la cause de ces reflexions.
CEtte difficulté est l'vne des plus grandes de la Physique, et ne peut ce semble estre resoluë, ou cogneuë par l'experience ny par la raison, d'autant que celuy qui nie le repos peut dire que les yeux se trompent et l'experience lors qu'vne chorde tres-longue tenduë par les deux bouts, ou vne autre plus courte attachée par le bout d'en haut, et libre par le bout d'en bas, semblent se reposer, et dira qu'elles se meuuent quoy que tres-lentement: or il y a plusieurs mouuemens qui se rapportent à cettuy-cy, à sçauoir celuy des corps pesans que l'on iette perpendiculairement en haut, et qui semblent se reposer vn peu lors qu'ils sont arriuez à l'equilibre du mouuement violent, et du naturel, c'est à dire quand la force qu'ils ont de descendre se treuue esgale à la force qui les pousse en haut, car il ne peut y auoir de mouuement où il y a esgalité de resistence, et où l'vn tire aussi fort d'vn costé que d'autre.
L'on fait encore la mesme difficulté sur les bales que l'on iette contre les murailles, qui se doiuent aussi reposer au point de leur reflexion, suiuant la pensée de ceux qui ne croyent pas que deux mouuemens contraires puissent estre continus, et qui ne mettent qu'vne contiguité entre les deux parties d'vn mesme arbre, dont l'vne est seiche, et l'autre verte, ou l'vne est morte, et l'autre vit. Ie laisse mille choses qui font plusieurs tours et retours, comme les lames d'acier, et tout ce qui tient du ressort, afin de considerer les raisons d'vne part et d'autre, dont l'vne prouue qu'il n'y a point de repos aux points de reflexion, d'autant que si la chorde precedente se reposoit en D, elle deuroit tousiours s'y reposer, ny ayant nulle cause apparente qui la repousse en E et en F. D'ailleurs si elle ne se repose point, il semble qu'elle doiue tousiours aller plus viste en tous les endroits de la ligne C D, qu'en nul endroit de la ligne D F, c'est à dire qu'elle doit obseruer la mesme proportion en son mouuement total, que la pierre qui est iettée: ce qui n'arriue pas neantmoins, car [-164-] l'experience fait voir qu'vn poids attaché à vne chorde, qui a la liberté d'aller çà et là, va beaucoup plus lentement quand il approche des points de ses reflexions, que lors qu'il s'en esloigne et qu'il passe par sa ligne de direction, comme ie monstreray apres.
Et si l'on attache vne chorde longue de mille pieds par les deux bouts, soit horizontale, ou perpendiculaire à l'horizon, et que l'on remarque la mesme difference des vitesses, et la grande tardiueté de ses mouuemens vers les points de reflexion, ausquels si elle se meut d'vne infinie tardiueté, comme fait la pierre au commencement de sa cheute tant perpendiculaire qu'oblique à l'horizon, dont ie traiteray dans vne autre Proposition, il semble que l'on ne se mesprendra pas en disant qu'elle se repose vn moment, lequel se rencontre lors que la force qui l'a poussée, est en équilibre auec le ressort naturel qui la retire à son centre E. Car si la force qui la pousse, et l'agite perpetuellement d'vn costé et d'autre, agissoit continuellement, son mouuement deuroit tousiours estre plus foible et plus lent à proportion qu'il approcheroit de son repos, et consequemment il seroit plus viste vers chaque point de sa reflexion precedente, que vers le centre E, où il paroist neantmoins plus viste qu'en nul point de la precedente reflexion, auquel il recommence vn mouuement aussi distinct et nouueau, que si l'on retouchoit la chorde.
Or supposé que ce point de reflexion soit vn vray repos, et qu'il vienne de l'equilibre des deux forces susdites, il s'ensuit que la force qui retient la chorde tant qu'elle peut dans ce point, est vaincuë peu à peu, et que ladite chorde va plus viste au point E, où toute la force estrangere est esteinte, qu'en nul autre endroit, et qu'incontinent apres cette plus grande vitesse, le mouuement commence à s'alentir iusques à ce qu'il arriue au point de l'equilibre, et de la reflexion: d'où il s'ensuit qu'il faut autrement parler du premier tour de la chorde tirée en C, que du premier retour et des autres, et que d'autant que la force de la main qui la quitte en C, ne retarde nullement la pante et l'inclination qu'elle a de retourner à son centre E, elle se haste le plus qu'elle peut selon la violence que la tension, ou la traction luy a faite. Mais si la violence est esteinte dans tous les points de reflexion, et qu'il ne demeure plus que ladite pante, il faut dire la mesme chose de chaque retour que du premier tour: et si l'experience d'vne chorde assez longue arrestée par les deux bouts, monstre qu'elle aille plus lentement en la laschant au point C, que quand elle arriue à E, il faut conclure qu'elle imite le retour des corps pesans vers leur centre, dont nous auons parlé dans vn autre lieu.
Mais puis que ie ne voy nulle raison assez forte pour demonstrer si elle se repose dans ses reflexions, ie viens à la seconde partie de la Proposition, qui consiste à la recherche de la cause de ces reflexions, car il est tres-certain que la chorde reuient plusieurs fois à son centre E, soit qu'elle se repose au point de la reflexion, ou qu'elle se meuue continuellement. Il est encore certain que la cause de cette reflexion est dans la chorde, puis que l'air exterieur ne peut auoir cette force, attendu qu'il se repose luy-mesme, lors qu'on lasche la chorde en C: or l'on sçait que les parties de la chorde s'estendent, et ouurent peut-estre leurs pores, lors qu'on la tire en C, et que ces parties se retirens, et referment leurs pores quand elle reuient en E, mais on ne sçait pas ce qui les contraint de se refermer, car si l'on dit que ce retour des parties se fait par la force de l'air interne qui s'est condensé à la traction, et qui retourne [-165-] à sa consistence naturelle, en forçant les parties de retorner à la leur, on trouue la mesme difficulté pour sçauoir ce qui contraint cet air interne à quitter sa condensation, et à se rarefier; et l'esprit ne peut demeurer content, s'il ne rencontre quelque ressort naturel dans la chorde qui agisse perpetuellement, soit que l'on admette vn mouuement perpetuel des atomes qui composent ses parties, et qui se meuuent tousiours vers E, ou que l'on suppose telle autre espece de ressort que l'on voudra, dans lequel on trouuera la mesme difficulté, si l'on ne suppose qu'il a dans soy le principe du mouuement: et lors que l'on aura consideré tous les principes de chaque mouuement, et que l'on voudra sçauoir ce qui les determine plustost à vne sorte de mouuement qu'à plusieurs autres, on sera contraint d'auoir recours au premier Auteur independant, qui determine tous les principes comme il luy plaist, et à ce qui luy plaist.
Or ce qui semble de plus certain en cecy est que la chorde, l'arc, et cetera que l'on courbe est en vn perpetuel mouuement, qui s'oppose à la force contraire de la traction, et consequemment qu'il ne faut point chercher d'autre raison du retour que ce mouuement, qui se fait paroistre si tost que l'on oste l'empeschement, comme fait le mouuement de la pierre vers son centre, car l'on peut dire qu'elle se meut tousiours, puis qu'elle fait vne perpetuelle resistence, et impression à la main qui la tient: ce qui peut aysément s'appliquer à la chorde tirée en C, ou en tel autre point que l'on veut hors du point E.
PROPOSITION IV.
Expliquer pourquoy la chorde qui reuient du lieu où on la tirée, passe plusieurs fois par de là son centre sans s'y arrester.
NOvs cherchons vne raison tres-obscure d'vn effet tres-euident, à sçauoir pourquoy la chorde A B tirée, ou poussée iusques à C passe au delà de son centre E, puis qu'elle n'a nulle autre intention que de s'y arrester, semblable à la pierre qui tomberoit iusques à son centre, où elle deuroit ce semble s'arrester sans passer outre, et sans aller deçà delà comme fait la chorde dont nous parlons, et que l'on ne s'imagineroit pas aysément deuoir passer outre son centre E, attendu que la vitesse dont elle quitte C, n'est instituée par la nature que pour luy faire reprendre sa situation droite A E B, si l'effet ne contraignoit de changer d'auis: car il n'y a guere d'apparence que la nature qui est si prudente, ou plustost qui suit si necessairement la conduite de son auteur, qui ne peut rien faire en vain, donne vne plus grande secousse à la chorde, que celle qui luy est necessaire pour la restituer dans son propre lieu; de sorte qu'il faut trouuer vne force estrangere qui la contraigne de passer outre, autrement l'on accusera la nature de la mesme imprudence que feroit paroistre vn homme, qui n'ayant autre dessein que de s'arrester à sa maison, iroit si brusquement, et si viste, qu'il ne pourroit s'y arrester sans passer beaucoup plus loin, et sans aller plusieurs fois deçà delà, et consequemment sans faire cent fois plus de chemin qu'il n'est necessaire.
Or il me semble que pour donner la raison de ce Phenomene, il faudroit cognoistre les differents jeux de l'air, et les differentes impressions qu'il fait sur la chorde qu'il repousse, car il peut luy adiouster vne nouuelle force en la [-166-] pressant, laquelle estant adioustée à celle qu'elle a de reuenir à son centre, la fait passer outre, comme l'air qui suiuroit la pierre descendante au centre, la pourroit faire passer au delà, car il est fort aysé d'auancer, et de haster ce qui court desia, par l'addition d'vn nouueau mouuement, quoy que petit.
L'on peut encore dire que ce qui a vne fois commcncé à se mouuoir de quelque mouuement que ce soit, se mouueroit eternellement, n'estoit la resistence de l'air, lequel empeschant tousiours vn peu la chorde à chaque retour, la contraint en fin de se reposer, et destruit tout son mouuement par l'addition de mille ou deux mille petits empeschemens, qui l'eussent entierement empeschée de se mouuoir dez le commencement, s'ils eussent esté tous ensemble. En effet la chorde retourneroit peut-estre aussi loin par dela E vers D, comme on la tirée vers C, si l'air ne l'empeschoit nullement, par exemple si elle se mouuoit dans le vuide.
Mais parce qu'elle se meut dans l'air, l'on peut s'imaginer qu'elle se meut aussi long-temps par ces tours et retours, comme il est necessaire pour faire autant de chemin qu'elle en feroit par l'impetuosité dont elle retourne, si cette impression la conduisoit tout droit d'vn mesme costé, ou bien que si on la iettoit d'vne aussi forte impression que celle qu'on luy fait en la poussant, ou en la tirant au point C. Il ne faut pourtant pas negliger la raison qui se prend de l'effort que fait chaque partie de la chorde pour reprendre sa place et sa situation, qui luy sert comme la pesanteur au poids, pour retorner à son centre E.
COROLLAIRE.
Si l'on remarque la diminution de chaque retour, l'on peut dire chaque empeschement de l'air, puis que c'est luy qui cause cette diminution: d'où l'on peut encore conclure plusieurs autres empeschemens qu'il apporte aux autres ressorts, et sçauoir combien il empesche plus ou moins les grandes machines que les moindres, et consequemment toutes les considerations des mouuemens de la chorde peuuent grandement seruir pour les Mechaniques.
PROPOSITION V.
Determiner la durée de chaque tour et retour de la chorde d'vn Luth, ou d'vn autre instrument; et combien elle fait de retours auant que de se reposer.
IL est certain que le plus grand retour de la chorde ne dure pas dauantage que le moindre, si l'on croid à l'experience que l'on en fait, car si elle employe vne seconde minute à faire son retour de C en D, elle employe aussi vne seconde minute à faire son retour de F en E, ou de tel autre point que l'on puisse prendre entre E et F iusques vers D, c'est à dire que si on la tiroit de douze pieds qu'elle reuiendroit aussi viste à son centre E, comme si on l'esloignoit seulement d'vne ligne de son centre E: quoy que ie ne vueille pas icy determiner s'il ne s'en manque point si peu, que l'oeil n'est pas capable de le remarquer: car puis que l'on ne peut demonstrer si la lumiere remplit sa sphere dans vn instant, ou dans vn temps si brief qu'il est imperceptible, et qu'il est peut-estre aussi difficile de demonstrer s'il y a quelque chose de stable au monde, attendu que l'on peut maintenir que tous les corps se meuuent, quoy [-167-] que leur mouuement soit trop petit pour estre sensible, ie suis bien esloigné de vouloir demonstrer ce que ie prouue par l'experience, qui sera suiuie de tous ceux qui la feront, parce qu'il faut conuaincre l'entendement par la raison euidente pour le contraindre d'embrasser vne demonstration: ce que ie desire que l'on remarque vne fois pour toutes, afin que l'on ne croye pas que i'vse tousiours de la diction demonstrer, ou demonstration dans vn sens Mathematique; ce que ceux-là concluront aysément qui sçauent la difficulté qui se rencontre à demonstrer aucune chose dans la Physique, dans laquelle il est tres-difficile de poser d'autres maximes plus auantageuses que les experiences bien reglées et bien faites, qui monstrent perpetuellement que chaque tour ou retour de la chorde tenduë, et arrestée par les deux bouts, comme est celle d'vne Viole, ou d'vn autre instrument, dure autant l'vn que l'autre; de sorte que la difference de la durée du moindre et du plus grand n'est pas sensible.
Or la raison fauorise cette experience, parce que la violence, ou l'impression que l'on fait à la chorde, est d'autant plus grande que la ligne de son retour est plus longue, c'est pourquoy elle va d'autant plus viste, que l'espace qu'elle fait est plus grand: par exemple si elle fait vn pied au premier retour, et vne ligne au centiesme, elle ira 144. fois plus viste au premier retour qu'au centiesme, où elle sera beaucoup moins violentée: et lors que la violence cessera elle se reposera.
Et s'il n'y a nul repos au point de reflexion, et que son mouuement entier soit produit par la premiere impression, il faut dire que le retour qu'elle fait de chaque point de sa reflexion vers son centre est tousiours violent, et qu'il n'est tout au plus qu'à moitié naturel, puis que c'est par le mesme mouuement que la chorde va iusques au centre, et par delà le centre. D'où l'on peut conclure que chaque costé de chaque tour et retour dure autant l'vn que l'autre, et que la seule impression exterieure estant posée pour leur cause, que la chorde va tousiours plus viste vers chaque point precedent de sa reflexion, qu'en nul endroit de sa ligne suiuante de retour, comme i'ay desia remarqué: de sorte que si le son ne se fait qu'au centre, il faut aduoüer qu'il ne se fait pas par la plus grande vitesse du mouuement, mais nous parlerons apres de cette difficulté.
Quant au nombre des retours de chaque chorde, il est tres-grand auant qu'elle se repose, car il est certain qu'elle se meut tousiours tandis que l'on en oyt le son, et que le son des grosses chordes de Luth est apperceu de l'oreille durant la sixiesme partie, ou le tiers d'vne minute, c'est à dire pendant que l'artere du poux d'vn homme sain, et sans emotion bat dix, ou vingt fois: de sorte qu'il ne reste qu'à remarquer combien de fois la chorde bat l'air dans vne seconde minute, pour sçauoir combien elle le frappe auant que de se reposer, ou plustost auant que l'on ne l'apperçoiue plus, car il n'y a nul doute que la chorde se meut encore long-temps apres que l'oreille en perd le son, et qu'il n'y a nul moyen de cognoistre le moment auquel la chorde commence à se reposer, ny par consequent le chemin qu'elle fait à son dernier retour, qui ne peut estre plus grand que 1/100000000000 de ligne, encore que la chorde ne tremblast que cent trente-deux fois, lors qu'on l'esloigne seulement d'vne ligne en la tirant hors de son centre, comme ie demonstre dans la dix-septiesme Proposition du premier liure des Instrumens: or il est certain qu'il n'y a nulle chorde renduë sur vn Luth qui ne face plus de cent trente-deux retours, [-168-] puis que les plus deliées en font du moins autant dez la premiere seconde minute, comme ie monstreray apres; d'où il faut conclure que l'oreille est merueilleusement subtile, puis qu'elle remarque des mouuemens qui sont cent mille fois moindres que la cent milliesme partie d'vne ligne, et consequemment qu'elle surpasse plus de cent mille fois la subtilité de l'oeil. Mais si l'on prend la fraction qui explique le dernier retour de la chorde marqué dans la table de la susdite dix-septiesme Proposition, l'on aura beaucoup plus de sujet d'admirer la briefueté de ces retours, car l'vnité seruant de numerateur, le denominateur a soixante zero apres l'vnité, de sorte qu'il faut vser de nostre nouuelle Arithmetique pour exprimer cette fraction prodigieuse, en disant que le 1584 retour de la chorde de Luth, qu'elle fait vers la fin de ses tremblemens, n'est que le dix-neufilion d'vne ligne, qui s'exprime par cette fraction.
1/100000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,0 0000,00000,00000 d'vne ligne.
Ceux qui n'entendront pas cette maniere de nombrer iusques à l'infini sans se broüiller, et sans aucune difficulté, en peuuent voir la demonstration dans le premier chapitre du troisiesme liure de la Verité des Sciences, où ie mets la maniere de conter le nombre qui seroit escrit depuis le Pole Arctique iusques à l'Antarctique en aussi petits caracteres que ceux de cette fraction.
COROLLAIRE.
Les derniers retours de la chorde sont si petits que si tout ce qui est au monde, par exemple la terre, les murailles, et tout ce que nous voyons, et ce que nous touchons se mouuoir par de semblables tours et retours, nous ne pourrions l'apperceuoir en aucune façon; de sorte que tous les corps du monde peuuent faire vne perpetuelle harmonie, quoy que nul ne l'entende, et que nous auons sujet de nous humilier dans nostre ignorance, à laquelle nous ne pouuons remedier iusques à ce qu'il plaise à Dieu de nous deliurer de l'obligation que nous auons à la stupidité des sens.
ADVERTISSEMENT.
Auant que de poursuiure tout ce qui appartient aux Mouuemens, aux sons, à la pesanteur, et aux autres qualitez des chordes, et des autres corps, ie veux icy mettre vn discours de la force necessaire pour soustenir, tirer, ou pousser vn poids donné sur toutes sortes de plans inclinez à l'horizon, composé par Monsieur de Roberual Professeur des Mathematiques au College Royal de France, l'on iugera aysément par cet eschantillon combien l'on peut esperer d'vn esprit si iudicieux, et si excellent: or ie le diuise en quatre Propositions, pour l'accommoder à mon sujet; quoy que l'on peust le mettre en autant de Propositions qu'il y a de Scholies, et de Corollaires.
[-169-] PROPOSITION V.
Expliquer la maniere de nombrer tres-aysément tous les tours et retours de chaque chorde de Luth, de Viole, d'Epinette, et cetera et determiner où finit la subtilité de l'oeil et de l'oreille.
IE ne mets pas icy le Traité des Mechaniques suiuant l'Aduertissement precedent, parce qu'il est plus long que ie ne croyois; c'est pourquoy ie le reserue pour vn liure particulier. Or ie viens à l'explication de cette cinquiesme Proposition: Il faut donc premierement determiner le son que l'on desire de la chorde, auant que de demander le nombre de ses retours, parce qu'elle en fait vn nombre d'autant plus grand dans vn mesme temps qu'elle a le son plus aigu. Ie suppose donc que l'on vueille sçauoir le nombre des retours de la chorde d'vne Epinette, ou d'vn Luth, lors qu'elle est à l'vnisson du ton de chappelle, que l'on prend sur vn tuyau de quatre pieds ouuert, ou de deux pieds bouché faisant le G re sol, sous lequel les voix les plus creuses, ou les plus basses de France peuuent seulement descendre d'vne Quinte pour arriuer iusques au C sol vt.
Or chacun peut porter ce ton auec soy par le moyen d'vne clef percée, ou d'vn Flageollet, qui monte à l'Octaue, à la Quinziesme, ou à tel autre interualle que l'on voudra par dessus ledit G re sol, parce qu'il suffit de se souuenir que ce son est plus haut que ledit ton de Chappelle d'vn interualle donné, pour l'exprimer apres auec la voix, ou autrement.
Cecy estant posé, ie dis premierement que la chorde qui fait ledit ton de G re sol, qui est quasi le plus bas que ma voix puisse descendre bat 168 fois l'air, c'est à dire qu'elle passe 168 fois par son centre, ou par sa ligne de direction dans le temps d'vne seconde minute, ou qu'elle reuient 84 fois vers celuy qui la pousse, ou qui la tire. En second lieu, qu'vne chorde longue de dix-sept pieds et demi suffit pour en faire l'experience, d'autant qu'elle ne tremble pas trop viste, et qu'elle donne loisir de conter ses retours, comme l'on peut voir auec vne chorde de Luth, ou de Viole de la grosseur de celles dont on fait les montans des Raquettes (que l'on fait de douze intestins de mouton) laquelle reuient seulement deux fois dans le temps d'vne seconde, lors qu'elle est tenduë auec vne demie liure, quatre fois estant tendüe de deux liures, et huit fois estant tendüe de huit liures: or si l'on fait sonner vne partie de la chorde qui n'ayt que dix pouces, quand elle est bandée auec quatre liures, elle monte à l'vnisson du ton de Chappelle, et quand elle est bandée de huit liures, estant longue de vingt pouces elle monte au mesme ton, et finalement quand elle n'est tendüe que par la force d'vne demie liure, elle fait le mesme ton, en prenant seulement la longueur de cinq pouces.
D'où il faut conclure que les tremblemens sont en raison sous-doublée des poids, ou des forces qui bandent la chorde, et consequemment que les forces sont en raison doublée des battemens d'air, ou des tremblemens de la chorde: c'est pourquoy il ne suffit pas de bander vne chorde deux fois plus fort pour la faire mouuoir deux fois plus viste, mais il la faut tendre quatre fois plus fort. Ie laisse plusieurs autres conclusions que ie deduis dans la 16. Proposition du 1. liure, et dans la 7, 8, 12, 15, 16, 17, et 18. du troisiesme liure des [-170-] instrumens à chordes, et viens à la seconde partie de cette Proposition, qui est beaucoup plus difficile que la premiere. Car les extremitez et les commencemens des actions naturelles nous sont ordinairement incogneus, et la maniere dont elles se font surpasse l'esprit de l'homme; ce qu'il suffit de monstrer dans le mouuement dont nous parlons icy, lequel est souuent trop viste, ou trop lent pour estre apperceu: or il est certain que l'oreille n'apperçoit pas plusieurs mouuemens que l'oeil descouure, ce que l'on experimente au mouuement de la chorde de dix-sept pieds de long, dont l'oreille ne peut remarquer les tremblemens que l'oeil void tres-bien, à raison qu'ils ne frappent pas l'air assez fort, ou assez souuent pour produire vn bruit sensible, ou qu'il n'est pas renfermé et reflechi par vn instrument, comme il arriue que le sens du toucher n'apperçoit pas plusieurs chaleurs auant la reflexion. Mais pour commencer par l'oeil, ie dis qu'il n'apperçoit pas les mouuemens quand ils sont trop vistes, ou trop lents, et qu'il ne void pas les corps quand ils sont trop petits, ou trop peu illuminez, et que l'oreille n'entend pas les sons trop foibles, ou trop esloignez: et peut-estre que les corps peuuent estre tellement illuminez, et que les sons peuuent estre si vehemens, que ces deux sens n'apperceuront rien.
Quant aux mouuemens, l'oreille ne les peut sentir que par le moyen des sons, que l'oeil ne peut apperceuoir qu'en remarquant les mouuemens. Et comme l'on ne peut iuger par l'oeil si les mouuemens sont assez forts pour se faire sentir à l'ouye, de mesme l'ouye ne peut iuger si les mouuemens qui font du son sont assez grands, ou assez lents pour estre veus. Or si l'on prend vn Monochorde, ou les chordes d'vne Epinette, l'on experimentera que l'oeil est incapable de discerner le nombre des mouuemens des chordes qui sont au ton de Chappelle, et que l'imagination se trouble lors qu'il faut conter plus de dix retours dans vne seconde; de sorte que le nombre denaire borne sa plus grande capacité, comme l'on experimentera perpetuellement: mais si l'on prend les chordes qui montent vne Octaue, ou vne Quinziesme sur ledit ton, l'oeil ne pourra plus voir le mouuement de la chorde, et iugera qu'elle se repose, au lieu que l'oreille iugera qu'elle se meut. Ce n'est pas la trop grande vistesse du mouuement des chordes, qui empesche que l'oeil ne l'apperçoiue, puis qu'il void et remarque d'autres mouuemens cent fois plus vistes, par exemple ceux des fleches, et des autres missiles, comme ie diray apres: mais parce que chaque tour et retour est trop court, et qu'ils se suiuent de trop pres pour estre remarquez: l'oreille au contraire ne peut remarquer les tours s'ils ne se suiuent assez promptement: de là vient qu'elle n'entend point les huict retours que fait la chorde de dix-sept pieds et demi de long dans vne seconde, et qu'il faut qu'vne chorde batte pour le moins vingt fois l'air dans vne seconde pour se faire entendre, et qu'elle ne le batte que quarante-deux fois pour faire voir son mouuement à l'oeil, sans neantmoins qu'il puisse conter ses retours, iusques à ce qu'elle n'en face plus que dix.
Ie laisse la determination de la vitesse, et de la tardiueté des mouuemens qui ne peuuent estre apperceus, par exemple le mouuement des aiguilles d'Horologe, celuy d'vn tison allumé que l'on torne en rond, celuy des astres et de mille autres choses qui paroissent en diuers lieux, sans qu'on puisse remarquer le mouuement, par lequel elles ont changé de lieu, afin de ne m'esloigner pas de mon sujet, et de reseruer ces remarques pour vn autre lieu.
[-171-] I'adiouste seulement que les pierres des moulins peuuent seruir pour sçauoir la derniere vistesse qu'apperçoit l'oeil, comme les aiguilles d'horologes pour trouuer la derniere tardiueté: et qu'il faut en quelque façon que la vistesse des missiles responde à l'eloignement des mesmes corps, qui est si grand que l'on ne peut plus les apperceuoir, comme il arriue à celuy d'vn pied cube que l'on ne peut voir d'vne lieuë: il faudroit donc trouuer l'analogie des esloignemens aux vistesses, ou aux tardiuetez des mouuemens de toutes sortes de grandeurs: ce qui merite des speculations, et des experiences particulieres.
COROLLAIRE.
Il importe fort peu que les experiences du nombre des retours que i'ay mises dans la 17 et 18 Proposition du troisiesme liure des Instrumens, ne respondent pas à celles de cette Proposition, comme lors que i'ay dit que les Basses de France descendent iusques au son de 48 battemens, dans la page l43, pour faire l'vnisson auec vn tuyau de quatre pieds ouuert, et que i'ay mis dans cette Proposition 84 tremblemens pour le mesme tuyau, c'est à dire quasi deux fois autant, parce que i'ay quelquefois pris l'Octaue en haut, et d'autre-fois en bas. Et puis ie n'ay pas proposé mes experiences afin qu'on les suiue pour regle, mais seulement afin que chacun prenne la peine de les faire, et qu'il aiuste son oreille, et tel tuyau d'Orgue, ou tel autre instrument qu'il voudra au nombre des tremblemens qu'il choisira: car il suffit que le mesme nombre de tremblemens face tousiours le mesme ton, sans que les differentes dispositions de l'oreille, de la voix, ou des instrumens y puissent preiudicier, comme i'ay aussi remarqué dans le sixiesme Corollaire de la 18. Proposition susdite: ce que ie desire que l'on remarque pour toutes les autres experiences, qu'il suffit qu'vn chacun puisse verifier, ou rectifier suiuant la maniere que ie prescris, ou selon telle autre methode qu'il iugera plus propre et plus aysée.
PROPOSITION VI.
Determiner à quel moment, et en quel lieu des tours et retours de la chorde le son est produit: et si le son est plus aigu au commencement des tremblemens qu'à la fin.
CEs deux difficultez sont tres-grandes tant parce qu'il est difficile de les assujettir à l'experience, que parce que les raisons semblent s'opposer aux experiences que l'on fait, comme nous verrons apres. Ie dis donc premierement que le son ne se fait pas par le premier tour de C en E, ou du moins qu'il n'est pas sensible, car on ne l'entend point, si l'on met le doigt ou quelqu'autre chose au centre E pour empescher le premier passage de la chorde: il ne se fait pas aussi par le reste du premier tour d'E en D, car il y a mesme raison de l'vn que de l'autre, et neantmoins la raison dicte, ce semble, que le son se doit plustost faire par ce premier tour, que par aucun autre tour, puis qu'il frappe l'air auec plus de vistesse et de violence, attendu qu'il passe toute la ligne C D en mesme temps que chaque autre en passe vne moindre. Or ie parle icy du son qui est determiné par vn certain degré de graue, ou d'aigu, car l'on peut entendre quelque sifflement d'air dans le premier retour, particulierement quand il y a quelques pores, ou inesgalitez assez sensibles dans [-172-] la surface de la chorde. Mais quant au son qui constituë le ton de la chorde, il commence seulement à se faire au premier retour de D en E, qui rencontre l'air qui suiuoit C au premier tour, et le repousse auec violence de D en E; de sorte que l'air E se treuue enfermé entre l'air qui suiuoit de C en E, et entre celuy qui est repoussé de D en E: de là vient que le son est d'autant plus aigu que la chorde bat plus souuent le centre E, et que ses degrez s'augmentent en mesme proportion que le nombre des retours: de maniere que si la chorde bat cent fois F, elle fait vn son qui a cent degrez d'aigu: et si elle le bat si peu souuent que l'air ayt loisir de fuir, ou de se restablir depuis le premier tour iusques au premier retour, elle ne fait nul son qui puisse estre entendu.
PROPOSITION VII
Expliquer les differents centres, et les differentes forces de chaque retour des chordes.
IL est certain que chaque retour a son centre different, si l'on prend le centre de chaque arc qui se fait à chaque retour: par exemple, supposé que la chorde A B soit tiree iusques à C, et qu'elle retourne en D, et consequemment que le concaue de l'arc A C B se change au conuexe de l'arc A D B, comme il arriue en effet dans chaque tour et retour de la chorde, K sera le centre d'A C B, ou d'A D B qui luy est esgal, en transportant K de l'autre costé, à l'opposite. Mais l'arc du retour A F B a son centre en M, c'est à dire deux fois plus esloigné que K, de sorte que le centre est dautant plus loin que le sommet du retour est plus pres du centre de la ligne de direction E. Or bien que les retours ne s'esloignent iamais si fort que l'arc A C B, ou A D B s'esloigne d'E, neantmoins i'ay vsé de cette distance, afin qu'on la comprenne mieux: car encore que les chordes de Luth ayent trois, quatre, ou cinq pieds de long, on ne les esloigne pas plus d'vne ligne hors de leur centre E quand on les touche; c'est pourquoy les centres de leurs arcs sont extremement esloignez d'E, dautant que ces arcs different fort peu de la ligne de direction A E B: par exemple l'arc A G B a son centre au point Q. Semblablement E est le centre de l'arc R C S, donc R E S est la chorde, et D est le centre de l'arc R F S. Mais si l'on prenoit le centre de cette chorde depuis les points de l'arrest, à sçauoir depuis A ou B, le point C, ou D n'auroit pas le mesme centre que le point E, comme l'on void au triangle A C D: d'où l'on peut conclure qu'E, et consequemment que tous les points de la chorde A E B, changent d'vne infinité de centres, lors que la chorde se change de droite en courbe; par exemple le point E estant tiré en C ne depend plus du centre A, autrement il deuroit monter de D en C par l'arc D T C, ou par l'arc E F Y en montant. Or chaque partie de la chorde s'estend, et consequemment s'affoiblit et se rend plus deliee à proportion que les arcs sont plus grands, et qu'ils ont leur centre plus proche: Et quand les chordes reuiennent à passer par leur ligne de direction, les parties estenduës se resserrent, et rendent la chorde plus grosse en la restituant au mesme estat dans lequel elle estoit deuant: et neantmoins l'impetuosité qu'elle s'imprime à chaque retour est si grande, qu'elle est contrainte de passer beaucoup plus auant que son centre E.
Quant à la force des chordes, il est certain qu'elle est dautant moindre qu'elles s'esloignent moins d'E, et que leur centre est plus esloigné, comme il est aysé de voir dans cette figure, dans laquelle l'arc A F B a dautant moins de [-173-] force que l'arc A C B, qu il a moins d'air à pousser et à passer, et qu'il est moins violenté: or il est dautant moins violenté qu'il est plus petit, puis que ses parties s'estendent moins: de sorte que l'on peut dire que l'arc A C B pousseroit dautant plus loin, et plus fort la fleche C D, que l'arc A F C la fleche F D, qu'il est plus grand: ce qui merite de nouuelles speculations, afin de trouuer les differentes forces d'vn arc selon les differentes courbures, et les diuers centres qu'on luy donne en le ployant.
[Mersenne, Mouuement III, 173; text: A, B, C, D, E, F, G, H, I, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, V, X, Y] [MERHU1_3 01GF]
Surquoy ie trouue vne nouuelle difficulté, à sçauoir si la chorde R S estant menee iusques en C pour faire l'arc R C S, pousseroit aussi loin ou plus la fleche C E, que l'arc A C B, car ils font tous deux vn mesme chemin de C à E, quoy que R C S aille deux fois plus viste, puis qu'il a le son deux fois plus aigu, à raison que la chorde R S est sousdouble de B A. L'autre difficulté consiste à sçauoir si la fleche estant en T seroit poussee aussi fort par le point I ou H, que par le point C ou D, attendu qu'vne esgale force tire le point H et le point D de la chorde A D B, ou A E B, en D et en H, car si vne liure attachee au point E le tire iusques à D, elle tirera le point V iusques en H. Et neantmoins il n'y a pas d'apparence que le point H pousse la fleche H I aussi loin que le point D: à quoy l'on pourroit respondre que le point H pousseroit la fleche plus obliquement que D, et que H va plus lentement à V que D à E, et consequemment que D a du moins vne force impulsiue dautant plus grande que D E est plus long que H V.
Quant au moindre arc R C S, il seroit dautant plus bandé que le plus grand A C B, qu'il est vn plus grand segment de son cercle; or la plus grande tension de R C S peut recompenser la grandeur d'A C B: quoy qu'il soit fort difficile de determiner de combien de deux arcs donnez de differentes forces et grandeurs, le moindre doit estre plus tendu que l'autre pour pousser vne fleche, ou autre chose aussi loin, ou plus et moins loin selon la raison donnee, car il y a tant de choses à considerer dans les instrumens qui poussent les missiles, et dans les differens empeschemens de l'air, que lors qu'on croid en auoir trouué la proportion, on est souuent contraint d'auoüer l'imperfection de nostre raisonnement, et les defauts des experiences: par exemple il ne s'ensuit pas qu'vn arc double en force d'vn autre enuoye la bale ou la fleche deux fois plus loin, si leurs forces suiuent celles des poids qui descendent naturellement, puis qu'il est certain que de 2 poids qui descendent celuy qui est deux, quatre, ou mesme huict fois plus pesant, ne descend pas deux fois plus viste, quoy qu'il soit d'vn esgal, ou d'vn moindre volume: et neantmoins il semble qu'en matiere de mouuement violent celuy qui est double, triple, et cetera doit enuoyer le missile deux ou trois fois plus loin, quand toutes choses sont bien proportionnees. Mais i'en renuoye la recherche plus particuliere à la science des Mechaniques: i'adiouste seulement qu'il faut considerer en quel lieu la mesme force appliquee à la chorde A E B donne plus d'extension à ses parties: par [-174-] exemple la chorde A D B est plus longue que A H B, encore qu'elles soient esgalement tenduës, comme l'on prouue par le mesme poids, qui tire la chorde A B à tel lieu que l'on veut de l'arc A D H B, car toutes leurs parties doiuent ce semble estre esgalement violentees par vne mesme force appliquee à toutes sortes de lieux.
PROPOSITION VIII.
Determiner toutes les raisons qui sont entre la longueur des corps et leurs sons.
IL est certain qu'vne chorde esgalement tenduë sur vn Luth, ou sur vn autre instrument, fait vn son d'autant plus graue qu'elle est plus longue, et plus aigu qu'elle est plus courte, parce qu'elle a ses tours et retours plus tardifs, ou plus vistes; de sorte que si de deux chordes esgales, l'vne est esgale au diametre, et l'autre au costé du quarré, l'on aura deux sons en mesme raison que les chordes, et par consequent ils seront incommensurables. Or cecy est tousiours veritable quelque longueur que l'on donne aux chordes, de sorte que si l'vne est cent fois plus longue que l'autre, elle fera vn son cent fois plus graue; ce qu'il faut entendre de deux chordes esgales en grosseur, et en tension: et consequemment les sons des chordes ont mesme raison entr'eux que les longueurs desdites chordes. Mais si elles sont differentes en grosseur, et qu'on les considere comme des cylindres de mesme hauteur, dont les bases sont inesgales, il est certain que la raison de leurs bases doiuent estre en raison doublee de leurs sons, car toutes les experiences monstrent que le diametre de la base de la chorde, qui fait l'Octaue en bas contre vne autre chorde d'esgale longueur et tension, est double du diametre de la base de cette chorde plus deliee. D'où il s'ensuit que la grosse chorde contient quatre fois la moindre, puis que les cylindres de mesme hauteur sont entr'eux comme leurs bases, car la base du plus gros est quadruple de celle du plus delié, parce que les bases sont en raison doublee de leurs diametres.
Or il faut premierement remarquer que l'esgale tension dont ie parle icy, se doit entendre d'vne esgale force, qui bande l'vne et l'autre chorde, afin que l'on ne confonde pas l'esgalité de la force auec l'esgalité de la violence que souffrent les chordes, parce qu'il est certain que la plus grosse chorde n'est pas si violentee par le poids d'vne liure, comme la moindre, et que cette difficulté requiert vn discours particulier.
Secondement, que cette speculation peut seruir pour monter toutes sortes d'instrumens de chordes de mesme longueur, et de differente grosseur, par vne force esgale appliquee à chaque chorde: par exemple celle dont la base sera sexdecuple, ou le diametre quadruple, tenduë auec le poids d'vne liure fera la Quinziesme, ou le Disdiapason en bas contre celle dont la base sera soussexdecuple, ou le diametre sous-quadruple. Ce qui est merueilleux, parce qu'il semble que la chorde double en grosseur deuroit faire l'Octaue en bas, comme fait la chorde double en longueur: et neantmoins il faut mettre quatre chordes ensemble, et n'en faire qu'vne des quatre pour faire l'Octaue en bas, au lieu que si on les estendoit en long, elles feroient la double Octaue; de sorte qu'il faut recompenser le double espace qu'on gaigne en redoublant la matiere: mais nous parlerons de cette difficulté dans vne autre Proposition, car il suffit de sçauoir en celle-cy qu'il faut doubler la raison de chaque interualle des sons [-175-] pour auoir les chordes qui les produisent, dont ie mets la pratique dans le troisiesme liure des instrumens, Proposition septiesme.
En troisiesme lieu, qu'outre l'experience des chordes de toute sorte de matiere, l'on trouue les mesmes raisons entre des morceaux de parchemin si deliez qu'on les peut prendre pour de simples surfaces, et pour des largeurs sans profondeur, car le morceau de parchemin quadruple en largeur, tendu par vn mesme poids que le sousquadruple de mesme hauteur, fait l'Octaue en bas: or le morceau quadruple en largeur est seulement double en diametre, quand il est tordu en rond comme vne chorde. Si l'on estend les chordes de metal en large, la double en diametre se trouuera quadruple en largeur comme le parchemin: Et si l'on tord quatre chordes ensemble, elles feront l'Octaue auec l'vne des quatre.
Or encore que ce discours soit veritable dans les chordes enduës sur les instrumens, ou en telle autre maniere que l'on voudra, il ne s'ensuit pas que les autres corps cylindriques, ou d'autre figure ayent la mesme raison auec les sons, que les chordes, comme plusieurs ont creu iusques à maintenant: ce que ie monstre par les experiences tres-exactes que nous en auons faites plusieurs fois en la presence d'excellens Geometres et Musiciens, dont l'oreille est tressçauante et delicate: et si quelqu'vn en doute, ie luy feray voir les mesmes experiences, qui meritent vne particuliere Proposition.
PROPOSITION IX.
A sçauoir si deux, ou plusieurs sons estant donnez, l'on peut trouuer les cylindres sonores qui produisent lesdits sons: ou si les cylindres estant donnez, on peut sçauoir leurs sons: où l'on verra plusieurs experiences merueilleuses.
AYant fait tirer plusieurs cylindres de differentes grosseurs, et longueurs de mesme matiere par differens trous des filieres, et ayant premierement comparé les differens en longueur, et esgaux en grosseur, nous auons trouué que le quadruple en longueur ne faisoit que la Septiesme mineure, qui paroissoit à plusieurs n'estre qu'vn ton, sans qu'il y eust quasi moyen d'en rectifier l'imagination, à raison qu'vn mesme cylindre fait deux ou trois sons differens en mesme temps, dont l'vn s'entend mieux de loin que de prez, et l'autre s'entend mieux de prez que de loin, de sorte qu'il semble faire vn autre son quand on l'approche de l'oreille, que lors qu'il en est esloigné.
Or les deux sons qu'ils font, sont le plus souuent differents d'vne Quinte, ou de ses repliques, ou d'vne Quarte, ou d'vne Octaue, et de ses repetitions, ce qui apporte de si grandes difficultez à ces experiences, qu'à moins que d'auoir vn grand amour de la verité, il est tres-difficile de les verifier. Quoy qu'il en soit, ie mets icy les plus iustes qui se soient peu faire, ou imaginer, en laissant les diuers Phenomenes qui s'y rencontrent, à raison des differens sons que chaque corps fait en mesme temps, car i'ay tousiours creu qu'il faut particulierement s'arrester aux sons dominants qui s'entendent mieux, et qui paroissent plus forts que les autres. Les deux cylindres de mesme grosseur, dont les longueurs sont comme quarante lignes à dix-sept, c'est à dire quasi comme de cinq à deux, sont l'Octaue: où il faut remarquer que ie mets leurs longueurs en lignes, dont 144. composent le pied de Roy, parce que ie m'en suis seruy, et qu'elles sont [-176-] tres-vsitees en nostre France: or le diametre de ces deux cylindres ont deux lignes.
Deux autres cylindres, dont le diametre est d'vne ligne et demie, sont en raison de 86 lignes à 37, quand ils font l'Octaue, c'est à dire que leurs longueurs sont quasi de sept à trois. Où il faut remarquer que ie mets les longueurs, et les grosseurs de ces cylindres, afin que l'on ne s'imagine pas qu'il y ayt de l'erreur en mes experiences, encore que des cylindres d'autre grosseur ou longueur ayent, peut-estre, d'autres proportions pour faire l'Octaue, puis que la premiere proportion de cinq à deux differente de cette seconde de sept à trois, monstre desia quelque chose de semblable: de sorte qu'il y a de l'apparence que toutes les differentes longueurs et grosseurs gardent des raisons differentes en leurs grandeurs pour faire l'Octaue, et les autres interualles des sons; et que la raison de la longueur des plus gros cylindres approchent plus pres de celle des interualles harmoniques, que ne fait la raison des plus deliez.
Or la derniere grosseur des deux cylindres estant conseruee sur la longueur de deux à vn, ils font le Triton ensemble: ce qui arriue semblablement aux deux cylindres, dont l'vn est double en longueur, et qui ont les diametres de leurs bases de deux lignes, et à plusieurs autres de differentes grosseurs: de sorte que c'est quasi ce que i'ay obserué de plus certain dans les differentes longueurs, à sçauoir que le double en longueur fait tousiours le Triton, ou la fausse Quinte en bas contre le sousdouble: ce qui est estrange, attendu que le double estant seulement allongé d'vn pouce, c'est à dire d'vn tiers du moindre, ou de la sixiesme partie du plus grand, le fait autant descendre que les trois autres pouces precedens; car estant esgaux en longueur ils font l'vnisson; trois pouces adioustez à l'vn des deux le fait descendre au Triton, et vn autre pouce estant adiousté le fait descendre à l'Octaue, c'est à dire autant que les trois pieds precedents, ce que l'on n'eust iamais coniecturé par la seule raison; c'est pourquoy il s'y faut peu fier dans les choses naturelles, si elle n'est appuyee d'experiences. Surquoy il faut remarquer que le cylindre le plus long semble tressouuent monter d'vne Quarte plus haut que le moindre, encore qu'il soit d'vne Quinte plus bas: ce qui est si difficile à discerner, qu'il ne seroit pas possible de se resoudre si la raison n'aydoit à l'oreille, comme l'on experimente sur nos cylindres de pure rosette, ou cuiure rouge tout pur.
D'où il arriue que le cylindre quadruple, quintuple, ou sextuple en longueur ne paroist pas descendre à l'Octaue du sousquintuple, et cetera encore que son ton soit beaucoup plus bas, à raison d'vne grande multitude de sons qu'il fait en mesme temps, et qui se confondent ensemble, dont le plus graue est vn gros bombus, ou bruit que l'on entend en l'approchant de l'oreille, lequel est souuent à l'Octaue, ou aux repliques de l'Octaue du son plus aigu qu'il fait: de sorte qu'en s'imaginant ce son plus aigu, l'on croit qu'il monte plus haut que les cylindres plus courts. Ie laisse milles Phenomenes que les experiences font remarquer sur ce sujet, afin d'expliquer la raison des sons, et des differentes grosseurs des cylindres de mesme longueur, qui sont tous d'vn demi pied: mais le diametre de la base du plus gros est de dix lignes, celuy du second de cinq lignes, celuy du troisiesme est de 3 1/2 lignes, celuy du quatriesme de 2 et 1/2, et celuy du cinquiesme quasi de deux.
Or ie marque premierement les sons qui me parroissent, et puis ceux qui ont esté determinez par des Musiciens qui ont vne bonne oreille. Le premier semble [-177-] descendre d'vn ton plus bas que le second: et neantmoins on a determiné qu'il montoit plus haut d'vne Septiesme mineure: ce qui n'est pas si estrange que l'on pourroit s'imaginer, parce que si l'on prend le son du second pour le plus graue, il est necessaire qu'au lieu de la Septiesme, qui s'entend en prenant le son du premier cylindre pour le plus graue, il paroisse vn ton: de mesme qu'il seroit necessaire que quand l'vn monte d'vn ton, et qu'au lieu de prendre son ton naturel, on le prend à l'Octaue d'en bas, il est necessaire que la Neufiesme s'entende au lieu du ton, et au contraire: ce qui reuient quasi à la differente maniere de considerer les segmens d'vn cercle, ou leurs complemens.
Quant au troisiesme cylindre il descend plus bas d'vne Quarte que le second; quoy que quelques-vns iugent qu'il monte plus haut d'vne Quinte, laquelle est tousiours entenduë au lieu de la Quarte, quand on prend le ton naturel trop bas d'vne Octaue. Le quatriesme descend plus bas d'vn ton que le troisiesme: et si l'on prend son gros bruit pres de l'oreille, il descend d'vne Quinte. Mais le cinquiesme monte vne Quinte plus haut que le quatriesme, au lieu qu'il deuroit descendre plus bas, suiuant la raison des precedens.
Quant aux cylindres differens en grosseur et en longueur, il est tres-aysé de les proportionner tellement qu'ils feront tel son que l'on voudra, car si leurs longueurs et leurs grosseurs sont en mesme raison que les interualles des sons, ils les produiront: par exemple, si l'on desire l'Octaue, les deux cylindres dont l'vn sera double de l'autre, tant en longueur qu'en hauteur, feront l'Octaue tres-iuste, comme enseigne l'experience, car ayant fait tirer deux cylindres, l'vn d'vn pied de long, et l'autre de demi pied, i'ay trouué qu'ils faisoient l'Octaue, lorsque le diametre de la base du plus grand estoit double du diametre du moindre, quelque grosseur qu'ayent les cylindres.
Il faut dire la mesme chose de tous les autres interualles, de sorte que deux cylindres feront la Quinte, si le diametre de la base du plus gros est sesquialtere du diametre de la base du moindre, et si sa hauteur est semblablement sesquialtere de l'autre: et si l'on garde la raison des autres interualles, tant dans la longueur que dans la grosseur des cylindres, ou de toutes autres sortes de corps quarrez, triangulaires, et cetera ils feront tousiours les sons que l'on desire.
COROLLAIRE.
Ie ne parleray pas icy de la proportion des tuyaux d'Orgue, parce que i'en fais des discours particuliers dans le liure des Orgues; ny de tout ce qui appartient aux corps des instrumens à vent, d'autant que i'en fais vn liure entier: de sorte qu'il suffit de remarquer quelques Phenomenes des cylindres dans la Proposition qui suit, apres auoir monstré que l'on ne peut rien establir de certain dans la Musique par la longueur des cylindres, comme il est aysé de conclure par toutes nos experiences.
PROPOSITION X.
Expliquer quelles longueurs et grosseurs doiuent auoir les cylindres pour faire des sons, dont on puisse discerner le graue et l'aigu; et pourquoy ils ne suiuent pas la raison des chordes.
DE plusieurs cylindres de cuiure, il me semble que celuy qui a demi pied de hauteur, et dont le diametre de la base est de cinq lignes, sonne le mieux [-178-] de tous, et que le son en dure plus long-temps; de là vient qu'il imite celuy des timbres. Mais celuy d'vn pouce et demi, ou de deux pouces ne fait plus aucun son, dont on puisse iuger. Où il faut remarquer que le cylindre de quatre pouces de hauteur, dont le diametre de la base est de dix lignes, fait encore vn son dont on peut iuger, car il monte vne Quinte plus haut que celuy de demi pied; de sorte que les longueurs de ces deux cylindres suiuent la raison des sons, quoy que nous n'ayons pas obserué la mesme chose dans les plus deliez: ce qui monstre qu'il ne faut pas se contenter de peu d'experiences pour establir vne verité generale, et qu'il en faut faire plusieurs en toutes sortes de volumes.
Or bien que ce gros long de quatre pouces sonne assez bien pour en iuger, il ne s'ensuit pas que celuy d'vn pouce de long sousquadruple en grosseur du precedent puisse sonner, car le soussexdecuple en grosseur d'vn pouce et demi de long ne fait plus de son dont on puisse iuger.
Et toutes nos experiences me font conclure qu'il faut du moins qu'il ait deux pouces pour faire vn son distinct, pour mince et delié qu'il puisse estre: car s'il est fort gros, il ne sonnera pas: et quelque hauteur qu'il ayt, il ne sonnera pas si elle n'est du moins quadruple du diametre de sa base: de là vient que les cubes de metal ne sonnent pas mieux qu'vne pierre de mesme figure.
Quant à l'incertitude des sons qui vient de la trop grande longueur des cylindres, elle commence à ceux qui ont demi pied de haut, et deux lignes en diametre, et suit en tous les autres plus deliez, dautant qu'ils font de certains bruits tremblans et confus, dont il est tres-malaysé de prendre le ton, qui commence seulement à estre assez distinct ez cylindres de demi pied de haut dont le diametre de la base est de quatre lignes.
Voyons maintenant pourquoy les cylindres ne suiuent pas la raison des chordes, qui sont aussi des cylindres surquoy il faut premierement remarquer qu'ils ne produisent pas leurs sons par les seuls battemens de l'air exterieur, comme font les chordes, mais par le tremblement de l'air interne qui est dans leurs pores, lequel est esbranlé par le fremissement de toutes les parties du cuiure, comme l'on apperçoit en touchant les cylindres, et les Cloches, qui font la mesme chose en sonnant: et parce que les parties fremissent differemment, et par consequent que l'air interne ne se meut pas vniformement en toutes les parties, il arriue que l'on entend plusieurs sons differens d'vn mesme corps, suiuant les endroits par où on le frappe, ou selon les fremissemens differens des diuerses parties du corps qui resonne. De là vient que les chordes, et toutes autres sortes de corps font trois ou quatre sons differens en mesme temps, qui s'accordent ensemble, comme ie remarque dans le quatriesme liure des Instrumens à chordes, et ailleurs: ce qui est digne de tres-grande consideration, car il semble que l'harmonie des accords soit imprimee dans la nature de chaque chose, qui s'employe à loüer son Autheur si tost qu'elle est touchée: car tous les corps sonores font ordinairement l'Octaue, la Quinte, la Quarte, et les Tierces; ce qui paroist particulierement dans les plus grands corps: par exemple, lors qu'on frappe la lame d'vne espée de damas, ou quelque vase assez large fait en façon de lampe, dont les bords sont fort minces, ou que l'on touche doucement l'vne des grosses chordes de la Viole auec l'archet, on entend toutes ces consonances en mesme temps, à raison que l'air interne de ces corps tremble dans vne partie, cinq, quatre, trois et deux fois, tandis qu'il tremble seulement vne fois dans les autres.
Mais il est tres-malaysé de sçauoir pourquoy le cylindre est plus que double [-179-] pour faire l'Octaue, et pourquoy il ne suit pas les longueurs de la chorde, car bien qu'il ne soit pas tendu comme elle par vn poids, ou par quelqu'autre force estrangere, mais seulement par sa propre consistance, il ne s'ensuit pas qu'il ne doiue estre double en longueur pour descendre à l'Octaue. Et l'on ne peut dire que ce qu'il a plus que le double sert pour recompenser les deux bases du moindre, afin que sa surface soit double, parce que ce qu'il luy faut plus que le double a vne surface beaucoup plus grande que lesdites bases. Quoy qu'il en soit, il suffit d'auoir donné les veritables apparences de ces cylindres pour exciter les excellens esprits à la recherche des raisons.
COROLLAIRE I.
Ie n'ay peu rencontrer de certaines proportions entre les lames quarrées, ou parallelogramrues, et leurs sons: c'est pourquoy ie n'en parle pas dans la Proposition; quoy que i'en aye fait fondre de differens estains, et que i'aye experimenté celles de fer: i'ay neantmoins souuent remarqué que la plaque quarrée de fer, et d'estain fin estant octuple d'vne autre descend quasi à l'Octaue: ce qui arriue semblablement à la plaque sous-octuple en largeur, et d'esgale hauteur. Mais la double en hauteur d'esgale largeur ne descend que d'vne Tierce maieure. L'on peut encore comparer ces plaques selon leurs differentes espaisseurs; ce qui doit, ce semble, reuenir aux differentes espaisseurs des cylindres. Ie laisse aussi la comparaison des cubes tant vuides que solides, parce qu'ils ne produisent pas des sons dont on puisse iuger, ou qui soient propres pour l'harmonie, comme i'ay experimenté en des cubes plains et vuides d'estain de Cornuaille: quoy que si l'on faisoit des enclumes cubiques de differentes grandeurs, il y a de l'apparence que les coups des gros marteaux pourroient estre si grands qu'ils les feroient resonner: et que l'enclume octuple descendroit à l'Octaue, puisque cette proportion reüssit en tous les autres corps, tant plains que vuides.
COROLLAIRE II.
Puis que tous les corps qui font les interualles harmoniques sont en raison triplée de leurs simples raisons, et qu'à l'esgard desdits corps l'on peut dire que la raison de l'Octaue est octuple de huict à vn, ou quadruple, à cause de leurs surfaces qui sont en raison doublée des termes de l'interualle harmonique, comme ie remarque dans la 10. Proposition du liure des Consonances, il est raisonnable de mettre icy vne table qui contienne toutes ses raisons, afin qu'elle serue à ceux qui voudront faire des Regales de bois, ou d'autres instrumens de cylindres, ou de parallelepipedes, ou d'autre matiere, treuuent toutes leurs consonances, et les autres interualles justes: ce qui aydera à faire les claquebois, dont ie parle dans le troisiesme liure des instrumens, Proposition 26. Ce qui n'empesche nullement que la vraye raison du Diapason ne soit tousiours de deux à vn, puis qu'il se fait toutes et quantesfois qu'vn corps bat seulement l'air vne fois, tandis que l'autre le bat deux fois, soit que le corps qui le bat vne seule fois soit plus court, et plus mince, ou plus long et plus gros: et s'il ne se fait nul battement d'air, il ne se fera point de son: d'où l'on peut conclure plusieurs choses, que ie laisse maintenant, afin de donner la table qui suit, dont la premiere colomne contient les simples raisons des interualles harmoniques qui monstrent [-180-] la longueur des chordes d'esgale grosseur, ou le nombre des battemens. La seconde les raisons doublees pour auoir les surfaces, et la troisiesme les raisons triplees, qui donnent la grandeur, et la pesanteur des corps.
Table Harmonique de la proportion des corps.Costez. Plans. Solides.
1 2 Octaue. 1 4 1 8
2 3 Quinte. 4 9 8 27
3 4 Quarte. 9 16 27 64
4 5 Tierce maieure. 16 25 64 125
5 6 Tierce mineure. 25 36 125 216
8 9 Ton maieur. 64 81 512 729
9 10 Ton mineur. 81 100 729 1000
l5 l6 Demiton maieur. 222 256 3375 4096
24 25 Demiton mineur. 576 625 13824 15625
COROLLAIRE III.
Les nombres de la premiere colomne n'ont tous que l'vnité pour leur difference; mais le binaire est la difference d'entre les differences des nombres de la seconde colomne: par exemple la difference d'vn à quatre est trois, et cinq est celle de quatre à neuf, or la difference de trois à cinq est deux, et ainsi des autres. La difference des differences des nombres de la troisiesme colomne est 6: par exemple, la difference de 1 à 8 est 7, et celle de 8 à 27 est 19, or il est la difference de 7 à 19. Semblablement de 27 à 64 il y a 37, lequel surpasse 19 de 18, lequel est plus grand de 6 que 12. Comme la difference de 64 à 125 est 61, qui surpasse la difference precedente 37 de 24, lequel est plus grand que 18 de 6. Ie laisse milles autres considerations que l'on peut faire de ces nombres, parce qu'elles ne seruent pas à l'harmonie, quoy qu'elles ayent de grandes proprietez dans l'algebre, et ailleurs.
PROPOSITION XI.
Determiner la difference des sons que font les differens metaux, et les differentes especes de bois, et de pierres de mesme grandeur.
IL seroit trop difficile d'experimenter toutes les differentes especes des corps de toute la nature pour sçauoir en quoy different leurs tons, et leurs sons,
c'est pourquoy ie parle seulement icy de ceux que i'ay experimentez, en commençant par les bois de sapin, sicomore, cormier, saule, charme, chesne, aulne, noyer, bois de la Chine, ebene, hestre, et prunier, ausquels chacun en pourra adjouster tant d'autres qu'il voudra.
Or le sapin monte plus haut que le sicomore d'vne Quarte diminuée, le merizier est plus haut que ledit sicomore d'vne Tierce mineure, et le cormier plus bas de la mesme Tierce que le sicomore: le saule est à l'vnisson du merizier. Le charme est vn ton plus haut que le sicomore, comme le chesne. L'aune est plus haut d'vne Tierce maieure que le sicomore, sous lequel le noyer descend d'vn [-181-] ton. Le bois de la Chine est à l'vnisson de l'Octaue, mais il a le son beaucoup plus clair, et plus resonant, de sorte qu'il est quasi semblable à celuy de metal: l'ebene est à l'vnisson du charme, comme sont le hestre et le poirier à celuy du saule. Ce qui monstre euidemment qu'il n'est pas possible de discerner les bois par leurs sons, car bien qu'il y puisse auoir quelques petites differences entre lesdits vnissons, et que le son des vns soient plus ou moins clairs, mols, secs, et cetera neantmoins l'oreille n'est pas capable de le remarquer suffisamment pour iuger de la difference des bois par leurs sons.
Où il faut premierement remarquer que ie me suis seruy de parallelepipedes de mesme longueur et grosseur, qui estoient tous bien secs: dont la longueur est de cinq pouces et sept lignes, et le costé d'vn demi pouce: afin que l'on puisse voir si la mesme difference se rencontrera dans les mesmes bois moindres, ou plus grands. Secondement, que le sapin monte le plus haut de tous, c'est pourquoy l'on peut mieux comprendre la difference de leurs sons en les comparant tous au sien, ou à celuy du bois de la Chine, qui fait quasi l'vnisson auec luy, car il descend seulement d'vne Diese Enharmonique plus bas. Quant aux autres bois, ils descendent plus bas que le sapin en la maniere qui suit.
L'aune, le saule, et le merizier de demiton.
Le charme, l'ebene, le chesne, et le hestre d'vne Tierce mineure.
Le sicomore, et l'erable, d'vne Tierce maieure.
Le noyer d'vne Quarte.
Le poirier et le cormier d'vne Quinte.
Voyons maintenant les cylindres de differents metaux, que l'on comparera aysément auec tous les bois precedens, parce que le cylindre de cuiure franc de demi pied de hauteur, dont le diametre de la base est de cinq lignes, descend plus bas d'vne Tierce maieure que le cylindre de sapin de mesme grandeur; mais le cylindre de fer monte plus haut d'vn demi ton maieur que le sapin, et fait la Quarte auec le cuiure. L'estain sonnant et le fin montent plus haut d'vn ton que le fer, auec lequel l'estain commun fait l'vnisson: le plomb ne fait aucun son dont on puisse iuger: or ie mets les sons de ces cylindres par notes en faueur des Praticiens.
[Mersenne, Mouuement III, 181; text: Estain sonant, Estain fin. Fer. Cuiure et estain commun, Estain de glace.] [MERHU1_3 02GF]
Mais il faut remarquer que les sons des cylindres trompent souuent, à raison des differents corps dont on les frappe ce qui arriue, parce que le son du cylindre auec lequel on frappe, se mesle auec le son de celuy qui est frappé, ou par ce que l'on entend seulement le son de celuy qui frappe: de sorte qu'il est à propos de les frapper auec quelqu'autre corps qui n'ayt point de son, par exemple auec le bout d'vn cylindre haut d'vn ou deux pouces, ou auec quelque corps dont le son ne puisse tromper.
Quant aux pierres, i'ay seulement essayé le marbre blanc et le noir reduit en des parallelepipedes de mesme grandeur, qui sont à l'vnisson l'vn de l'autre, ou peu s'en faut: la pierre de taille, dont on bastit ordinairement à Paris, descend [-182-] d'vn ton plus bas. Il est aysé de comparer la pierre de lierre, et toutes les autres especes auec les precedentes, et auec les metaux, et consequemment auec les differentes especes de bois, en les faisant tous de mesme figure et grandeur.
COROLLAIRE I.
L'on peut voir dans la dix-neufiesme Proposition du troisiesme liure des Instrumens, la difference qui s'est trouuee entre les sons des plaques des estains, qui y sont rapportez, et ceux des cylindres precedens; et semblablement entre les sons des Cloches de mesme metal, dont ie parle dans la quatorze et quinziesme Proposition du liure des Cloches: où l'on y trouuera plusieurs differences, qui feront voir que les Cloches de differents metaux reduites en cylindres n'ont pas le mesme son, et que la Cloche de plomb fait vn son, quoy qu'il n'en fasse point quand il est cylindrique.
COROLLAIRE II.
Apres auoir fait tremper le cylindre de fer, et d'acier d'vne trempe tres-dure et tres-forte, ie n'ay peu remarquer aucune difference entre les sons des cylindres trempez, et de ceux qui ne l'estoient pas, quoy qu'ils fussent beaucoup plus doux, et plus mols; et le cylindre d'acier, qui deuoit ce semble monter plus haut, et faire vn son plus aigu que le fer, s'est trouué quasi à l'vnisson, et seulement plus bas d'vn comma, ou d'vne diese que le fer.
D'où il faut conclure que les sons ne peuuent pas beaucoup seruir pour la cognoissance des differentes qualitez des corps, parce qu'ils ne se changent pas assez sensiblement pour les faire discerner, puis qu'vne si grande dureté que celle de l'acier trempé si different du fer commun, ne donne rien de sensible à l'esgard de leurs sons, et que tant de bois de differente nature sont à l'vnisson les vns des autres: c'est pourquoy au lieu de s'estonner de la rencontre de deux hommes, dont les tons de la voix soient si semblables qu'on ne les puisse discerner, il faut plustost admirer qu'il s'en rencontre si peu, et rapporter cette rareté auec sa cause fondee dans la differente configuration des organes, à la prouidence de Dieu, laquelle a voulu oster le sujet de plusieurs querelles, et autres fascheux accidens, qui pourroient naistre de la ressemblance de la voix, et de la parole: quoy que nous ayons l'oeil, et les autres sens pour discerner les hommes, et les autres corps les vns d'auec les autres, par d'autres qualitez que par leurs Sons.
PROPOSITION XII.
Determiner la pesanteur de toutes les especes de bois, et des metaux qui ont seruy aux experiences precedentes.
ENcore que ie sçache que les morceaux d'vne mesme espece de bois, quoy qu'esgaux en grandeur et en figure peuuent peser differemment, et que l'on rencontre du sapin, par exemple, que l'on dit estre aussi pesant que le bois de chesne, il n'est pas neantmoins hors de propos, ny inutile de mettre icy la pesanteur de tous les bois dont ie me suis serui dans les experiences precedentes, lesquels sont aussi secs comme l'on peut les desirer. Or ils ont tous [-183-] cinq pouces six lignes et demie de long sur demy pouce de large, et sont quarrez: mais ie me suis contenté de l'egalité que les Menuisiers leur ont peu donner, qui n'est pas si grande que l'on pourroit desirer dans la Geometrie: quoy qu'il en soit ie les reserue pour la satisfaction de ceux qui voudront en voir l'experience.
Table de la pesanteur des bois parallelepipedes.
Saux, ou saule vn quart d'once, 43. grains et demy.
Sapin, trois gros 55. grains.
Sicomore, demie once, cinq grains et demy.
Erable, demie once, et 23. grains.
Noyer, demie once, et 33. grains.
Merisier, demie once et 32. grains et 1/2.
Poirier, demie once, vn gros 5. grains.
Charme, demie once, 69. grains.
Chesne, demie once, 59. grains.
Cormier, vn quart d'once, vn gros 10. grains.
Hestre, demie once, 44. grains et demy.
Aulne, demie once, dix grains et 3/4.
Bois de la Chine, vne once 1/4, 13. grains 15/16.
Ebene, vne once, cinq gros, et dix grains.
Table de la pesanteur des cylindres de metal.
Sapin, vn quart d'once, vn grain 3/<>.
Fer, quatre onces moins 20. grains et demy.
Estain fin, quatre onces, et quatre grains.
Plomb, cinq onces, cinq gros, deux grains 1/4.
Cuiure franc, quatre onces 3/4, et treize grains.
Estain de glace, cinq onces, vn gros, et 51. grain.
Estain commun, quatre onces, et 58. grains.
Estain sonant, quatre onces, 29. grains.
Quant aux cylindres de metal, nous auons trouué leurs pesanteurs, comme on les verra dans la table qui suit.
Leur longueur est d'vn demy pied, et le diametre de leur base est prez de 5. lignes. Or ie leur ay comparé le cylindre de sapin esgal en grandeur, par le moyen duquel on sçaura la raison des pesanteurs de chaque espece de nos bois reduits en cylindres égaux aux pesanteurs des cylindres de metail, comme l'on sçait la raison de leurs sons, si l'on entend les Propositions precedentes.
D'où l'on ne doit pas conclure la vraye raison de la pesanteur de ces metaux, parce que les vns remplissent mieux le moule ou le sable les vns que les autres, et consequemment ils sont differens en grosseur, encore que l'oeil ne l'apperçoiue pas: par exemple le plomb est plus gros que le cuiure, parce qu'il se fond mieux. Ioint que le cuiure a esté tiré par la filiere, le fer a esté battu, et les autres metaux ont esté fondus: d'où il arriue que leurs pesanteurs naturelles ne peuuent estre assez bien cogneuës et determinees: de sorte qu'il faut auoir recours à l'eau, dans laquelle estant pesez, apres les auoir pesez dans l'air, ils monstrent chacun leur iuste pesanteur, comme ie remarque ailleurs.
COROLLAIRE.
Les balances de Monsieur Petit Ingenieur, dont ie me suis seruy pour peser les corps precedens, sont si iustes que la sixiesme partie d'vn grain les fait aisément trebucher: de sorte que ceux qui voudront faire des experiences pour les poids, y peuuent auoir recours, afin d'auoir tout ce qui se peut desirer en ce sujet.
[-184-] PROPOSITION XIII.
L'on peut sçauoir la longueur des chordes, et la difference de leurs sons, par la difference des poids suspendus ausdites chordes, et la difference des poids qui sont suspendus aux chordes, par la difference des sons, et par la longueur des chordes.
CEtte Proposition peut seruir pour trouuer le poids, si l'on donne le son, et la longueur de la chorde, et pour trouuer le son, ou la longueur de la chorde, si l'on donne le poids; et consequemment si l'on sçait le son, ou le bruit du canon, du tonnerre, du vent, des tremblemens de terre, du tambour, du moucheron, des orgues, des cloches, et cetera on sçaura quel poids il faut pour faire vn autre son, ou vn autre bruit esgal au son donné de toutes sortes de corps par le moyen de la tension des chordes.
Semblablement si l'on donne le poids, on sçaura combien le son est graue, ou aigu; et quel son peut estre fait par le poids d'vn escu, d'vn grain, d'vn ciron, ou d'vn poids, qui soit d'autant plus petit que le poids d'vn ciron, que le poids d'vn ciron est plus petit que le poids d'vne liure, ou que celuy de toute la terre; quoy que la difference des sons, qui vient des poids insensibles, ne soit pas sensible, car ie parle icy de la raison, qui suit la verité des proportions: mais il faut tousiours supposer que le poids bande la chorde assez fort pour la faire sonner.
Or cette Proposition a deux parties; mais parce que la seconde est la conuerse de la premiere, vne mesme preuue seruira pour toutes les deux. Ie dy donc que la raison de chaque interualle de Musique estant doublee donne le poids, par la pesanteur duquel la chorde estant tenduë fait le son que l'on desire: ce que i'explique par exemples.
Supposons que l'on vueille sçauoir de quel poids on doit vser pour faire monter vne chorde à l'Octaue, il faut premierement cognoistre sa tension, c'est à dire par quel poids elle est tenduë, lors qu'elle fait le son, sur lequel on regle les autres; posons qu'elle fasse l'vt de C fa, vt, ie dy que l'on cognoistra le poids necessaire pour la faire monter à l'Octaue, si l'on sçait le poids qui la met à l'vt de C fa, vt: car si l'on suppose que le poids soit de quatre liures, il faudra seize liures pour monter la mesme chorde à l'Octaue, d'autant que la raison de l'Octaue, qui est de deux à vn, estant doublee produit la raison quadruple: comme l'on voit en ces deux raisons doubles, 2/1, 2/1, qu'il faut multiplier en cette maniere; deux fois deux font quatre (car pour multiplier vne raison, il faut multiplier les grands et les moindres termes par eux mesmes,) et vne fois vn c'est vn, or 4/1, sont en raison doublee de 2/1, et consequemment 4 et 1 sont en raison quadruple: ce qui montre que le poids, qui met la chorde à l'Octaue en bas, doit estre sous-quadruple de l'autre poids.
L'on trouuera semblablement le poids qu'il faut adiouster aux quatre liures, qui donnent le premier son à la chorde, pour faire la Quinte, la Quarte, le Ton, et les autres interualles, car si l'on multiplie la raison de la Quinte, qui est de trois à deux, l'on aura la raison double sesquiquarte, puis que trois fois trois font neuf, et deux fois deux font quatre. Or neuf et quatre sont en raison double sesquiquarte, car neuf contient deux fois quatre, et 1/4 de quatre: par consequent [-185-] si au lieu de quatre liures on suspend vn nouueau poids à la chorde, qui soit en raison double sesquiquarte de quatre, elle fera la Quinte en haut.
Mais il faut vser de la regle de proportion pour trouuer ce poids, et pour ce sujet il faut trouuer les deux nombres radicaux de la raison double sesquiquarte, ou deux nombres qui contiennent cette raison; or neuf et quatre sont ses nombres radicaux, quoy que l'on puisse vser de dix-huict, et huict, de trente-six et seize, et de tous les autres qui ont mesme raison. Secondement il faut disposer les termes en cette façon, si quatre donne le son proposé, qui soit comme quatre, que donnera neuf, l'on trouue le son neuf. Or il n'estoit pas besoin d'vser icy de cette regle, parce que les nombres de cette raison monstrent le poids et le son.
Ie prends donc six liures pour le premier son de la chorde, lesquelles seruiront pour determiner les sons et les poids; si l'on veut donc sçauoir le poids double sesquiquarte de six, il faut dire, si quatre donne neuf, combien six donnera-il? on aura treize liures, et 1/2, qui feront monter la chorde à la Quinte, car tous les poids ont relation au premier, et sont d'autant plus grands, ou plus petits, que le premier est plus pesant, ou plus leger; il faudra aussi vser de cette regle pour les autres sons, et les autres poids; or la table qui suit contient les poids qui font monter la chorde par tous les interualles harmoniques de l'Octaue, selon l'experience que i'en ay fait en presence de plusieurs; le poids de six liures en est le fondement, d'autant que ie m'en suis seruy; ce qui n'empesche pas que l'on ne prenne tel autre poids que l'on voudra pour marquer l'vnisson de la chorde, ou le premier son auquel les autres sont comparez.
Le premier nombre de la premiere colomne, à sçauoir six, montre le poids par lequel les chordes sont mises à l'vnisson; celuy qui suit, à sçauoir vingt-quatre, signifie que le poids qui fait l'Octaue en haut, est quadruple de six: les autres nombres monstrent les poids qui font chaque interualle harmonique; et les nombres de la troisiesme colomne signifient les raisons de chaque interualle; dont le nom se voit dans la seconde colomne.
I II III6 Vnisson. 1. 1.
24 Octaue. 2. 1.
13 1/2 Quinte. 3. 2.
10 2/3 Quarte. 4. 3.
9 3/8 Tierce majeure. 5. 4.
8 6/25 Tierce mineure. 6. 5.
7 5/32 Ton majeur. 9. 8.
7 33/81 Ton mineur. 10. 9.
6 183/225 Semiton majeur. 16. 15.
6 294/576 Semiton mineur. 25. 24.
6 6554/15625 Diese. 128. 125.
6 966/6400 Comma. 81. 80.
Or encore que cette table commence par les plus grands interualles, on la peut commencer par les moindres, qui font le Comma, la Diese, et cetera en remontant iusques à l'Octaue: Si l'on veut passer iusques à la double Octaue, il faut suiure les mesmes raisons: de sorte que si vne chorde pouuoit supporter la pesanteur de la terre, l'on sçauroit l'interualle et le son qu'elle feroit estant penduë à ladite chorde, car il faut seulement multiplier tel interualle qu'on voudra, iusques à ce qu'on paruienne à vn nombre esgal à celuy des liures que pese la terre, afin de cognoistre de combien d'Octaues, ou d'autres interualles elle feroit monter la chorde, qui n'a que le poids de six liures.
L'on pourroit semblablement cognoistre l'harmonie des sept Planettes, et de la terre suspenduës à huict chordes esgalles en grosseur et en longueur, pourueu que l'on sçeust leur pesanteur, qu'on peut trouuer par leur grandeur, [-186-] en supposant que chaque partie des Planettes soit aussi pesante que chaque partie de la terre, comme croyent quelques-vns de ceux qui en font des Systemes particuliers, et qui disent que si vne partie estoit separee des Planettes, elle y retourneroit comme à son centre; par exemple les parties du Soleil estant separees retourneroient au corps du Soleil, de mesme que les pierres qui sont esleuees de la terre retournent à la terre.
Ie dis donc que la terre suspenduë à la chorde qui fait le premier son par le poids de six liures, ne feroit pas monter cette chorde iusques à quarante-deux Octaues, mais seulement iusques à quarante et vne, car il faudroit vn poids de 116056878683004400771792896 liures pour faire quarante-deux Octaues, et neantmoins la terre ne pese que 65923634426652872383072000 liures, comme i'ay monstray ailleurs: Or l'on prouue cecy par la progression Geometrique, qui commence par six, et qui garde la raison quadruple, dont il suffiroit de mettre icy les dix premiers termes qui peuuent seruir pour trouuer les autres iusques à l'infiny, comme i'ay monstré au troisiesme liure de la Verité des Sciences, chapitre 2. Theoreme 6. Les premiers nombres de la table qui suit, monstrent le nombre des Octaues. Les seconds nombres signifient les poids, qui feroient monter la chorde aux Octaues, qui sont à costé des nombres.
Mais il faut tousiours supposer qu'il faille six liures pour mettre la chorde au premier son, auquel toutes les Octaues se rapportent.
Cet exemple seruira pour tous les autres; dans lequel on voit le poids qui doit estre suspendu à la chorde pour faire la vingtiesme Octaue: car le nombre qui est à costé de vingt, donne 659706976656 liures pour le poids qu'il faut suspendre à la chorde pour faire vingt Octaues. Le poids de la terre se trouue entre le nombre qui respond à XLI, et celuy qui respond à XLII, car il est plus petit que celuy-cy, et plus grand que celuy-là.
6
I 24
II 96
III 384
IV 1536
V 6144
VI 24576
VII 98304
VIII 393216
IX 1572864
X 6291476
XI 251658624
XII 100663296
XIII 402653184
XIV 1610612736
XV 644270944
XVI 25769803776
XVII 103079215104
XVIII 412316860416
XIX 1649267441664
XX 6597069766656
XXI 26388279066624
XXII 105553116266456
XXIII 422212465065984
XXIV 1688845860263436
XXV 6755344441055744
XXVI 2702159776422976
XXVII 108086391056891904
[-187-] XXVIII 432345564227567616
XXIX 1729382256910270464
XXX 6917529027641081856
XXXI 2767011611056427424
XXXII 110680464442257309696
XXXIII 4427218577690238784
XXXIV 1770887431076116955136
XXXV 7083544724304467820544
XXXVI 28334198897217871282176
XXXVII 113336795588871485128704
XXXVIII 453347182355485940514816
XXIX 1813388729421943792059264
XL 5253554917687775048237056
XLI 29014219670751100192948224
XLII 116056878683004400771792896
Il faut neantmoins remarquer que les experiences ne peuuent pas estre faites si iustement sur chordes qu'il n'y manque quelque chose, d'autant qu'elles s'alongent quand elles sont tenduës auec vn plus grand poids; de là vient que le poids quadruple ne fait pas monter la chorde à l'Octaue iuste, si l'on n'y adiouste la seiziesme partie du poids quadruple; par exemple quatre onces sur quatre liures, et que le poids qui est en raison double sesquiquarte, ne la fait pas monter à la Quinte, si l'on n'y adiouste la dixneufiesme partie, par exemple au lieu de deux liures, et six onces, qui sont en raison double sesquiquarte d'vne liure, il faut adiouster deux liures et huict onces, c'est à dire deux onces de plus, qui font la dixneufiesme partie de deux liures et six onces. Or 1/16 surpasse 1/19 de 2/304 parties.
L'on peut continuer la mesme progression iusques à ce que l'on ait trouué vn nombre qui responde au poids de la solidité du Firmament; si l'on veut sçauoir quel son, et quelle Octaue feroit la chorde, à laquelle le poids d'vn tel Globe seroit suspendu, supposé que chaque pied cube du Globe pese cent liures, ou autant qu'il sera besoin.
Or encore que i'aye accommodé ce discours aux Octaues, l'on peut prendre les Quintes, les Quartes, la Diese, la Comma, et tous les autres interualles, dont i'ay donné les poids et les raisons dans l'autre table, car il faut seulement continuer la raison double, sesquiquarte, sur sept partissante neuf, ou les autres que i'ay marquees, pour trouuer les poids qui font la Quinte ou la Quarte, double, triple, et centuple, et cetera iusques à l'infiny, et les poids necessaires pour faire deux, trois, ou quatre Comma, ou Dieses, et cetera par consequent on peut sçauoir combien le poids de la terre, ou quelque autre poids plus grand ou plus petit sera de Dieses, de Tons, et cetera en bandant la chorde. Mais si l'on veut trouuer combien il faut diminuer le poids de six liures pour faire descendre la chorde d'vne Octaue, ou de quelqu'autre interualle plus bas, il faut se seruir de la mesme progression par nombres rompus, qui signifieront tousiours vne moindre partie de six liures, et consequemment vn moindre poids, car plus les nombres rompus sont augmentez, et plus ils diminuent le nombre entier qu'ils diuisent, comme i'ay monstré dans le liure de la Verité des Sciences, au seeond chapitre de l'Arithmetique Speculatiue, et dans le troisiesme liure, chapitre 2.
[-188-] L'on sçaura le son que feroit la chorde tenduë auec vne once, vne dragme, ou quelqu'autre petit poids, supposé neantmoins que ces petits poids la tendent assez fort pour la faire sonner; par consequent si l'on sçait le poids d'vne mouche, ou d'vn ciron, l'on dira quel son il feroit estant attaché à vne chorde. Mais il n'est pas besoin de dresser vne table de ces petits poids, car l'experience fait voir qu'vne once, et mesme vne liure n'est pas assez pesante pour faire sonner la chorde susdite tenduë auec six liures.
Neantmoins si l'on proportionnoit la chorde au poids, et si l'on pouuoit trouuer vne chorde qui eust mesme raison auec la mouche, ou le ciron, qu'à la chorde, dont ie me suis seruy auec le poids de six liures, le ciron seroit vn son, mais il faudroit qu'elle fust aussi deliee que les pieds d'vne mouche, ou que ceux d'vn ciron, dont il faudroit auoir l'ouye pour apperceuoir des sons si foibles, car s'il a des oreilles, il peut ouyr le bruit qu'il fait en cheminant aussi clairement que nous oyons celuy que nous faisons; et peut estre qu'il oit les consonances et les dissonances qui se font dans les pores du corps, quand le sang et les autres humeurs se meuuent, et s'alterent de moment en moment par vn combat continuel, ou par le meslange ou les rencontres qui se font dans les parties du corps, où les petits animaux se trouuent.
Mais cette consideration est hors de nostre vsage, encore qu'elle puisse seruir pour nous faire souuenir que Dieu a imprimé vne lumiere dans nos entendemens, qui surpasse toutes sortes de sentimens et d'experiences, dont nous pouuons vser pour proceder à l'infiny. Car si l'on peut dire la raison qu'il y a du pied d'vn ciron auec le corps du mesme ciron, l'on sçaura quel son il feroit estant suspendu à vne chorde aussi deliee que son pied; et qu'vn poids moindre quatre fois que le poids d'vn ciron suspendu à la mesme chorde feroit l'Octaue en bas, comme le poids quadruple du ciron feroit l'Octaue en haut.
Et l'on ne sçait pas s'il n'y a point encore d'autres animaux dans le ciron, qui soient aussi petits à son esgard, comme il est au nostre: ce qui doit empescher la precipitation du iugement de ceux qui croyent que tout ce qu'ils ne voyent pas, ou ce qu'ils ne peuuent apperceuoir n'est pas, ou ne peut estre. Ie laisse mille autres choses que l'on peut proposer, afin de conclure ce discours, qui preuue qu'on peut sçauoir la longueur de la chorde par le poids, comme on voit aux deux tables precedentes; par exemple le poids de treize liures et 1/2 estant donné, on sçait que la chorde mise à l'Vnisson auec celle qui a six liures suspenduës doit estre plus courte d'vn tiers, c'est à dire que de deux chordes qui font l'Vnisson, dont chacune a trois pieds de long, l'vne doit estre racourcie d'vn pied pour faire la Quinte en haut, laquelle elle feroit demeurant de mesme longueur que la premiere, si on la tendoit auec treize 1/2 liures: il faut conclure la mesme chose des autres interualles.
Quant à la seconde table, elle monstrera la longueur de la chorde par le nombre des Octaues, car la chorde qui fait la premiere Octaue doit estre plus courte de moitié que l'autre: C'est pourquoy vingt-quatre liures suspenduës à la chorde font autant comme si on la diuisoit par la moitié. La double Octaue se fait par la quatriesme partie de la chorde, la triple par la huictiesme, la quadruple par la seiziesme, et ainsi de suite iusques à l'infiny, en diuisant tousiours l'vne des parties par la moitié: par exemple, puis que la quatriesme partie de la chorde fait la double Octaue, la moitié de cette quatriesme partie, c'est à dire la seiziesme partie de la chorde fera la vingt-deuxiesme, ou la triple Octaue; et [-189-] la moitie de 1/16 ou de 1/2 fera la quadruple, 1/64 la quintuple, 1/128 la sextuple, 1/256 la sep tuple, 1/512 l'octuple, et cetera.
ADVERTISSEMENT.
I'ay expliqué beaucoup de choses du mouuement, de la tension, et de la force des chordes depuis la seiziesme Proposition du premier liure des Instrumens iusques à la fin, depuis la sixiesme iusques à la vingtiesme du troisiesme liure, et dans l'onziesme Proposition du quatriesme liure, qui pouuoient estre inserees en forme de Corollaires; par exemple la maniere dont les sourds peuuent accorder les instrumens à chordes, auec la tablature des sourds; et celle du nombre des tours et retours de leurs chordes, auec plusieurs autres Propositions que l'on trouuera dans lesdits liures, c'est pourquoy ie ne les repete pas icy.
COROLLAIRE.
Si l'on peut trouuer des Instrumens qui multiplient la force des sons en mesme proportion que les lunettes de longue veuë multiplient la grandeur des objets visibles, l'on oyra le son que font les cirons, et les autres petits animaux en cheminant, et mille autres sortes de petits bruits, qui se font iour et nuict dans tous les corps viuans, et dans nous mesmes, comme l'on voit les yeux et les pieds des cirons, le poil et les pieds des mittes, ou des vers du fromage, et les petits serpens ou vers qui sont dans le vin-aigre, par le moyen des petites lunettes,qui grossiroient encore dauantage les objets, si leurs verres auoient la figure Hyperbolique necessaire pour perfectionner la Dioptrique.
PROPOSITION XIV.
Determiner pourquoy il faut vn plus grand poids, ou vne plus grande force pour mettre la chorde double en longueur à l'Vnisson, que pour y mettre la chorde double en grosseur: et si l'Vnisson est vn certain tesmoignage de l' esgale tension de toutes sortes de chordes.
IE suppose l'experience qui monstre que le poids quadruple met la chorde double en longueur à l'vnisson d'vne chorde sous-double, et que le poids double met la double en grosseur au mesme vnisson: c'est à dire que quand quatre liures sont attachees au bout d'vne chorde de deux pieds de long, elle fait le mesme son que la chorde d'vn pied de long de mesme grosseur, au bout de laquelle on attache vne liure; et que celle d'vn pied de long double en grosseur, à laquelle on attache le poids de deux liures, fait aussi le mesme son: d'où l'on peut conclure les sons que feront toutes sortes de poids comparez à toutes sortes de longueurs et de grosseurs des chordes, suiuant les raisons que nous auons expliqué ailleurs.
Or il faut vn poids quadruple pour mettre la chorde double en longueur à l'vnisson, parce que la chorde double en longueur a deux choses qu'il faut recompenser, à sçauoir la double longueur, et le double air qui est frappé. Or il faut vn poids double pour recompenser le double air, et puis vn poids double pour recompenser la double longueur, par consequent il faut vn poids quadruple pour la compensation de l'vn et de l'autre.
[-190-] Mais il n'y a que la grosseur de la chorde qu'il faille recompenser en celle qui est seulement double en grosseur, c'est pourquoy il faut seulement doubler la force: par où il appert qu'il faut vne grande force pour surmonter l'extension ou la longueur par la tension; or la chorde double en grosseur n'a point d'autre extension que la sous-double, par consequent il ne faut point de force pour recompenser son extension par la tension; et bien que l'on puisse dire que sa double grosseur a besoin d'vn double poids, et que l'air qui l'enuironne, et qu'elle frappe, deuroit aussi estre surmonté par vn autre poids, neantmoins le concaue de l'air frappé par la chorde double en longueur, est plus grand que le concaue de l'air frappé par la double en grosseur: car ces deux concaues d'air font des cylindres concaues, comme les chordes sont cylindres solides, qui frappent la surface concaue de l'air auec leurs surfaces conuexes.
Or les bases, et les hauteurs des cylindres esgaux sont reciproques; et les cylindres, dont les bases et les hauteurs sont reciproques, sont esgaux, par la quinziesme Proposition du 12. par consequent le concaue de l'air frappé par la chorde double en grosseur, n'est pas esgal au concaue de l'air frappé par la chorde double en longueur, puis que le diametre du cylindre double en grosseur n'est pas double du diametre du cylindre double en longueur, car les surfaces des cylindres sont comme les diametres de leurs bases. Neantmoins il faut, ce semble, conclure que l'air frappé doit estre seulement consideré selon la longueur de l'axe, et non selon la grosseur du cylindre, ce qui se doit entendre lors qu'il n'est pas renfermé dans vn tuyau, et qu'il est libre, comme quand il est frappé par vne chorde: mais ie parleray encore de cette difficulté à la fin de cette Proposition; c'est pourquoy ie viens à la seconde partie qui parle de l'esgale tension des chordes, dont ie traiteray par raisons, et par experiences. Il semble donc premierement que l'Vnisson nous donne seulement vne esgale tension, quand les chordes tenduës sont esgales en matiere, en longueur, et en grosseur, car si la chorde est plus longue, ou plus grosse, elle doit estre tenduë plus fort que la plus courte, ou la plus deliee, pour faire l'Vnisson auec elle, ce qui arriue pareillement à la voix de l'homme, car la Basse se force dauantage pour chanter à l'vnisson du Superius, que pour chanter à l'vnisson d'vne autre Basse.
Or l'experience fait voir que la chorde double en longueur tiree par quatre forces, est beaucoup plus tenduë que la sous-double tiree par deux forces: car le milieu de celle-là est plus dur, et plie plus difficilement que le milieu de celle-cy, et neantmoins celuy-là deuroit plier plus facilement, et estre plus mol, si la chorde double en longueur auoit seulement vne esgale tension.
Quant à la chorde double en grosseur, i'y trouue plus de difficulté, car l'experience ne fait pas voir si euidemment qu'elle soit esgallement ou inesgallement tenduë par deux forces, quand la sous-double en grosseur est tenduë par vne force, quoy qu'il faille, ce semble, conclure pour l'esgale tension, non seulement parce qu'elles sont à l'vnisson, mais parce que la double en grosseur resiste doublement à la force, de maniere que l'vnisson monstre l'esgale tension, non seulement entre les chordes esgales en toutes choses, mais aussi entre les chordes inesgales en grosseur, pourueu qu'elles soient esgales en longueur.
I'ay experimenté que le milieu de la chorde double en grosseur tendüe auec vn poids esgal, est beaucoup plus dur, et plus fort, et resiste dauantage que le milieu de la sous-double, et que pour les rendre d'vne esgale resistance, il faut [-191-] à peu pres tendre la sous-double par deux forces, quand la double est tendüe par vne force, car le mesme poids suspendu au milieu des deux, fait baisser ces deux milieux esgalement, ou peu s'en faut; et quand on suspend vn poids double à la double chorde, il faut vn double poids pour la faire ployer autant que la sous-double: Enfin, lors qu'elles sont tenduës par vn poids esgal, il faut vn poids sesquialtere pour faire ployer la double en grosseur autant que la sous-double; ce qui monstre euidemment que l'on ne doit pas iuger de l'esgalité de la tension par l'esgalité de la dureté de la chorde, ny par la difficulté que l'on trouue à la faire ployer.
Quant à la resistance, ou dureté des chordes d'esgale grosseur, et doubles en longueur, i'ay experimenté qu'il faut vne double force pour ployer, ou faire baisser le milieu de la sous-double autant que le milieu de la double, quand elles sont tenduës auec des poids esgaux, comme l'on voit sur le monochorde: car la chorde double en longueur qui fait l'Octaue en bas auec la sous-double, ploye esgalement sur le milieu auec vn poids sous-double.
Or ces deux chordes sont esgalement tendües auec vne mesme cheuille, par consequent il faut conclure que la raison de la molesse, ou de la dureté des chordes inesgales en longueur, suit la raison inuerse de leurs longueurs: car la double en longueur est sous-double en dureté, et la sous-double en longueur est double en dureté, et en resistance. D'où l'on peut, ce semble, conclure que la chorde double en longueur estant tendüe auec vne double force, a mesme tension que la chorde sous-double tendüe auec vne force sous-double. I'ay dit, ce semble, d'autant qu'elle resiste esgalement par le milieu; mais il semble d'autre costé qu'elle n'ait pas vne esgale tension, d'autant que comme elle est deux fois plus longue, elle doit ceder deux fois plus facilement par le milieu, encore qu'elle ait vne esgale tension; ce que l'on peut confirmer par les chables, qui cedent et se courbent d'autant plus aisément par le milieu, qu'ils sont plus longs, encore qu'ils soient tendus aussi fort que les plus courts.
Il faut encore remarquer que quatre liures suspendües à la double en longueur, qui la mettent à l'Vnisson auec la sous-double tendüe par vne liure, la rendent si dure et si forte par le milieu, qu'il faut vne double force, ou vn poids double pour la faire autant ployer et descendre, comme l'on fait descendre le milieu de la sous-double: par où l'on peut trouuer les raisons, que les longueurs, les duretez, ou les resistances, les poids, et les sons ont les vns auec les autres: car la double en longueur tendüe auec mesme poids, est sous-double en dureté, et rend vn son double en grauité du son de la chorde sous-double.
Neantmoins il faut conclure que la chorde double en longueur est esgalement tendüe par vn mesme poids, car si l'on prend la chorde d'vn monochorde, et que l'on la diuise auec le cheualet par le milieu, elle ne reçoit nulle tension nouuelle, supposé que le cheualet ne la hausse point, et qu'il la touche seulement; Il faut donc que la moitié, et chaque partie de la chorde soit esgalement tendüe par vn mesme poids, d'abondant le mesme poids qui rompt la chorde sous-double en longueur, rompt pareillement la double, quadruple, et cetera ce qui tesmoigne que le mesme poids la tend esgalement, quelque longueur qu'elle puisse auoir. A quoy l'on peut adiouster qu'il faut vn poids quadruple pour mettre la chorde double en longueur à l'Vnisson, d'autant qu'il y a trois choses qui seruent esgalement pour produire le son, à sçauoir la grandeur du corps, son mouuement, et sa tension. Or la chorde double en longueur a vn plus [-192-] grand mouuement que la sous-double, qui est quatre fois plus lasche, et moins tendüe; et puis la plus grande tension est opposee à la plus grande longueur, et au plus grand mouuement, car elle rend le son plus aigu, au lieu que la plus grande longueur et la plus grande agitation le rendent plus graue; Il faut donc pour mettre ces deux chordes à l'Vnisson, que la grandeur de la tension recompense la grandeur, et l'agitation de la chorde: par consequent il faut multiplier la grandeur de la chorde par la grandeur de la tension, c'est à dire deux par deux, qui donne quatre, c'est à dire le poids quadruple, lequel est necessaire pour mettre les chordes doubles en longueur à l'Vnisson.
Il est facile de trouuer les mesmes raisons des poids pour les autres chordes, car si la chorde est triple en longueur il faut que le poids soit neuf fois plus grand pour la mettre à l'Vnisson auec la sous-triple; et si les chordes sont sesquialteres, ou sesquiquartes, et cetera il faut que leurs poids ayent la raison de quatre à neuf, et de neuf à seize, c'est à dire double sesquiquarte, et sur sept partissante neuf, et cetera.
Or puis qu'il ne faut qu'vn poids double pour mettre la chorde double en grosseur à l'Vnisson, et par consequent qu'vne double tension, la diuision, ou l'vnion des parties n'apporte nulle difference à l'aigu, ou à la grauité des sons, car deux, ou quatre chordes sous-doubles en grosseur, et esgales en longueur seront tousiours mises à l'Vnisson par vn poids double, ou quadruple, ou par vn poids qui soit autant de fois multiplié comme les chordes, de maniere qu'il faut tousiours vn poids esgal, soit que l'on considere les chordes diuisees, ou coniointes et vnies; ce que l'on peut confirmer par des chordes de mesme matiere, et de mesme longueur, mais de poids inesgal: car bien que l'on ne cognoisse pas leurs grosseurs, on les sçaura en leur attachant des poids inesgaux, selon la raison de ladite inesgalité: par exemple, si l'vne des chordes pese trois grains, et l'autre deux, il faudra trois liures pour faire que celle qui pese trois grains, soit à l'Vnisson de celle qui pese deux grains, quand elle est tendüe par deux liures.
Quant à l'agitation des chordes doubles en grosseur, elle est fort peu differente, car l'air qui enuironne la surface de la chorde double en grosseur, dans lequel le son est produit, n'est gueres plus grand que l'air qui enuironne la surface de la sous-double; mais l'air qui enuironne la chorde double en longueur, est double de celuy qui enuironne la sous-double: Neantmoins ie trouue par experience qu'il faut que le poids soit vn peu plus que quadruple, pour mettre la chorde double en longueur à l'Vnisson, comme i'ay dit dans la treiziesme Proposition.
Car supposé que la sous-double en longueur soit tendüe par vne liure de seize onces, il faut quatre liures pour mettre la double en longueur à l'Vnisson, et outre cela quatre onces, qui font le quart de la liure, ou 1/16 de quatre liures: et si la chorde tendüe par vne liure est haussee iusques à la Quinte, il faut deux liures et six onces, au lieu qu'il ne faudroit que deux liures 1/4, qui sont en raison double sesquiquarte auec vne liure: de maniere qu'il faut augmenter le poids de deux onces, qui font 1/8 de liure.
D'où l'on peut conclure quel poids est necessaire pour mettre toutes sortes de chordes, de quelque grosseur ou longueur qu'elles puissent estre, et l'Vnisson de quelque autre chorde, dont l'on cognoistra la quantité, mais i'ay desia expliqué plusieurs choses dans les Propositions precedentes qui satisfont à [-193-] cette difficulté; et l'on trouuera plusieurs autres remarques dans la premiere Proposition pour l'esgale tension des chordes, sans qu'il soit besoin de les repeter icy.
PROPOSITION XV.
Determiner quelle est la force des chordes, et des autres cylindres paralleles à l'Horizon quelle raison il y a de leurs longueurs à leurs forces, et quelle est la difference de leurs forces considerees selon les dispositions differentes que les cylindres ou les parallelepipedes peuuent receuoir.
IL faut premierement remarquer que la chorde perpendiculaire porte plus pesant, que quand elle est parallele à l'Horizon: car la chorde de cuiure, qui porte neuf liures penduës à l'vne de ses extremitez auant qu'elle rompe, n'en porte que six au milieu, quand elle est tenduë horizontalement: c'est à dire qu'estant parallele à l'Horison, elle porte vn poids sous-sesquialtere du poids qu'elle porte estant perpendiculaire, ou tenduë de haut en bas: ceux qui prendront la peine de faire d'autres experiences, verront s'il en arriuera autrement, et si les chordes porteront quelquefois autant, ou plus estant horizantales, que quand elles sont perpendiculaires.
Or il est tres-difficile de trouuer la force des chordes et des autres cylindres de bois, ou d'autre matiere, lors qu'on les estend horizontalement, particulierement quand on tire les cylindres de bois par les deux extremitez: car quant aux chordes, la mesme force qui les rompt en les tirant de haut en bas, ou de bas en haut, les rompt aussi en les tirant horizontalement, soit que l'on les tire par vn seul bout, ou par les deux extremitez.
Or bien qu'il semble que l'on aye plus de peine à rompre vne chorde courte, qu'vne longue, cela arriue peut estre seulement, parce que l'on n'applique pas vne esgale force à la longue, ou que l'on luy donne vn plus grand bransle ou mouuement. Mais quant aux cylindres, ou parallelepipedes de bois, il est difficile de determiner quelle force il faut pour les rompre.
Or ie considere trois ou quatre sortes de dispositions aux colomnes ou bastons; en premier lieu, lors que l'on les tire par les deux extremitez, ou que l'on suspend vn poids à l'vn des bouts, l'autre bout estant attaché en haut. Secondement, quand l'on attache vn poids au milieu, le baston estant parallele à l'Horizon, et soustenu par les deux bouts. Troisiesmement, lors qu'il est planté sur la terre, ou sur quelque pilastre, comme sont ordinairement les colomnes. Quatriesmement, l'on peut considerer que ces cylindres estendus horizontalement peuuent estre rompus par vn poids qui n'a point de mouuement, mais seulement sa pesanteur, et que l'on attache tout doucement au milieu, ou par vn poids qui tombe de haut à plomb sur le milieu de la chorde, ou du cylindre, et qui represente vn coup de marteau dont l'on frapperoit sur ledit milieu.
L'experience fait voir qu'vne demie liure qui tombe d'vn pied et demy de haut sur la chorde de laton, qui est rompuë par six liures suspenduës au milieu, fait autant que l
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