Fn and Ft: MEIMOD TEXT
Author: Mei, Girolamo
Title: De modis
Source: De modis, ed. Tsugami Eisuke (Tokyo: Keiso Shobo, 1991), 3-129. Used by permission.
Graphics: MEIMOD 01GF-MEIMOD 22GF

[-3-] LIBER PRIMVS

[A1 in marg.] Quod tibi periucundum futurum putaui, eo libentius totam hanc, Victori, de modis musicis quaestionem explicandam suscepi, quot scilicet qualesue illi apud ueteres fuerint, quibusque notis inter se dinoscerentur, nec non qui fuerit eorum usus; quae omnia obscura admodum et confusa prorsus ad nos peruenerunt, cum quod uetustas ipsis quasi situm obduxit, tum quod qui haec nostrorum temporum homines attigerunt, non ea, qua fuit opus, ratione (quod ostendemus) rem ipsam pertractarunt. Recordatus itaque ueteris illius tui erga me studii ac diligentiae in me docendo, quibus effecisti, ut e tua palaestra in hunc campum prodire non sim ueritus, eam nunc tibi mitto, quo monumento, qualecumque id sit futurum, ut tua in me officia meamque erga te beneuolentiam testatam relinquam, ardeo cupiditate prope incredibili. Tu uero totam rem, ut soles cetera, accuratius ac diligentius perpendes. In quo non dubito, modo tibi probatus discedam, ne idem Caselio nostro probem, qui nuper Romae cum me conuenisset, id ut aggrederer etiam atque etiam rogauit.

Hinc igitur exordium sumam. [Tonoi], uel [tropoi], quos modos Latini appellarunt, apud ueteres musicos uocis certi quasi loci in tota constitutione chordarum fuere. [Tonoi] ab intentione et remissione appellati, e quibus acumen et grauitas ortum habent, [tropoi] uero a mutatione et inuersione, qua totum systema uel intendimus uel remittimus. Systema et constitutio uel neruorum uel chordarum, disposita istarum series illa dicitur, qua a grauissimo sonorum ad acutissimum quasi gradatim progredimur. Haec uel perfecta uel imperfecta esse consueuit. Perfectam illam uocamus, qua omnes consonantias | [A2 in marg.] earumque omnes formas includimus, ne una quidem chorda exsuperante aut deficiente, imperfectam uero, quae earum aliquam excludit. Consonantiae apud antiquos musicos illae tantum habebantur: diatessar[Omega]n, diapente, diapas[Omega]n, diapas[Omega]n et diatessar[Omega]n, diapas[Omega]n et diapente, et disdiapas[Omega]on, quod praeter has uis audiendi aegre omnino aut nullo pacto ullas perciperet; eaque de causa consonantiae appellatae, quod cum duorum neruorum soni, e quibus istae exoriri consueuerunt, simul aures pellerent, non aspero, ut ceteri, sed leni atque iucundo sensu eas afficerent.

Diatessar[Omega]n eam appellarunt, quae tribus interuallis distincta ex quattuor (quod et nomen indicat) neruis constaret, quorum grauissimus acutissimum ac tertiam praeterea illius partem contineret, eumque sesquitertia portione quasi complecteretur. Diapente uero ex quinque chordis atque spatiis quattuor confici consueuit, quarum grauissima acutissimam atque alteram ipsius [-4-] partem comprehenderet, essetque illius sesquialtera. Itaque fit, ut grauissima diapente chordarum, si cum grauissima diatessar[Omega]n comparetur, eam sesquioctaua ratione superaret. Id enim reliquum esse, si de diapente integram diatessar[Omega]n demas, certis demonstrationibus uel nullo negotio probatur.

E diatessar[Omega]n uero ac diapente simul eo pacto iunctis, ut acutissimus diatessar[Omega]n neruorum grauissimus in diapente sit, uel qui acutissimus est in diapente grauissimus in diatessar[Omega]n exsistat, diapas[Omega]n necessario exoritur, quae ideo diapas[Omega]n est appellata, quod ex omnibus efficeretur neruis. Nam quod haec quoque a chordarum numero, quibus includitur, minus appellata fuerit, id in causa fuisse docet Aristoteles [Problemata XIX, 32]. Cum enim apud ueteres maximum systema ex duobus coniunctis tetrachordis, id est e septem tantum chordis constaret, quarum spatia non integram | [A3 in marg.] omnino diapas[Omega]n, id est duplam rationem grauissimi ad acutissimum neruum explerent, Terpander, id ut perficeret, acutissimam netem illis adiunxit; ne uero chordarum numerus excresceret, quae in heptachordo secunda fuit ab acutissima, triten abstulit. Itaque, cum diapas[Omega]n consonantia ab his omnibus contineretur, non a numero neruorum, uel quo ueteres uel quo recentiores eam constrinxerunt, sed quod ex omnibus perficeretur, ab eo perpetuo nomen obtinuit. Quae, uti diximus, et e primis illis conflata est, et aliam praeter has nullam reperias, quae non ex istarum aliqua cum hac uel sui secum ipsius coitione fluxerit. Vt enim numerorum series decem non excessit (qui namque superadduntur, iterum ab unitate exordium sumunt) ita et consonantiae diapas[Omega]n praetergredi nequeunt. Quae namque ipsam consecutae sunt, aut a primis aut ab se iterum cum hac coniunctis originem trahunt. Constat igitur diapas[Omega]n, quoniam tandem Terpandrea illa repudiata atque immutata ratione posteriores ex duobus disiunctis tetrachordis exsistere uoluerunt, ex octo neruis, quorum grauissimus acutissimi duplus est, qui dispositi septem efficiunt interualla. Spatia enim semper uno minus sunt quam termini quibus clauduntur.

Diapas[Omega]n et diatessar[Omega]n chordae undecim continent. Hanc Pythagorei, quod earum extremae uel multiplicem uel superparticularem rationem inter se comparatae nullam constituant, e consonantiarum numero eiecerunt. Habet enim grauissimus ad acutissimum neruum eandem, quam octo ad tria, eam arithmetici duplicem superbipartientem appellarunt; tametsi Ptolemaeus [Harmonica I, 6-7] ac ceteri illam ea potissimum ratione tamquam in patriam restituerint, quod diapas[Omega]n quasi terminus sit consonantiarum omnium, atque ob id quaecumque posthac rursus apponuntur, se ipsae quodammodo impermixtas tueantur, ac eaedem permaneant. Diapas[Omega]n et diapente, neruis duodecim concluditur. Horum grauissimus | [A4 in marg.] acutissimi triplus est. Disdiapas[Omega]n uero e quindecim chordis ac earum interuallis efficitur, cuius grauissima quadrupla ratione acutissimam complectitur. At uero uniuscuiusque istarum consonantiarum diuersas esse formas ac species, quod ex interuallorum magnitudine ac diuersitate prouenit, posterius ostendemus.

[-5-] Haec sane quindecim chordarum series, quae perfecta uel constitutio Latine uel systema uocata est a ueteribus, ex quattuor tetrachordis, quorum acutissima duo, quae coniungebantur, a grauissimis duobus simul itidem iunctis sesquioctaua et toniaea portione separata ac distincta sunt, et neruo amplius constat, quem ideo proslambanomenon appellarunt, quia disdiapas[Omega]n consonantiae perficiendae causa, praeter ipsa acceptus sit, qui idem hac de causa prosmelodos quandoque uocitatur, ac sesquioctaua ratione a grauissima quattuor tetrachordorum chorda disiunctus est. Tetrachordum, quod etiam ex nomine aperte colligitur, ueteres musici appellarunt certam, ac determinatam quattuor chordarum dispositionem, quae tribus spatiis ita sunt inter se dispertitae, ut grauissima acutissimam ac eius tertiam amplius partem contineat, duabus uero mediis ea ratione interiectis, qua grauior grauem, acutaque acutiorem, nec non grauis acutam ipsam portione illa excedant, quae uniuscuiusque generis, siue enharmonium siue chromaticum siue diatonicum illud sit, propria est ac (ut ita dicam) legitima. Haec uero quae fuerit, commodiore loco exponemus.

[Mei, De modis, 5; text: acutior, acuta, grauis, grauior, diatessar[Omega]n] [MEIMOD 01GF]

Tetrachordorum nomina ea fuere, ut e quattuor infimum hypat[Omega]n a dignitate, quod cetera grauitate sua complecteretur atque ideo supremum haberetur, appellatum sit, quod uero illud consequitur, mes[Omega]n. Tertium, quod in perfecta constitutione semper a secundo (nam de synemmen[Omega]n nihil nunc attinet dicere) sesquioctauae portionis interuallo, uti superius indicauimus, disiungatur, diezeugmen[Omega]n appellatur. Acutissimum demum ac quartum hyperbolae[Omega]n nominarunt. Horum illa prima fuerunt, quae postea, disiunctionis spatio | [A5 in marg.] interiecto, mes[Omega]n et diezeugmen[Omega]n uocata sunt; septemque primo chordis continebantur, ita ut essent simul coniuncta. Quorum media chorda ea fuit, quae, cum tetrachorda coniungeret, quarta cum a grauissima tum ab acutissima numerabatur, eaque de causa mese recte est appellata, nec non cum infimi tetrachordi esset acutissima, eadem tamen acuti erat grauissima.

[-6-] [Mei, De modis, 6,1; text: tetrachordum, mese] [MEIMOD 01GF]

Interiectus postea neruus, qui quod super mediam statim collocaretur, parameses nomen obtinuit, duo illa tetrachorda statim disseparauit ea ratione, ut sesquioctaua ratio semper inter mesem et paramesem futura esset. Quo factum est, ut istorum duorum acutissimum tetrachordum diezeugmen[Omega]n a re ipsa deinceps sit appellatum, alteri uero mes[Omega]n nomen relinqueretur. Nec non ea interualli adiectione simul etiam tota diapas[Omega]n consonantia perfecta est, quod tamen in suo heptachordo alia ratione a Terpandro effectum esse (quod superius memorauimus) memoriae prodidit Aristoteles [Problemata XIX, 32]. Cum igitur duo illa tetrachorda simul iuncta duas tantum diatessar[Omega]n consonantias perficerent, quae duplam rationem non conficiunt (deficit enim sesquioctaua portio, qua maior est sesquialtera quam sesquitertia, e quibus duabus duplam expleri certum est) ea inter mesen et paramesen iniecta, statim simul et illa perfecta est.

[Mei, De modis, 6,2; text: sesquioctaua, diatessar[Omega]n, disiunctionis interuallum, diapas[Omega]n] [MEIMOD 01GF]

[-7-] Duobus uero his tetrachordis ea, qua diximus, ratione dispositis, alia duo adiuncta fuere; quorum alterum superne cum tetrachordo diezeugmen[Omega]n coniunctum fuit; quod a re, quoniam cuncta acumine superaret, hyperbolae[Omega]n nominarunt, alterum uero inferne cum tetrachordo mes[Omega]n coniunxerunt, | [A6 in marg.] quod hypat[Omega]n appellarunt. Quare neruus, qui mes[Omega]n est grauissimus, hypat[Omega]n exstitit acutissimus. At qui diezeugmen[Omega]n acutissimus exauditur, grauissimus hyperbolae[Omega]n factus est.

Quo igitur rem omnem melius intellegamus, commodiusque differentiae, de quibus dicturi sumus, percipiantur, atque oculis prope cernantur, disponantur quattuor ista tetrachorda ea, quam superius monstrauimus, ratione, ut eorum scilicet duo acutiora neruum communem habeant, cumque ambo constent e septem chordis, coniuncta sint, nec non itidem duo remissiora ac grauiora simul eodem pacto coniungantur, ut quattuordecim neruis omnia contineantur. Nam adiunctam illam chordam, quam praeter quattuor tetrachorda in perfecta constitutione annumerabamus, nunc omittimus, de qua tamen antea rationem omnem exposuimus. Ita uero in hac dispositione acutiora illa duo tetrachorda simul iuncta cum duobus his grauioribus coniunctis iungantur, ut inter acutissimam grauiorum chordam, quae mese est, et grauissimam acutiorum paramesem epogdous et sesquioctaua interualli portio, uti docuimus, semper intersit.

[Mei, De modis, 7; text: tetrachordum, hypat[Omega]n, mes[Omega]n, diezeugmen[Omega]n, hyperbolae[Omega]n, epogdous, mese, paramese] [MEIMOD 01GF]

Quibus ita dispositis, quoniam de modis musicis quaestio nobis est proposita, de qua qui subtilius disputarunt (quod suo loco notum fiet) ratione, quae tamen sensui non refragaretur, omnia disposuerunt, commodissimum, arbitror, erit, si antea, quam consonantiarum species pertractemus (nam ex istarum nonnulla diuersitate modos praecipue inter se differre, eorum iudicio, quod firmissimis nititur argumentis, decernitur) de diuersa ipsarum chordarum in hac serie distributione pingui nunc, uti aiunt, Minerua nonnulla prius exponamus. | [A7 in marg.]

Age igitur nomina primum singulis neruis ac chordis imponamus, cum quae a ueteribus unicuique sunt attributa, tum uel ea quoque, quibus a nostris illae appellari consueuerunt, quorum ope distincte magis totam rem enodare possimus. Deinde reliqua persequemur. Sit igitur, omissa nunc penitus proslambanomene, quae in nullo tetrachordo annumeratur, quoniam extranea omnino est, et A re a nostris dicitur, ut est in hoc ordine, omnium grauissima hypate hypat[Omega]n, quae a nostris B mi appellari consueuit, reliquas suo sic ordine uocabimus:

[-8-] [Mei, De modis, 8; text: epogdous, nete hyperbolae[Omega]n, aa la mi re, paranete hyperbolae[Omega]n, g sol re ut, trite hyperbolae[Omega]n, f fa ut, nete diezeugmen[Omega]n, e la mi, paranete diezeugmen[Omega]n, d la sol re, trite diezeugmen[Omega]n, c sol fa ut, paramese, [sqb] mi, mese, a la mi re, lichanos mes[Omega]n, G sol re ut, parhypate mes[Omega]n, F fa ut, hypate mes[Omega]n, E la mi, lichanos hypat[Omega]n, D sol re, parhypate hypat[Omega]n, C fa ut, hypate hypat[Omega]n, B mi] [MEIMOD 02GF]

Sed ad chordarum distributionem redeo. Quae harmoniae genera apud ueteres appellantur, ea tria fuere: enharmonium, chromaticum, et diatonum. Haec inter se eo differunt, quod in unoquoque tetrachordo diuersa sit nonnullarum chordarum collocatio. Alia enim est interuallorum ratio enharmonii, alia chromatici, alia diatoni. Nam cum uniuscuiusque tetrachordi extimi duo nerui stabiles perpetuo sint, neque umquam e sua tamquam sede discedant, semperque grauissimus totum acutissimum ac eius tertiam amplius partem contineat, | [A8 in marg.] interiores duo non itidem eadem semper ratione superant uel superantur. Grauis enim a grauiore, et acutissimus ab acuto, acutusque a graui non eodem interuallo perpetuo disiungitur. Itaque hi duo mobiles censentur, Eorum enim uel imminutione uel accretione id profecto accidit, quod cum tamquam e suo loco moueantur ac sedem quodammodo mutent, mobiles appellentur. Interualla sane modo quasi angustiora, modo laxiora pro generis natura esse consueuerunt. Grauissima enim, et si angustiora semper in unoquoque sunt, angustissima tamen in harmonia et in chromate fuerunt. Diatonum uero, quod, ut ita dicam, naturalius est, spatia non adeo quasi indistincta recipit. Itaque et illa duo [pukna] uocitata sunt quasi spissa uel crebra. Nam eo crebriores et spissiores nerui in iis generibus constitui dicuntur, quo sonorum acuminis et grauitatis spatia ac interualla sunt angustiora, qua etiam ratione ab architectis sua porticus, quae sit crebris columnis composita, [puknostulos] est appellata. Hac igitur de causa tetrachordorum chordae in enharmonio et chromatico (nam diatonum spissum nemo appellat) spissae ac [puknai] uocantur; quarum grauissimam [barupuknon]; [-9-] grauem, quod inter grauissimam et acutam spissarum collocetur, [mesopuknon]; acutam uero [oxupuknon] nominarunt. Acutissima demum, nisi eadem alterius tetrachordi sit grauissima (nam tunc ea ratione [barupuknos] efficitur) sola [apuknos] relicta est. Hae in his, quae superius disposuimus, tetrachordis duae tantum reperiuntur, mese scilicet, ea est a la mi re, atque nete hyperbolae[Omega]n et aa la mi re. Proslambanomenos enim et A re, tametsi [apuknos] et ipsa est, ea quoque ex illarum numero non est, e quibus tetrachorda constent. | [A9 in marg.] [Pukna] igitur et spissa ea genera dicuntur apud ueteres, quorum in unoquoque tetrachordo duo interualla magnitudine a reliquo superantur, quod in enharmonio et chromatico tantum accidere certum est. Cum uero aut aequant aut superant, [apukna] sunt, quod diatoni proprium censetur.

Sed diuersa admodum in omnibus his generibus de mobilium chordarum collocatione inter eosdem fuit sententia. Nam Pythagorei, cum omnia ad rationis arbitrium reuocarent, omne sensus iudicium aspernati sunt, altera uero ex parte Aristoxenei, cum e sui principis Aristoxeni sententia cuncta ad auditum ac sensum ipsum referrent, rationem secundariam prorsus existimarunt. At horum omnium sententias Archestratus primum non probauit; quem multo post tempore exortus Ptolemaeus secutus est, et qui se cum eum auctorem secuti sunt, pluribus argumentis refellere instituerunt, ipsique, cum diuersam, eamque nec incommodam rationem inissent, neque sensum, quod primi fecerant, prorsus contemnendo, neque ipsum a ratione, quod alteris omnino necessarium uisum fuit, penitus segregando, medium quasi cursum inter illos tenuerunt. Hanc enim cum illo coniungi debere affirmarunt. Quorum ratio, et si consentanea aequissimaque uidebatur, non tamen apud posteros eam auctoritatem consecuta est, ut illi ceteris relictis, quasi honorarii arbitri iudicio fracti, in istorum sententiam transirent. Sed ne illis ipsis quidem, qui rationem tantum, omni penitus sensu despecto, probauerant, idem de eadem re placuisse uideo. Aliam enim tetrachordorum partitionem Archytas, aliam Eratosthenes, aliam Didymus excogitasse compertum est. Verum quoniam horum omnium sententias nemo posterior est secutus, ac omnes prope soli in scholis suis relicti sunt, nec non a Ptolemaeo ualidissimis | [A10 in marg.] rationibus confutati, quodammodo sunt explosi, in eorum diuisionibus recensendis non censeo immorandum.

Itaque his prorsus reiectis, ad Aristoxeni et Ptolemaei distributiones ueniendum, quas posteriores semel acceptas non omnino improbasse, tametsi alia alii magis placuisse, perspicimus. Atque Aristoxeni sententiam, quamquam et ipsam a Ptolemaeo uexatam, ac certis prope argumentis conuictam, ideo apponemus, quod, uti diximus, qui Ptolemaeum sunt deinceps consecuti, non eam omnino neglexerunt, neque fortasse iudicio suo improbarunt. Ab Aristoxeni [apud Ptolemaei Harmonica I, 12] exordiamur, quod aetate is Ptolemaeum longe anteierit. Fuit enim Aristotelis discipulus ac familiaris. Eius igitur illa fuit maxime de hac re sententia, quod superius quoque memorauimus, ut aures, quoniam uocis iudicium his solis quasi competat, solae in hoc essent consulendae. Quamobrem cum trium generum sex species ac formae distributionis esse uoluisset, enharmonii scilicet una, tres chromatici, diatoni uero duo, de ratione portionum, qua in istis tetrachordorum chordae inter se differrent, nihil constituit; sed ad omne diatessar[Omega]n spatium conuersus, quo uidelicet grauissima chordarum acutissimam uinceret, idque quasi mensus, cum [-10-] totum in quasi aequas partes, sexaginta numero, diuisisset, illas omnes ea postea ratione distribuit, ut enharmonii grauissimum e tribus interuallum ac itidem medium singula e sex, acutissimum uero e quadraginta octo conficerentur. Ille enim primo tonum in duas aequas scindere (quod mathematici omnes fieri posse pernegant, idque, quod ea sit superparticularis ratio, cum sit sesquioctaua, apertissimis demonstrationibus probare contendunt) deinde hemitonium itidem in totidem alteras non dubitauit. Ex Aristoxeni igitur distributione enharmonii tetrachordum ita distinguitur, ut spatium, quod | [A11 in marg.] inter grauem et grauissimum neruum includitur, quartam toni portionem possideat, quantam et illud quoque, quod inter grauem et acutum clauditur; qua de causa eas interualli portiones dieses enharmonias appellarunt. Quo fit, ut spatium, quod acutum ab acutissimo neruorum separat, e duobus integris (id enim de tota diatessar[Omega]n reliquum est) tonis absoluatur.

[Mei, De modis, 10,1; text: tonus, diesis, 6, 48, diatessar[Omega]n] [MEIMOD 02GF]

Chromatici uero generis tetrachordum, quod [malakon] et molle appellauit, ita distinxit, ut spatia duo, grauissimum scilicet et medium, unumquodque e tertia toni parte constaret, quod, cum tonus e uiginti quattuor constituisset, ex octo conficiebatur. Tertium uero et acutissimum e reliquo diatessar[Omega]n interuallo, quod a quattuor et quadraginta expleretur.

[Mei, De modis, 10,2; text: 44, 8, diatessar[Omega]n] [MEIMOD 01GF]

At hemiolion chroma, et sesquialterum quod appellatum est, quia infimum ac grauissimum, nec non et quod ipsum deinceps interuallum consequitur, diesi enharmonia ac altera eius parte perficitur, id nomen obtinuit. Constant igitur duo grauiora huius interualla singula e nouem, acutissimum uero e quadraginta duobus, quae superant.

[-11-] [Mei, De modis, 11,1; 42, 9, diatessar[Omega]n] [MEIMOD 02GF]

Postremo toniaeum chromatici genus ea ratione expleuit, ut singulis duobus grauioribus spatiis singula hemitonia assignaret. Itaque nimirum ea de causa, quod haec duo interualla integrum toni spatium occuparent, toniaeum uocauit. Acutissimo uero tertio tria hemitonia, quae de tota diatessar[Omega]n reliqua fuerant, distribuit. Conficiebantur igitur minora atque grauiora interualla singula e duodecim, acutissimum demum e triginta sex.

[Mei, De modis, 11,2; text: 36, 12, diatessar[Omega]n] [MEIMOD 02GF]

Diatoni uero [malakou] et mollis tetrachordi ea fuit distributio, ut in infimo interuallo hemitonium collocaretur, quod spatium, uti admonuimus, e duodecim efficitur. | [A12 in marg.] Medium ab hemitonio eiusque amplius dimidio (id totum e decem et octo constabat) possideretur. Acutissimum uero tonus ac quarta alterius pars obtinerent.

[Mei, De modis, 11,3; text: 30, 18, 12, diatessar[Omega]n] [MEIMOD 02GF]

[Suntonou] uero et intenti diatoni tetrachordum ea ratione distinxit, ut grauissimum hemitonium reciperet, quod e duodecim conficiebat. Medium tono et uiginti quattuor, itidem et acutissimum altero et reliquis uiginti quattuor expleretur.

[-12-] [Mei, De modis, 12; text: 24, 12, diatessar[Omega]n] [MEIMOD 02GF]

Quattuordecim igitur chordarum constitutio et systema ex Aristoxeni sententia in unoquoque genere ita distinguebatur quemadmodum diagramma, quod est appositum, facile indicat.

[-13-] [Mei, De modis, 13; text: apycnos, oxypycnos, mesopycnos, barypycnos, [apuknos] proslambanomenos, Diatonum intentum, Diatonum molle, Chroma toniaeum, Chroma hemiolion, Chroma [malakon] molle, Enharmonium, aa la mi re stabilis, g sol re ut mobilis, f fa ut mobilis, e la mi stabilis, d la sol re mobilis, c sol fa ut mobilis, [sqb] mi stabilis, a la mi re stabilis, G sol re ut mobilis, F fa ut mobilis, E la mi stabilis, D sol re mobilis, C fa ut mobilis, B mi stabilis, A re stabilis, hyperbolae[Omega]n tetrachordum, diezeugmen[Omega]n tetrachordum, disiunctionis interuallum, mes[Omega]n tetrachordum, hypat[Omega]n tetrachordum, epogdous, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 44, 48] [MEIMOD 03GF]

[-14-] [A13 in marg.] Ptolemaei uero in chordarum partitione longe alia mens fuit. Nam cum Pythagoreos culpa non uacare ostendisset, quod sensum penitus aspernarentur, atque hunc ipsum Aristoxenum, quod sibi huius iudicio, ratione prorsus omni posthabita, standum censeret, non mediocriter uexasset, ipse medium inter hos (uti diximus) quendam quasi cursum instituit. Itaque primum excogitauit, quonam pacto id consequeretur, ut rationi hac in re sensus congrueret. Quamobrem cum Aristoxeno sane obiecisset, quod interuallum diuideret, cuius terminos ne nosset quidem, nec non quod ea tetrachordorum partitione quandoque sit usus, quam ne aures quidem, quarum iudicium tantum sectari decreuerat, ullo pacto sentirent, ipse et chordarum, quae quasi fines interuallorum sunt, rationem sibi diligentissime habendam censuit, easque ea magnitudinis quantitate inter se differentes constituit, ut ratione seruata sensui tamen in sonis edendis non aduersarentur, eaque ipsarum interualla, ut exiguitate sui aures canendo ne fallerent. Deinde aequam illam interuallorum portionem, quae cantui nullo pacto est accommoda, quod Aristoxenus, dum grauissimo et medio tetrachordorum spatio eandem tribuit magnitudinem, penitus neglexit, summa cura declinauit, curauitque diligenter, ne, quod in Aristoxenea diuisione euenerat, grauissimum chromatici ac diatoni interuallum esset aequale. Contra enim aures ipsae audiendo aliter se habere manifesto sentiebant. Itaque illud summopere custodiuit, ut perpetuo chordarum acutiores a grauioribus portione quadam certa, et ratione superarentur. Atque in hoc Pythagoreis est assensus, Archytae praesertim, ut minores omnes a maioribus, quae tamen sibi sint proximae, | [A14 in marg.] superparticulari ratione aliqua uincerentur, quae sensu posset audiendo deprehendi. Praeterea id quoque studiose obseruauit, cuius nomine, quod sensui aduersari nemo non sentiret, Archytae diuisionem improbauerat, ut scilicet ea lege interualla, in enharmonio atque chromatico consequerentur, ut eorum angustissimum grauissimus neruorum ac grauis continerent, minus autem angustum inter grauem ac acutum constitueretur, maximum uero id esset, quod inter acutum ac acutissimum collocaretur; quorum, quod nos grauissimum, ille consequens, alterum uero (uti est) medium, acutissimum ipse antecedens appellare consueuit. Nos autem ideo ita ea appellauimus, non quod interualla aut acuta aut grauia ullo pacto sint, sed quod aut a grauioribus aut ab acutioribus neruis terminarentur aut inter ipsos medios, grauem uidelicet et acutum, locata essent.

Ptolemaei igitur diuisio tetrachordorum [Harmonica I, 15-16] eiusmodi fuit, ut sesquitertia ratio, qua uniuscuiusque tetrachordi grauissimus neruorum acutissimum continet, in duas itidem superparticulares rationes scinderetur; id quod tribus tantum modis fieri posse cognouit. Nam aut sesquiquartae addita sui sesquiquintadecima sesquitertiam expleuit, aut sesquiquinta adiecta sesquinona, aut sesquisextae adiuncta sesquiseptima idem confecerunt. Quo facto, cum in enharmonio genere ac chromatico, quae [pukna] et spissa uocari solita esse memorauimus, antecedens interuallum, et quod quasi ceteris praeest, longe maximum audiendo diiudicaretur, quod tamen in enharmonio maius quam in chromatico, et in molli chromate itidem maius quam in intento percipiebatur. His de causis antecedenti spatio in enharmonio sesquiquarta ratio ab ipso est attributa [-15-] eo, quod ipsa ceteris omnibus | [A15 in marg.] maior esset, quod nomen quoque indicat. In partibus enim illa semper natura maior est, quae a minori numero nomen obtinuit. In molle autem chromate sesquiquinta, in intento uero sesquisexta eidem antecedenti est assignata. Reliqua uero interualla, medium scilicet atque consequens, ea ratione in unoquoque genere compleuit, ut quod reliquum esset de sua tota sesquitertia, in duas iterum scinderet. Et in partiendo ille diuisionis esset modus, ut partes, quoad fieri posset, inter se duplam rationem custodirent, quod tamen in omni genere, uti apparebit, obtineri nullo pacto potuit. Partium uero maior medio, minor uero consequenti spatio obuenirent. Sesquiquintaedecimae igitur partitionem ea uia ac modo est aggressus, ut numeris, e quibus illa primum prodire consueuit, quos [puthmenas], id est eius quasi solum et fundamenta, uocitarunt, quindecim scilicet ac sedecim acceptis, ter ipsorum unumquemque produceret. Ex hac productione quadraginta quinque atque duodequinquaginta exorti sunt. Inter hos quadraginta sex atque quadraginta septem interiectos uidemus, quorum quadraginta septem numerus, quando cum altero illorum superparticularem rationem nullam efficit, omittendus omnino est. Quadraginta septem enim cum quadraginta quinque comparati in superbipartiente quadragesimas quintas inueniuntur. Quadraginta sex uero si cum quadraginta quinque comparemus, sesquiquadragesimamquintam, si cum duodequinquaginta, sesquiuigesimamtertiam obtinere perspicuum est. Ex his itaque superparticularibus, cum earum maior medio interuallo sit tribuenda, sesquiuigesimatertia illi obueniet, sesquiquadragesimaquinta uero consequenti assignabitur. Tetrachordi igitur enharmonii partitio, quam Ptolemaeus excogitauit, ea est, ut acutus neruus acutissimum ac quartam praeterea ipsius partem contineat, | [A16 in marg.] grauis uero acutum ac uigesimam tertiam eius partem, grauissimus demum grauem atque quadragesimam quintam illius amplius complectatur, quibus omnibus rationibus ita collocatis integra sesquitertia absoluitur.

[Mei, De modis, 15; text: acutissima, acuta, grauis, grauissima, tetrachordum enharmonium, diatessar[Omega]n ac sesquitertia, 1/4, 1/23, 1/45] [MEIMOD 04GF]

Eodem pacto, ut mollis chromatis interualla perficiantur, sesquinonae [puthmenes] sunt producendi, e quibus uiginti septem ac triginta efficiuntur, inter quos duodetriginta ac uiginti nouem collocatos reperimus. E quibus uiginti nouem cum minori numero comparati nullam conficiunt superparticularem, est enim superbipartiens uigesimas septimas. Duodetriginta uero si cum eodem comparentur, sesquiuigesimamseptimam inuenimus, si cum triginta, sesquiquartamdecimam. Hanc igitur, quod altera maior est, si medio interuallo, reliquam uero consequenti quis assignabit, mollis chromatis tetrachordum prorsus conficiet, in quo acutus [-16-] acutissimum ac quintam ipsius amplius partem complectetur, ipse uero quarta decima sui parte a graui superabitur, cum hunc totum atque uigesimam septimam ipsius praeterea partem grauissimus adaequet.

[Mei, De modis, 16,1; text: acutissima, acuta, grauis, grauissima, mollis chromatis tetrachordum, diatessar[Omega]n ac sesquitertia, 1/5, 1/14, 1/27] [MEIMOD 04GF]

Quo uero intenti chromatis interualla expleantur, eadem ratione ac uia sesquiseptimae [puthmenes] producantur necesse est. Eaque productione uiginti unum ac uiginti quattuor emergent, quorum medii intercidunt uiginti duo ac uiginti tria. Ex his autem, cum uiginti tria | [A17 in marg.] reiecerimus, quod is numerus cum utrisque comparatus nullam superparticularem efficiat, uiginti duo relinquentur, qui cum uiginti et uno comparati sesquiuigesimamprimam, cum uiginti quattuor uero sesquiundecimam reddunt. Quamobrem haec, quae maior fuit, medio interuallo, altera uero consequenti est attribuenda. Intenti igitur chromatis ea fuit diuisio, ut acutissima tetrachordi chorda una cum sexta sui parte ab acuta aequaretur, grauis uero acutam ac ipsius undecimam contineret, quae sui una et uigesima a grauissima uinceretur.

[Mei, De modis, 16,2; text: acutissima, acuta, grauis, grauissima, intenti chromatis tetrachordum, diatessar[Omega]n ac sesquitertia, 1/6, 1/11, 1/21] [MEIMOD 04GF]

Qua partitione [pukna] et spissa genera omnia absoluta sunt. Numeri uero, quibus chordae sunt designatae, quo ipsarum differentiae maxime perciperentur, ii primi, qui tribus simul his generibus aptari possent, inuenti sunt; de quorum inueniendorum ratione nihil nunc attinet dicere. Eam tamen Porphyrius capite septuagesimo quinto suorum Commentariorum in Ptolemaei Harmonica diligentissime persecutus est. Horum igitur trium tetrachordorum acutissimam chordam centum sex milia ac ducentae et sexaginta unitates obtinuerunt, grauissimam uero, quoniam eam cum acutissima comparatam in sesquitertia ratione esse memorauimus, centum [-17-] quadraginta unum milia ac sescentae et octoginta constituunt. Tertia enim centum sex milium ac ducentarum et sexaginta e triginta quinque milibus ac quadringentis et uiginti constat. Has si priori summae adiungamus, eam, quam posuimus, omnino conficere planum est. | [A18 in marg.] Itaque hi duo nerui, cum in unoquoque tetrachordorum stabiles semper sint, iidem et in enharmonio et in molle et in intento chromate necessario semper sunt.

Reliqui uero duo, cum natura sint mobiles, admodum diuersi. Nam acutus in enharmonio, quando acutissimum atque eius quartam praeterea partem is amplectitur, quae e uiginti sex milibus ac quingentis et sexaginta quinque efficitur, a centum triginta duobus milibus ac octingentis et uiginti quinque continetur. In molli uero chromate, cum idem acutissimum ac eius quintam partem adaequet, quam uiginti unum milia ac ducentae et quinquaginta duo constituunt, e centum uiginti septem milibus ac quingentis et duodecim exoritur. At in intento e centum uiginti tribus milibus ac nongentis et septuaginta, quoniam is cum acutissimo comparatus in sesquisexta ratione sit; sextam uero decem et septem milia ac septingentae et decem conficiant. In enharmonio praeterea, cum acuti uigesimam tertiam e quinque milibus ac septingentis et septuaginta quinque constare apertum sit, hae acuti numero adiunctae centum triginta octo milia ac sescentas efficiunt, quae graui chordae sunt assignatae. In molli uero chromate haec eadem e centum triginta sex milibus ac sescentis et uiginti prouenit, cum suae acutae quarta decima e nouem milibus ac centum et octo exsistat, quae tamen in intento e centum triginta quinque milibus ac ducentis et quadraginta conficitur, quod eius itidem acutae undecima sit ex undecim milibus ac ducentis et septuaginta. Grauissima uero uniuscuiusque horum tetrachordorum, uti admonuimus, eadem semper est. | [A19 in marg.] Nam si graui in enharmonio quadragesima quinta sui adiungatur, quam tria milia ac octoginta explere non est dubium, eidem uero in molli chromate uigesima septima, quae e quinque milibus ac sexaginta constat, itidem et in intento huic ipsi uigesima prima, quam sex milia ac quadringentae et quadraginta constituunt, ex his singulis simul collectis in unoquoque tetrachordo centum quadraginta unum milia ac sescentae et octoginta exoriuntur. Hae, quod initio demonstrauimus, grauissimae chordarum assignatae sunt, qua sane acutissimam ac tertiam praeterea ipsius partem aequari perspicuum est. Quibus igitur numeris Ptolemaeus singulas horum tetrachordorum chordas ac earum differentias notauit, hi sunt, quorum ope interualla uniuscuiusque illarum uel nullo labore inuestigari possunt; quae tamen ipse et regula quoque harmonica comprobauit.

[-18-] Enharmonii tetrachordi per numeros partitio

[Mei, De modis, 18,1; text: chordarum acutissima, 106260, quarta ipsius part, 26565, acuta, 132825, uigesima tertia, 5775, grauis, 138600, quadragesima quinta, 3080, grauissima, 141680, acutissimae ac acutae differentia, acutae ac grauis differentia, grauis ac grauissimae differentia, quae acutissimam ac eius tertiam complectitur, tetrachordum ac diatessar[Omega]n] [MEIMOD 04GF]

Mollis chromatis tetrachordi per numeros partitio

[Mei, De modis, 18,2; text: chordarum acutissima, 106260, quinta acutissimae, 21252, acuta, 127512, quarta decima 9108, grauis, 136620, uigesima septima, 5060, grauissima, 141680, tetrachordum ac diatessar[Omega]n, acutissimae atque acutae differentia, acutae ac grauis differentia, grauis ac grauissimae differentia, quae acutissimam ac eius tertiam complectitur] [MEIMOD 05GF]

[A20 in marg.] Intenti chromatis tetrachordi per numeros partitio

[Mei, De modis, 18,3; text: chorda acutissima, 106260, sexta acutissimae, 17710, acuta, 123970, undecima acutae, 11270, grauis, 135240, uigesima prima, 6440, grauissima, 141680, tetrachordum ac diatessar[Omega]n, acutissimae atque acutae differentia, acutae ac grauis differentia, grauis atque grauissimae differentia, quae acutissimam ac eius tertiam complectitur] [MEIMOD 05GF]

Cum igitur [pukna] et spissa omnia e Ptolemaei sententia sint absoluta, [apukna] et diatona restant explicanda. In quibus primum illud diligenter obseruatum comperimus, ne (quod in enharmonio et chromatico usu uenisse monstrauimus) ullum trium interuallorum sui magnitudine reliqua duo superet, deinde ne consequens antecedente maius umquam exsistat. Diuidenda itaque iterum illi fuit in duas superparticulares sesquitertia ratio, quod cum tribus tantum modis fieri posse monstrauerit, quo quae proposuerat praestaret, diuersam in [apuknois] distribuendarum partium rationem aggressus est. Quamobrem cum in spissis e duabus interualli portionibus, quae ex ea diuisione ortae sunt, maiorem antecedenti assignauerit, in diatono sane et non spisso genere [-19-] contra minorem eidem antecedenti tribuit. Itaque non sesquiquartam aut sesquiquintam uel sesquisextam illi decreuit, sed earum, quae cum his sesquitertiam explent, aliquam, sesquiseptimam scilicet aut sesquinonam. Nam sesquiquintaedecimae in nullo antecedenti tetrachordorum spatio locus esse potuit. Cuius facti eam Ptolemaeus rationem attulit, quam ipse proposuerat, scilicet et quod sensu aliter se habere perspicue dinosceremus, et ne spatium, quod consequenti et grauissimo interuallo assignaretur, antecedente et acutissimo esset maius. Id enim ilico sequeretur, quod siue [pukno] | [A21 in marg.] siue [apukno] haud quidem ex sua positione conueniret. Nam cum rursus sesquiquarta, quae de tota sesquitertia restaret, in duas superparticulares esset scindenda, quo medium interuallum atque infimum et consequens explerentur futuraque esset eadem diuidendi ratio, qua superius usus fuisset, id profecto ut eueniret, omnino necesse fuit. Si enim sesquiquartae [puthmenes] ter producantur, duodecim ac quindecim exoriuntur, quorum medii intercidunt tredecim ac quattuordecim. E quibus cum tredecim numerus fuerit reiciendus, quod cum quindecim comparatus nullam superparticularem conficiat, quattuordecim cum duodecim in sesquisexta esse apparent et cum quindecim in sesquiquartadecima; quarum sesquiquartadecima si consequenti spatio addiceretur, quod aequum fuit, quin ea sui magnitudine et sesquiquintamdecimam, quam primo assignauimus, omnino superet, dubitari non potest.

Hanc uero, quam huius rei causam Ptolemaeus attulit, tametsi ea uera est (id enim re ipsa manifesto consequitur), ut nimis tamen fluxam atque languidam Bryennius, uir sane diligentissimus nec non Ptolemaei ipsius, ut est uidere, longe studiosissimus, ne dicam plane interpres, minime probauit, quod ea non naturae ui rei causa esset, sed ex hypotheseos. Atque ipse aliam excogitauit, quae cum a natura ortum ducat, probabilior multo ac uerior est prorsus existimanda. Ille enim, quod sensui non quadraret, eo consequens spatium maius antecedente non constituerat. Cuius rei rationem certam nullam afferebat, quae cur id eueniret demonstraret, sed Aristoxeneo more sensum ipsum tantum obtendebat, cuius iudicium initio ualidissimis rationibus appugnauerat, nec non quantum in ipso fuit, et funditus euerterat; cum eius iudicio, ni ratio idem probaret, ne standum quidem omnino censuisset. Praeterea quod id quoque hypothesi, quam retinendam omnino censuerat, nullo pacto quadraret. | [A22 in marg.] Sed quod id factum sit, ne scilicet hoc in loco sesquiquarta diuideretur, ea de causa usu uenisse Bryennius ostendit [Harmonica III, 7], quoniam rei natura id nullo pacto pateretur. Ordo enim naturalis aliam rationem postulat, neque ullo in genere sesquiquintamdecimam primo ac antecedenti spatio admittit. Id enim ab ipsa numerorum ui, a qua omnem musicae rationem pendere certum est, manifeste prorsus negatur. Nam ab unitate intra decem, qui numerus, quasi omnium terminus undique perfectissimus, post se nullum admittit, nisi ab unitate iterum capiat exordium, omnes rationes cum consonantiarum tum [hegoumenon] et antecedentium in unoquoque genere complectuntur; inter quas cum sesquiquintadecima ratio nequeat inueniri, iure illi locus in antecedenti spatio denegatus natura est. Quod ut [-20-] melius percipiatur, rem ipsam apertius exponendam atque oculis paene subiciendam omnino esse censuimus. Ex quo illud simul apparebit, cur non illa quoque condicio in diatono sit seruata, quam initio in omni spisso genere seruandam propositum fuit, ut spatia scilicet eadem se ratione in diatono sequantur, quam in illis praeclare custoditam obseruauimus. In illis enim antecedens maximum constitui, maius uero medium, consequens ipsum demum omnium minimum necessario docuimus. In diatono uero non itidem perpetuo factum. Sed ad rem ipsam pergamus.

Vnitas igitur, cum intra se, quasi uterum gerens, sui ui omnes rationes, quae ad harmoniam pertinent, contineret, quo illae quasi eius conceptu ortae exsisterent, necessario ad multitudinis productionem inclinauit. Itaque, cum decem usque componendo perrexisset, numeros eos edidit, quorum ope cunctas proferre potuit. Primum enim bis simul posita, binarium confecit. Qui cum unitate comparatus | [A23 in marg.] duplam constituit, qua harmonica diapas[Omega]n consonantiae constitutio complexa est. Deinde uero cum ter simul est posita, ternarium protulit. Qui cum binario sesquialteram, cum unitate uero triplam ilico, quasi digito, ostendit, quarum prima harmonicam diapente constitutionem constringit, altera uero diapas[Omega]n ac diapente. Quater autem cum simul unitas fuit collocata, quaternarius exortus est. Qui cum ternario sesquitertiam, et diatessar[Omega]n harmonicam constitutionem continet, cum binario iterum duplam, cum ipsa uero unitate quadruplam, quae constitutionem itidem harmonicam comprehendit, quam disdiapas[Omega]n appellamus, et in qua omnes harmoniae species inclusae sunt, unde et perfectae constitutionis nomen illi inditum est. Hucusque igitur unitas cum ad multitudinem producendam inclinasset, numeros protulit, quibus, uti exposuimus, omnes consonantiarum formae continerentur.

A quaternario uero cum denarium usque componendo perrexisset, reliquos emisit, quibus eodem ordine rationes omnes exsisterent, quae prima atque acutissima tetrachordorum omnium harmoniae generum interualla, modo [emmele] essent et ad canendum accommoda, comprehenderent. Nam si quinquies unitas simul iungatur, quinarius efficitur. Qui cum quaternario comparatus sesquiquartam commonstrauit, quae enharmonii generis, id quod uidimus, antecedens interuallum et [hegoumenon] occupauit. Si uero sexies, senarius exortus est. Qui cum quinario sesquiquintam efficit. At hanc primum et acutissimum chromatis mollis interuallum obtinere docuimus. Quod si septies unitas componatur, septenarius ex ea coitione prouenit. Qui cum senario comparatus sesquisextam reddidit, quae acutissimo ac primo intenti chromatis spatio, uti admonuimus, assignata est. | [A24 in marg.] Si uero eadem octies, octonarius emergit. Qui cum septenario sesquiseptimam edidit, qua primum atque acutissimum mollis diatoni spatium expleuit. At si nouies, nouenarius. Is uero cum octonario sesquioctauam procreauit, quae toniaei ac ditoniaei diatoni prima atque acutissima interualla obtinuit. Demum eadem unitas decies composita denarium constituit. Qui cum nouenario sesquinonam confecit. Eaque primum et acutissimum cum intenti tum etiam et [homalou] et aequalis diatoni spatium adimpleuit. Qua naturali, ut ita [-21-] dicam, dispositione et omnes consonantias atque cuncta prima omnium generum atque acutissima interualla statim expleta sunt.

Ex hac igitur rationum positione, quae natura exsistit, uidere licet, non modo cur sesquiquintadecima numquam acutissimo et antecedenti spatio sit assignanda, sed quonam pacto rationes ipsae in unoquoque acutissimorum interuallorum sint constituendae, tum etiam cur non ea lex perpetuo sit seruata, ut minimum consequenti, maius medio, maximum uero spatium antecedenti sit attributum. Sesquiquintadecima enim nulli acutissimo fuit concedenda, quod illa ex earum numero non esset, quas natura ad id conficiendum ordine suo disposuisset; quae quidem, uti memorauimus, extra perfectissimum numerorum inueniri nequeunt, ea nimirum de causa, uti conicimus, quod ob sui exiguitatem reliquae omnes a perfectione nimis aberrent; cuius iudicium sensus quoque ipse, cum id nullo pacto potuit admittere, luculenter testimonio suo comprobauit.

Quo uero ordine spatia sint acutissimis ac primis tetrachordorum interuallis distribuenda, e naturali cuiusque rationis ortu plane animaduerti licet. Eadem enim sane ratione ac uia est a mollissimo ad intentissimum genus ascendendum; quod profecto in spissis diligenter obseruatum fuisse | [A25 in marg.] uidimus. Mollissimi enim enharmonii acutissimum ac primum tetrachordorum spatium sesquiquarta occupauit. Mollis uero chromatis sesquiquinta. Intenti demum sesquisexta. In molli igitur diatono huic ipsi sesquiseptima obuenit. In toniaeo autem et ditoniaeo sesquioctaua, a qua, quod ipsa tonus uocari solita sit, et ipsum hoc genus nomen procul dubio est assecutum, quamquam et medium molle, quoniam inter intentum et molle diatonum locus illi est, a ueteribus idem appellatum fuisse reperio. Intento uero et ipsi praeterea [homalo] et aequali, quod Ptolemaeus ipse excogitauit, sesquinona in eodem acutissimo ac primo attributa est.

Cur autem illud non etiam perpetuo fuerit in diatono custoditum, quod diligentissime in spissis seruatum fuerat, ut scilicet maximum spatium antecedenti interuallo, maius uero medio assignaretur, illud profecto in causa fuit, quod sesquitertiae ratio id omnino non admitteret, nisi iterum eaedem rationes iisdem spatiis in diuersis generibus tribuerentur. Hoc uero, ne aures offenderentur, quod contra prorsus sentirent, diligenter fuit cauendum. Rationem enim sensui congruere debere, non aduersari, iam pridem conclusimus. Cum igitur in toniaeo diatono sesquioctaua acutissimo et antecedenti spatio tetrachordorum e naturae ui necessario deberetur, medio ipsi uel sesquinona uel sesquiseptima fuit assignanda. Ceterae enim uel maiores, quam sesquitertia ratio possit admittere, quando etiam praeterea ultimum ac consequens interuallum in unoquoque tetrachordo addendum sit, uel minores multo, quam ferre aures possent, inuenirentur. Harum sesquinona (quod apparebit) iam eidem medio in molli diatono fuit tribuenda. Sesquiseptima igitur supererat, quae illi destinaretur. | [A26 in marg.] Nam si quis illi sesquisextam largiretur, tametsi maior illa non ideo esset quam reliquum totius sesquitertiae, id tamen quod esset consequenti et grauissimo tribuendum, minus multo esset, quam sensus ipse probaret. Restat enim [-22-] sesquisexagesimatertia, quod spatium nullo pacto sensu percipi potest. In intento uero cum de sesquiquinta, quae de tota sesquitertia erat reliqua, antecedenti sane sesquinona fuerit consignanda, id omnino euenire necesse fuit. Nam si quis eadem ratione ac uia, qua ceterae dispertitae sunt, diuidat, sesquioctaua ac sesquiquintadecima emergent, quarum maior medio, minor consequenti destinanda est. Necessario igitur ex hoc dispertiendi ordine spatio medio sesquioctaua est attribuenda. Verum illo redeundum, unde huc digressa est oratio.

Mollis igitur diatoni interualla ea ratione Ptolemaeus distribuere instituit, ut acutissimo et antecedenti sesquiseptima, quemadmodum consentaneum ostendimus, dispensaretur, sesquisexta uero, quae de tota sesquitertia restaret, in duas superparticulares iterum scinderetur. [Puthmenas] itaque eius sex atque septem accepit, ipsosque ter produxit. Ea productione decem et octo ac uiginti et unum effecit. Medii numeri inter illos decem et nouem ac uiginti reperiuntur. E quibus decem et nouem reiectis, quod cum utrisque superparticularem non conficerent, uiginti cum uiginti et uno sesquiuigesimam, cum decem et octo sesquinonam constituunt, quarum cum maior medio, minor consequenti assignatae fuerint, totum mollis diatoni tetrachordum expletum est. In quo acutus acutissimum neruorum ac septimam eius continet, grauis uero acutum nona ipsius parte uincit, ac ipse uigesima sui parte a grauissimo superatur.

[Mei, De modis, 22; text: acutissima, acuta, grauis, grauissima, mollis diatoni tetrachordum, diatessar[Omega]n ac sesquitertia, 1/7, 1/9, 1/20] [MEIMOD 05GF]

[A27 in marg.] Toniaei uero spatia alia ratione distribuenda fuerunt. Nam cum sesquioctaua acutissimo et antecedenti assignanda fuerit, atque medio iis de causis, quas paulo superius memorauimus, sesquiseptima, alia, quae consequens ac grauissimum occuparet, nulla est inuenta praeter sesquiuigesimamseptimam. Illa uero ea ratione potissimum est deprehensa. Sesquisextae (haec enim tantum cum sesquiseptima sesquitertiam in duo partitur) igitur [puthmenas] si quis quater producat, uiginti quattuor ac uiginti octo ilico oriuntur. Quorum medii uiginti quinque ac uiginti sex nec non et uiginti septem numeri reperiuntur. Ex his uiginti quinque reiecti sunt, quod cum utrisque extremis superparticularem nullam conficiant, itidem et uiginti sex, non quia illi quidem cum utrisque superparticularem nullam constituant (constituunt enim cum uiginti quattuor sane sesquiduodecimam, cum uiginti octo uero sesquitertiamdecimam) sed quod earum neutra fuit sesquioctaua. Illa enim nunc opus fuit. Viginti septem autem cum uiginti quattuor sesquioctauam, cum uiginti octo uero sesquiuigesimamseptimam ediderunt, quarum illa, quod reliqua maior esset, [-23-] naturae ui, uti monstrauimus, acutissimo et antecedenti spatio fuit concedenda, minor uero, quando sesquiseptima medium iure obtineret, consequens ac grauissimum occupauit. Qua ratione totum toniaei diatoni tetrachordum perfectum est, in quo chordarum acutissima octaua sui parte ab acuta, acuta septima a graui, grauis uigesima septima a grauissima deficit.

[Mei, De modis, 23,1; text: acutissima, acuta, grauis, grauissima, toniaei diatoni tetrachordum, diatessar[Omega]n ac sesquitertia, 1/8, 1/7, 1/27] [MEIMOD 05GF]

[A28 in marg.] Intenti praeterea diatoni interualla ea fuerunt, ut sesquinona antecedens possideret, sesquiquinta uero, quae de sesquitertia restaret, in duas superparticulares de more scinderetur. Cum igitur eius [puthmenes], quinque uidelicet atque sex, ter sunt producti, numeri ex hac productione enati sunt quindecim atque decem et octo. Inter quos medii inciderunt sedecim atque decem et septem. His uero repudiatis, quod cum utrisque superparticularem non efficerent, sedecim cum quindecim sesquiquintamdecimam, iidemque cum decem et octo sesquioctauam perfecerunt, e quibus cum maior medio, minor grauissimo et consequenti distributa sit, tetrachordum intenti diatoni est absolutum; cuius acutissima nona sui parte ab acuta superatur, cum hanc atque sui octauam grauis adaequet, quae tamen sui quinta decima deficiat a grauissima.

[Mei, De modis, 23,2; text: acutissima, acuta, grauis, grauissima, intenti diatoni tetrachordum, diatessar[Omega]n ac sesquitertia, 1/9, 1/8, 1/15] [MEIMOD 06GF]

Diatoni uero [homalou] et aequalis tetrachordi, cuius plane inuentor Ptolemaeus exstitit, diuisio illa fuit, ut integra sesquitertia in tres superparticulares [parisous] et prope aequas et (ut ita dicam) contiguas scinderetur. Ex quo, cum aequi omnino excessus nascerentur, [homalou] et aequalis nomen illi inditum est. Diuisionis ratio ea reperta est, ut sesquitertiae [puthmenes], tria atque quattuor, ter producerentur, eaque productione numeri exoriuntur nouem ac duodecim. Quorum medii [-24-] decem atque undecim inuenti sunt; qui omnes inter se alter cum sibi proximo collatus superparticularem gignit, nouem enim cum decem sesquinonam, decem cum undecim sesquidecimam, undecim demum cum duodecim sesquiundecimam. Quarum sesquinona iterum | [A29 in marg.] acutissimo, sesquidecima medio, sesquiundecima uero grauissimo distributa est. In hoc igitur tetrachordo acutissimus neruorum nona sui parte ab acuto, acutus decima a graui, grauis undecima a grauissimo uincitur.

[Mei, De modis, 24; text: acutissima, acuta, grauis, grauissima, aequalis diatoni tetrachordum, 1/9, 1/10, 1/11, diatessar[Omega]n ac sesquitertia] [MEIMOD 06GF]

Ditoniaeum autem diatonum, quod tametsi [alogon] et ratione quodammodo carens Ptolemaeus esse demonstrauit, quoniam in eius consequenti et grauissimo tetrachordi spatio, hemitonium quod appellant, positum sit, non tamen ab ipso prorsus repudiatum fuit, idque ea potissimum de causa probari atque recipi docuit, quoniam eius [alogia] sensu non posset deprehendi. Differt enim a sesquiquintadecima sesquioctogesimaquinta fere, qua est lemmate maior sesquiquintadecima ratio. Nam ea est, quae a ducentis et quinquaginta sex cum ducentis et quinquaginta nouem comparatis efficitur. Quod in causa est, ne illa quoque differentia auribus percipiatur, qua maior est sesquioctaua, quae in hoc genere acutissimum atque antecedens interuallum occupauit, quam sesquinona, cui illud in intento tribuendum commonstrauit. Sesquioctogesima enim ab ea distat. Ditoniaeum igitur ea ratione distingui consueuit, ut antecedenti et medio interuallo sesquioctaua consignetur, consequenti uero et grauissimo lemma et quod de tota sesquitertia relinquitur. Id, uti diximus, qui sensum ipsum tantum respicere sunt soliti, hemitonium uocare non dubitarunt, tametsi certis demonstrationibus a mathematicarum rerum peritis eorum opinio refellatur atque falsa omnino esse peruincatur. Hoc tamen pro intento diatono plerosque uti affirmauit | [A30 in marg.] Ptolemaeus, quod expedita eius ratio sit atque in promptu, et quod in ea latet [alogias], sensum penitus fugiat, atque ob id ipsi nullo pacto aduersari uideatur. In ditoniaeo itaque tetrachordo acutissimam ac eius octauam acuta continet, itidem et grauis acutam, grauissima uero lemmate et fere sesquiquintadecima ratione grauem praeterit ac illa maior est.

[-25-] [Mei, De modis, 25; text: acutissima, acuta, grauis, grauissima, diatoniaei diatoni tetrachordum, diatessar[Omega]n ac sesquitertia, 1/8, lemma] [MEIMOD 06GF]

Sed quinam primi numeri istorum generum chordas designent, ut in spissis factum est, iam exponamus. Molli igitur diatono, ac medio et toniaeo, nec non et intento, itidemque [homalo] et aequali (nam ditoniaei numeros, cum illud non prorsus rationi congruere demonstrasset Ptolemaeus, seorsum ab his prodere maluit) illi sane communes sunt, qui iidem in unoquoque genere, propterea quod stabiles perpetuo sunt, acutissimum ac grauissimum tetrachordi neruos indicant. Quorum acutissimo quidem quingentae et quattuor unitates assignantur, grauissimo uero sescentae ac septuaginta et duae. Grauissimum enim acutissimum ac tertiam ipsius amplius complecti oportere, quod sesquitertiae rationis proprium est, iam milies exposuimus. At quingentarum et quattuor tertia e centum ac sexaginta et octo conficitur. Hae itaque illis adiectae sescentas, uti diximus, ac septuaginta et duas constituunt. Reliquae ergo chordae, mobiles quae appellantur, eiusmodi sunt. In molli primum diatono, quando acuta acutissimam ac eius praeterea septimam adaequat, quae statim sequitur ab acutissima, e quingentis ac septuaginta et sex constet necesse est. Septima enim e septuaginta et duabus | [A31 in marg.] perficitur. Grauis uero, quoniam acutam ac eius nonam capit, atque ipsa a grauissima sui uigesima superatur, e sescentis atque quadraginta conflatur. Nona enim acutae e sexaginta et quattuor constat, quae si cum illius numero iungantur, quam diximus, summam profecto efficient. Cuius uigesima triginta et duabus expletur. Has uero qui sescentis et quadraginta apponet, sescentas ac septuaginta et duas omnino explicabit, quas grauissimae assignandas esse docuimus. Medii deinde et toniaei diatoni acuta, quod acutissimam ac eius octauam complectitur, e quingentis ac sexaginta et septem componitur. Octaua enim acutissimae e sexaginta et tribus est. Grauis autem, quae acutam ac ipsius septimam metitur, e sescentis ac quadraginta et octo constat. Nam acutae septima est ex una atque octoginta. Grauissima uero a graui illiusque uigesima septima plane conficitur, quam uiginti et quattuor constituere non est dubium. E quibus graui adiectis sescentae ac septuaginta et duae exoriuntur, quae grauissimam continent. In intento uero diatono acuta quidem, cum acutissimam nona eius parte superare debeat, e quingentis ac sexaginta conficitur. Quingentarum enim ac quattuor nona sunt quinquaginta et sex. Acutae uero octauam septuaginta conficiunt, quae ipsi adiectae sescentas atque triginta reddunt. Itaque ex his grauis enascitur, cuius quinta decima, qua grauissima grauem exsuperat, sunt quadraginta ac duae. His adaucta grauis grauissimam efficit, quam, uti dictum est, sescentae ac septuaginta et duae prorsus continent. Aequalis demum et [homalou] tetrachordi acuta, [-26-] quae acutissimam ac nonam illius adaequat, quingentis et sexaginta perficitur. Nonam enim illius a quinquaginta et sex unitatibus contineri | [A32 in marg.] modo in intento distinguendo a nobis est expositum. At uero grauem, quoniam ea acutae atque ipsius decimae par est, sescentae atque sedecim unitates constituunt. Decima enim quingentarum ac sexaginta quinquaginta sunt et sex, quae itidem grauis undecimam continent, et quae cum ipsi adiiciantur, grauissimam conficiunt. Sescentas enim ac septuaginta et duas ea adiectione colligimus.

Tetrachordi mollis diatoni per numeros partitio

[Mei, De modis, 26,1; text: chordarum acutissima, 504, septima ipsius pars, 72, acuta, 576, nona, 64, grauis, 640, uigesima, 32, grauissima, 672, acutissimae atque acutae differentia, acutae et grauis differentia, grauis atque grauissimae differentia] [MEIMOD 06GF]

Medii ac toniaei tetrachordi per numeros partitio

[Mei, De modis, 26,2; text: chordarum acutissima, 504, octaua ipsius pars, 63, acuta, 567, septima, 81, grauis, 648, uigesima septima 24, grauissima, 672, acutissimae atque acutae differentia, acutae et grauis differentia, grauis atque grauissimae differentia] [MEIMOD 07GF]

Intenti diatoni tetrachordi per numeros partitio

[Mei, De modis, 26,3; text: chordarum acutissima, 504, nona ipsius pars, 56, acuta, 560, octaua, 70, grauis, 630, quinta decima, 42, grauissima, 672, acutissimae atque acutae differentia, acutae atque grauis differentia, grauis atque grauissimae differentia] [MEIMOD 07GF]

[-27-] [A33 in marg.] Aequalis et [homalou] tetrachordi per numeros partitio

[Mei, De modis, 27,1; text: chordarum acutissima, 504, nona ipsius pars, 56, acuta, 560, decima, 56, grauis, 616, undecima, 56, grauissima, 672, acutissimae atque acutae differentia, acutae et grauis differentia, grauis atque grauissimae differentia] [MEIMOD 07GF]

Hoc tamen ipsum aequale et [homalon] genus is, qui illud adinuenit Ptolemaeus, quod nimirum non esset auribus assuetum, postea in ea, quam monstrauit generum, quorum usus frequens esset et [sunethon], cum toniaeo permixtionem, prorsus omisit [Harmonica II, 15]; tametsi quamquam rudis primo uideri possit, non omnino cum propter sui propriam uim tum etiam propter sui diuisionem, quae rationi admodum congrueret, neglegendum esse docuisset. Ditoniaei postremo tetrachordi acutissimae quidem centum ac nonaginta et duae unitates a Ptolemaeo sunt assignatae, et grauissimae (quoniam acutissimae tertia e sexaginta et quattuor constat) ducentae ac quinquaginta et sex, quae tetrachordi stabiles sunt. Mobilium uero acutae, quod haec acutissimam ac eius octauam complectatur, ducentae ac sedecim. Octaua enim acutissimae est e quattuor ac uiginti. Graui demum, quae acutam ac itidem eius octauam continet, ducentae ac quadraginta et tres, cum acutae octaua e septem atque uiginti constet. Lemma uero, quod reliquum est e tota diatessar[Omega]n, quodque hemitonium appellare consueuerunt, tredecim sunt unitates, quae cum ducentis ac quadraginta et tribus coniunctae ducentarum ac quinquaginta et sex summam conficiunt; quam grauissimam huius tetrachordi chordam designare paulo superius docuimus.

[A34 in marg.] Ditoniaei diatoni tetrachordi per numeros partitio

[Mei, De modis, 27,2; text: chordarum acutissima, 192, octaua ipsius pars, 24, acuta, 216, octaua, 27, grauis, 243, lemma uel hemitonium, 13, grauissima, 256, acutissimae atque acutae differentia, acutae et grauis differentia, grauis atque grauissimae differentia] [MEIMOD 07GF]

[-28-] Quinam igitur numeri a Ptolemaeo sint unicuique tetrachordorum chordae in diatono attributi, quorum ope earum differentias cognosceremus, hi sunt. Quorum diagramma, uti res distincte magis quasi oculis cernatur, eiusmodi apposuimus. Sed de Aristoxeni atque Ptolemaei partitionibus ea, ni fallor, satis superque uideri possunt, quae a nobis sunt exposita. Illud uero est diligenter attendendum, quod initio admonuimus, non tamen eam rationem, quam Ptolemaei consilium in partiendo secutum esse monstrauimus, ab omnibus, qui post ipsum hac de re tractarunt, probatam fuisse. Nam in generibus assignandis Archytae quasi assensi, tam chroma et diatonum quam enharmonium ipsum [monoeides] et unius (ut ita dicam) formae prodiderunt; quod profecto, quia plane sensus ipse perspicue aliter sentiret, Archytae ipsi Ptolemaeus iam uitio uerterat. Id tamen a posterioribus nimirum aetatis culpa, in qua uixerunt, potius quam sua factum fuisse existimare possumus. Superiores enim illi, | [A35 in marg.] Aristoxenum inquam ac ceteros, qui florentibus Graeciae rebus ac disciplinarum studiis praeclarisque artibus uiguere, cum in ea tempora incidissent, quibus istarum artium principes summo in pretio sunt habiti, iure scriptis suis, quae artificum ingenio atque industria excogitata et perfecta uiderant, celebrare atque illustrare non destiterunt. Secutum mox illius gentis et libertatis et imperii senium atque mors demum ea omnia se cum quodammodo abstulere, quae cum semel ad interitum peruenissent, numquam, et si quandoque reuiuescere coeperunt, pristinam tamen dignitatem ac splendorem reciperarunt. Macedones enim et qui post ipsos rerum potiti sunt, Romani, cum armorum ac rei gerendae studio totos se occupare consueuissent, humaniores hasce artes uel penitus neglexerunt uel non ea praemia his artificiis aut laudem statuerunt, quae sui ui hominum studia incendere possent atque inflammare. Nam quod etiam sapientes uiri scriptum reliquerunt, honos alit artes, omnesque incendimur ad studia gloria, iacentque ea semper, quae apud quosque improbantur. Quamobrem ne illud quidem mirandum est, si illa uel neglegentia uel parui pensione sensim artes omnes ac scientiae aut defecerint aut interierint. Hac igitur de causa effectum plane fuisse cogitare debemus, ut eiusmodi artificum industria minueretur, qua ista perpetuo ali augerique consueuerunt atque aucta retineri. Verum iacturam hanc aequo animo ferendum aliquo pacto uideri posset, modo ueteris industriae monumenta aliqua ratione et uia illi seruassent, quae quidem ipsorum ignauia ac desidia in eam calamitatem adducta sunt, ut exstitisse ea quondam necne in dubium quandoque uenerit.

Qua de re ueteres auctores saepe questos | [A36 in marg.] legimus. Nam Plutarchus, uir sane eruditissimus ac omnis uetustatis studiosissimus, in suo illo libro, quem De musica inscripsit, hoc nomine in suorum temporum musicos acerbissimis querelis inuectus est [1145A-D]. Ptolemaeus quoque enharmonium genus et molle chroma sua tempestate amissum ac omnino nullo in usu esse prorsus monstrauit, cum eorum, quae essent in usu et quae [sunethe] ab ipso genera sunt appellata, permixtionem cum toniaeo docuit [Harmonica I, 16, p. 38, 2-7D]. Aristides uero Quintilianus [I, 9, p. 16, 14-18W-I] ac Bryennius [I, 7, p. 112, 24-p. 114, 1Jo] ne fuisse quidem umquam (quod et Plutarchus ipse plane exposuerat [De musica 1145A-B]) enharmonium genus suae aetatis musicos affirmare solitos tradiderunt. Sed quid hos miramur, cum Dionysium Halicarnasseum, qui hos aetate plurimum antecessit (uixit enim quo tempore Augustus rerum potitus est), locupletissimum [-29-] huius rei testem adhibere possimus? In eo enim libro, quem de compositione ac collocatione uerborum in oratione edidit, cum musicen non modo diapas[Omega]n ac diapente interuallo uti consuesse affirmasset, sed etiam modulari tonum ac hemitonium, statim adiecit [xi, p. 41UR]: nec non, quemadmodum nonnulli arbitrantur, diesim ipsam, adeo ut eam sensus percipiat. E quibus uerbis id plane elicitur, Dionysio id ipsum fieri ne posse quidem persuasum fuisse; quod si enharmonium genus ea tempestate in usu fuisset, profecto non id illi uiro praesertim et doctissimo et prudentissimo mirandum esset uisum, quod diesis sensu perciperetur. Sed oratio nimis fortasse a proposito aberrauit.

Id uero, ut ad rem tandem redeam, quod initio proposuimus, mirum omnino uideri nullo pacto debet, musicam scilicet artem adeo a priscorum artificum industria quandoque declinasse, ut unumquodque trium generum [monoeides] atque unius tantum formae prorsus fuisse traderetur, cum praesertim ea post secuta sint tempora (quod experimur), quae unum uix genus tantum | [A37 in marg.] retinuerint. Latini igitur, quorum Boethius cum doctrina et rerum peritia tum diligentia longe princeps, singulis generibus singulas formas assignarunt; quamquam Boethius, quod e suis de re musica scriptis liquido apparet, Aristoxeneae ac Ptolemaicae partitionis rationem optime cognouisset. Vt uero, quae in hac re uitio uerti Aristoxeno cognouerat, effugeret (qui, quod interuallis, quae muta suapte natura essent, totam partitionis quasi rationem tribuisset, uexaretur) ipse chordis, quarum ope id aures perciperent, eam consignauit. Quam uero ille huius uitii medicinam attulit, satis ea fuerit necne, nunc non est disputandum. Itaque [Boethii Institutio musica IV, 6], cum tria esse harmoniae genera uel formas potius constituisset, enharmonii scilicet, chromatis, ac diatoni, atque in enharmonio spatium, quo distat acuta ab acutissima chordarum, ditonum esse uoluerit, quod sesquiquartam, quam illi tribuit Ptolemaeus, octogesima sui portione superat; reliqua duo cum Aristoxeno, ut essent aequa, consensit, adeo ut interuallum, quod est inter acutam ac grauem, nec non et inter grauem ac grauissimam, quarta toni pars occuparet; quae portio, uti diximus, ab Aristoxeno diesis enharmonia est appellata. In chromate uero antecedenti quidem tria hemitonia, medio uero ac consequenti singulis hemitonium quod appellant, distribuit. At in diatono acutissimo et medio interuallorum singulis tonum assignauit, grauissimo uero hemitonium.

Numeri igitur, qui primi horum omnium generum chordas designarent, hi fuerunt, ut acutissimae e duobus milibus ac trecentis et quattuor unitatibus constituerentur, grauissimae uero, quae acutissimam ac eius tertiam continent, e tribus milibus ac septuaginta et duabus. Tertia enim e septingentis ac duodeseptuaginta constat. | [A38 in marg.] Stabiles igitur hae in omnibus fuerunt. Mobiles uero, quae restant, ac in diatono quidem (hac enim ratione et uia facilius cetera percipiemus) acuta, cum acutissimam ac eius octauam adaequet, quoniam acutissimae octaua est e ducentis ac duodenonaginta, [-30-] fit e duobus milibus quingentis ac nonaginta et duabus. Quarum iterum octaua e trecentis ac uiginti et quattuor constat, quae si acutae ipsi adiiciantur grauem conficiunt, quam duo milia ac nongentae et sedecim constituunt. Quae autem de tota sesquitertia reliquae sunt, eae sunt centum ac quinquaginta et sex, lemmatis interuallum obtinent, quibus grauis a grauissima in diatono superatur. In chromate uero grauis est eadem ac in diatono fuit. Acuta autem ea ratione deprehenditur, ut ab interuallo scilicet, quo in diatono grauem ab hac distare docuimus, ea portio auferatur atque acutae apponatur, quae dimidium spatii adaequet, quo eiusdem diatoni acutissima ab acuta uincitur. Cum illud igitur, quod est e ducentis ac duodenonaginta, in duas aequas sciderimus, alteramque e centum ac quadraginta et quattuor constare cognouerimus, totidem si acutae diatoni, quam (uti monstrauimus) duo milia ac quingentae et nonaginta atque duo simul perficiunt, addiderimus, chromatis ilico acuta necessario consequetur, quam duo milia ac septingentae et triginta sex continebunt. Eadem autem in enharmonio, cum ditono ab acutissima differat, profecto dubitari non potest, quin omnino diatoni grauem adaequet. Duo milia enim ac nongentae et sedecim ipsam constituent, quot grauem in diatono constituisse uidimus. Vt uero hoc itidem in genere grauis assignetur, lemma, quod restat, in duas aequas partiamur oportet. Cuius cum alteram acutae adiecerimus, confestim grauis exorietur, | [A39 in marg.] quam, quoniam lemma e centum ac quinquaginta et sex constare certum est, cuius altera fit e duabusdeoctoginta, duo milia ac nongentae et nonaginta quattuor necessario conficiunt. Harum igitur partitionum diagramma id est.

Tetrachordi diatoni per numeros partitio

[Mei, De modis, 30,1; text: chordarum acutissima, 2304, octaua, 288, acuta, 2592, 324, grauis, 2916, lemma, 156, grauissima, 3072, acutissimae et acutae differentia, acutae atque grauis differentia, grauis a grauissima differentia] [MEIMOD 08GF]

Tetrachordi chromatici per numeros partitio

[Mei, De modis, 30,2; text: acutissima, 2304, tria hemitonia, (144) (288), acuta, 2736, hemitonium, 180, grauis, 2916, lemma, 156, acutissimae et acutae differentia, acutae atque grauis differentia, grauis a grauissima differentia] [MEIMOD 08GF]

[-31-] [Mei, De modis, 31,1; text: grauissima, 3072] [MEIMOD 08GF]

Tetrachordi enharmonii per numeros partitio

[Mei, De modis, 31,2; text: acutissima, 2304, ditonum, 612, acuta, 2916, diesis, 78, grauis, 2994, grauissima, 3072, acutissimae et acutae differentia, acutae atque grauis differentia, grauis a grauissima differentia] [MEIMOD 08GF]

Ex his igitur liquido apparet, quattuordecim chordarum systema | [A40 in marg.] et constitutionem cum Ptolemaei tum Latinorum in unoquoque genere eam necessario fuisse, quam diagramma, quod apposuimus, manifesto indicat.

[-32-] [Mei, De modis, 32; text: nete hyperbolae[Omega]n, paranete hyperbolae[Omega]n, trite hyperbolae[Omega]n, nete diezeugmen[Omega]n, paranete diezeugmen[Omega]n, trite diezeugmen[Omega]n, paramese, mese, lichanos mes[Omega]n, parhypate mes[Omega]n, hypate mes[Omega]n, lichanos hypat[Omega]n, parhypate hypat[Omega]n, hypate hypat[Omega]n, [proslambanomenos], Regulae harmonicae partitio ex Ptolemaei sententia, lemma, Ditoniaei diatoni, [homalou] ac aequalis diatoni, Intenti diatoni, Toniaei diatoni, Mollis diatoni, Intenti chromatis, Mollis chromatis, Enharmonii, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11, 1/14, 1/15, 1/20, 1/21, 1/23, 1/27, 1/45, ditonum, diesis, tria hemitonia, hemitonium, Regulae harmonicae partitio ex Boethii sententia, Diatonum, Chroma, Enharmonium, aa la mi re, g sol re ut, f fa ut, e la mi, d la sol re, c sol fa ut, [sqb] mi, a la mi re, G sol re ut, F fa ut, E la mi, D sol re, C fa ut, B mi, A re] [MEIMOD 09GF]

[-33-] [A41 in marg.] Sed quoniam de modis musicis sumus dicturi, non ab re, opinor, erit, si monochordi [kanonos] et regulae partitio antea, quam ad consonantiarum species ac formas explicandas redeo, qua ratione et uia fiat, ostendero. Id enim, quando auditu ipso totam rem diiudicare debemus, necessarium prorsus est existimandum. Verum quia si omnium, quos memoraui, diuisiones omnes persequi uellem, operosum atque longum admodum esset, cum stabiles neruos constituerimus (qui iidem omnium generum ac formarum, cuiusquemodi illae sint, siue enharmonii siue chromatis siue diatoni, perpetuo sunt), satis, arbitror, erit, ditoniaei tantum mobiles inuestigasse. Nam quod ad stabiles attinet, iidem et apud Aristoxeneos et Ptolemaicos et Latinos ac reliquos omnes semper illi fuerunt. Mobiles uero eadem ratione ac uia, qua id in ditoniaeo fieri monstrauerimus, in ceteris omnibus sunt inuestigandi. In quadrangulari igitur tabula ad amussim plana, leui, quantumuis longa, quam tamen docendi gratia quinque pedum longitudine, latitudine uero unius nunc animo fingimus, duo hemisphaeria, siue lignea siue aenea illa fuerint, primum ita collocentur, ne loco moueri possint, altitudine uero inter se nihil differant, et quae in tabulae media latitudine sita, longitudinem paene omnem intercludant. Huiusmodi hemisphaeria uel [magadas] uel [hupagogia] ueteres huius disciplinae magistri appellare consueuerunt. Deinde chorda aequalis super haec intendatur, quae utraque ex parte cum magadas attingat, angulos pares quadrati cuiusdam uacui intra chordam et tabulam atque utrasque magadas prope describat. Quod spatium et quasi regulam, quae duos terminos et magadas interiacet, ita postremo partiemur, perinde ac si chordam ipsam secaremus. In singulis autem | [A42 in marg.] sectionibus mobilis magas est chordae supponenda, quae et ipsa, cum angulos pares effecerit, chordam ea ratione pertingat, ut illius eam portionem distinguendo intersecet atque a reliqua separet terminetque, quam in regula et spatio ipso intra duo hemisphaeria descripserimus. Hanc si radio quis uerberet, eum illa sonum continuo emittet, quem quaesiuimus, et qui cum altero portionis alterius sibi comparato rationem illam obtinere reperietur, quam illam ipsam portionem diuisae chordae cum altera sibi comparata retinere certum est.

Chorda itaque primum ea ratione, qua monuimus, distenta, partitionem deinde ipsam hoc pacto persequemur. Sit chordae totius intra stabiles magadas et hemisphaeria interuallum AB, quod in duas aequas, et in puncto C est scindendum. Dupla igitur erit chorda AB chordae CB. Quod si mobilis magas in puncto C chordam intersecet, sonus, quem edet CB si cum eo, quem emittet ipsa AB, comparetur, diapas[Omega]n consonantiae sit necesse est. Necesse igitur est AB sit proslambanomenos et A re, atque ipsa CB omnino mese et a la mi re. Rursus si CB in duas itidem aequas in puncto D partiemur, quater chorda DB metietur ipsam AB. In quadrupla igitur ratione erit DB, si cum AB quis eam comparauerit. Sonus itaque, qui editur a chorda DB, cum eo, qui mittitur ex AB, disdiapas[Omega]n, cum illo uero, quem edet CB, diapas[Omega]n consonet necessario oportet. Quare DB nete hyperbolae[Omega]n et aa la mi re sit, consequitur. Quod si tertiam eius, quae est DB, partem e reliqua AD adimas, illique DB adiungas, ut efficiatur EB, hanc diatessar[Omega]n consonantiam [-34-] emittere, si cum DB comparetur, omnino non est dubium. Erit igitur EB nete diezeugmen[Omega]n et e la mi. Huic si de AE tertiam ipsius EB abstulerimus, | [A43 in marg.] ipsique EB adiecerimus, effecerimusque FB, diatessar[Omega]n consonantia ex EB et FB simul pulsis exorietur. Erit igitur necessario FB paramese et [sqb] mi. Spatium uero, quod inter mesen et paramesen relinquitur (ea est CF), octaua FB pars sit, infitiari non possumus, quando (quod initio e mathematicorum consensu affirmauimus) non modo e sesquialtera et sesquitertia duplam conflari necessario posuerimus, uerum sesquitertiam quoque a sesquialtera superari sesquioctaua ratione docuerimus. Hac enim de causa, si de diapas[Omega]n duae sesquitertiae sint ademptae, sesquioctaua necessario relinquatur oportet. Quod si eius, quae est CB, tertiam de AC auferamus, ipsique CB adiungamus, ut tota sit GB, ea profecto erit hypate mes[Omega]n et E la mi. Cui si aequam tertiae sui ipsius ex AG sit ablata, atque eidem GB adiecta, quin illa HB omnino hypate hypat[Omega]n et B mi sit, negari non potest. At uero AB si cum HB comparetur, illa totam HB sesquioctaua portione superabit. Eadem enim ratione idem in his duabus euenire necesse est, quod de mese et paramese superius demonstrauimus. Quanam igitur ratione ac uia in perfecta chordarum constitutione stabiles nerui deprehendi possunt, ea est, quam descripsimus. Cuius diagramma hoc est.

[Mei, De modis, 34; text: A, H, G, C, F, E, D, B] [MEIMOD 10GF]

Mobiles uero ita profecto sunt inuestigandi. Accipiatur ex ED octaua eius, quae est DB, sitque LD, atque ipsi DB addatur. Erit itaque tota LB sesquioctaua, si cum DB comparetur, atque idcirco paranete hyperbolae[Omega]n et g sol re ut appellabitur. Huic ipsi si sui octauam ML de reliqua EL adiungamus, tota MB sesquioctaua eius, quae est LB, efficietur. Quamobrem triten hyperbolae[Omega]n et f fa ut constituerimus, necessario sequitur. Spatium uero, | [A44 in marg.] quo reliqua EB ipsam MB superabit, lemma est et quod de tota sesquitertia restabat, quodque, uti diximus, octogesima quinta fere a quinta decima uincitur. Rursus, si de FE quis NE octauam eius, quae est EB, auferat, huic uero ipsi apponat, eaque additione NB efficiat, illa sane sesquioctaua eius, quae EB est, exsistet, ac paranete diezeugmen[Omega]n et d la sol re uocabitur; cuius si octaua ON de reliqua FN eripiatur, eidemque NB largiatur, fiatque OB, haec ipsius NB sesquioctaua effecta trite diezeugmen[Omega]n et c sol fa ut dicetur. Itaque ea de causa, quam memorauimus, interuallum, quod erit reliquum inter FO, totius diatessar[Omega]n lemma sit, necesse est, atque paramesae et tritae diezeugmen[Omega]n interiaceat. De GC uero quis PC aequam octauae eius, quae est CB, auferat, atque ipsi CB addat, continuo PB effecta lichanos mes[Omega]n et G sol re ut constituetur. Cui, si quis de GP alteram QP aequalem [-35-] octauae eius, quae est PB, dempserit atque eidem PB adiiciet, QB efficiet. Ea erit parhypate mes[Omega]n et F fa ut. Adeo ut interuallum, quod intra se GQ continebunt, lemma exsistet, quo maior est GB et hypate mes[Omega]n ac E la mi ipsa QB. At si huic GB aequa RG sui octauae addatur, fiet illa profecto RB, quae lichanos est hypat[Omega]n et D sol re. Cui si rursus sui octaua SR addita fuerit, ilico SB (ea est parhypate hypat[Omega]n ac C fa ut) exorietur. Reliquum uero HS lemma erit, quo acutior est SB ipsa HB, hypate scilicet hypat[Omega]n ac B mi. Quod cum sit effectum, [kanona] et regulam ipsam monochordi totius in quindecim chordarum perfectam constitutionem ac systema diatoni ditoniaei distribuimus, cuius diuisionis ope aures procul dubio omnium chordarum siue acumen siue grauitatem, cum quis unamquamque pulsauerit, | [A45 in marg.] nec non earum alterius cum altera comparatae distinctam certamque differentiam optime percipient.

[Mei, De modis, 35; text: graue, mobiles, octo, stabiles, septem, acutum, nete hyperbolae[Omega]n, aa la mi re, paranete hyperbolae[Omega]n, g sol re ut, trite hyperbolae[Omega]n, f fa ut, nete diezeugmen[Omega]n, e la mi, paranete diezeugmen[Omega]n, d la sol re, trite diezeugmen[Omega]n, c sol fa ut, paramese, [sqb] mi, mese, a la mi re, lichanos mes[Omega]n, G sol re ut, paranete mes[Omega]n, F fa ut, hypate mes[Omega]n, E la mi, lichanos hypat[Omega]n, D sol re, parhypate hypat[Omega]n, c fa ut, hypate hypat[Omega]n, B mi, proslambanomenos, A re, A, H, G, C, F, E, D, B, S, R, Q, P, O, N, M, L] [MEIMOD 10GF]

Commodius tamen haec eadem omnino diiudicaremus, si in eadem illa tabula, quam superius parare instituimus, chordae quindecim, quae quidem [homotonai] essent et aequisonae, supra quadratas magadas ea ratione intenderentur, quam docuimus. Illae enim ita possent aptari, ut unicuique tertiam magadam in partitionum finibus, quos monstrauimus, perpetuam locaremus, quam cum amplius suo loco mouere, quo in alium transferretur, necesse non esset, stabiles sane magadas omnes haberemus. Eoque pacto rem quasi oculis cernendo, atque auribus, cum quis duas simul uerberet, simul exaudiendo, commodius, uti diximus, diiudicare possemus. Non tamen infitiandum est, in ea, quam demonstrauimus, monochordi partitione ac regula uix errori locum ullum superesse, modo partiendi ratio ne nos fallat. In illis uero tum partiendo tum collocando tum, ut aequisonae omnes sint, efficiendo labi ac falli omnino procliuius admodum est.

Nunc uero ad consonantiarum species examinandas est accedendum, quo cetera, quae de modorum musicorum natura exponenda suscepimus, explicatius persequamur. Verum quia de [-36-] perfecta quindecim chordarum constitutione tantum disseruimus, non est, opinor, differendum, quae restant de [sunemmenon] et coniunctarum tetrachordo ac imperfecta constitutione, paucis admonere; quando eam ueteres pro perfecta recipere quandoque non dubitarint. In quo profecto falsos illos fuisse disertissime atque certissimis demonstrationibus peruicit Ptolemaeus, quo loco in secundo [Harmonikon] de illa subtiliter disputauit. [II, 6] Systema igitur et chordarum constitutionem ita sane appellare consueuerunt, cum | [A46 in marg.] tria simul tetrachorda sint adeo coniuncta, ut nulla inter ipsa disiunctionis gratia collocetur sesquioctaua ratio, quae alterum ab alteris discriminet separetque. In perfecta namque chordarum constitutione acutiora duo tetrachorda, diezeugmen[Omega]n scilicet ac hyperbolae[Omega]n, a duobus grauioribus, mes[Omega]n uidelicet atque hypat[Omega]n, sesquioctaua portione, id est toniaeo interuallo disiungi separarique consueuere. Eo enim acutiorem esse paramesem, quam mese sit, superius ostendimus. At in ea constitutione ac systemate, quam prae manibus habemus, non ita usu uenit. Tria enim tetrachorda simul iuncta sunt, quibus tres diatessar[Omega]n iugiter continentur, nullo inter ipsa immixto disiunctionis interuallo; qua de causa post mesen ilico non paramese, sed ea praetermissa statim trite consequitur, quae a re [sunemmenon] et coniunctarum nomen obtinuit. Lemma itaque in ditoniaeo diatono inter ipsam ac mesem tum collocatur. In aliis uero generibus ea spatii ratio locum illum occupat, quae infimum ac consequens tetrachordi interuallum obtinere consueuit. Huius commutationis modus b molle a nostrorum temporum artificibus appellatur ea nimirum de causa, quia scilicet molliorem incessum canendo eo in loco conficiant. Qui enim passus ambulando minores facit, eum mollius proficisci putamus, quam qui maiores. Coniungi uero simul licere uel tria grauiora tetrachorda Ptolemaeus docuit, quod etiam et apud nostrorum temporum musicos frequentissime fit, uel tria, quae sunt acutiora, quod perraro consueuit. In hac igitur constitutione distinctionis interuallum uel statim post hypat[Omega]n tetrachordum est ingerendum uel post [sunemmenon] et coniunctarum, quod ea lege est a grauissimo tertium. Imperfecta uero haec constitutio appellatur, quod illa | [A47 in marg.] non omnes consonantiarum species comprehendantur.

De numero igitur consonantiarum, ac diuisione tetrachordorum, eorumque collocatione, et chordarum in unoquoque genere distributione, nec non systematum perfectione et imperfectione, satis, opinor, ea sunt, quae hactenus sunt exposita. Itaque ad consonantiarum species, earumque discrimina cognoscenda nobis est redeundum, quo ea praestemus, quae initio sumus polliciti.

[-37-] LIBER SECVNDVS

[A51 in marg.] Consonantiarum genera sex fuisse apud ueteres Ptolemaeus, cuius apud posteros plurimum ualuit auctoritas, affirmauit. Quamobrem et nos eius sententiam sumus secuti, tametsi Porphyrius, uir summus ac Ptolemaei in hoc opere sane interpres, octo apud Aristoxenum, Dionysium, atque Eratosthenem illa exstitisse docuerit [in Harmonica p. 96, 11-12D]. Illi enim chordarum systema ad disdiapas[Omega]n usque et diapente producendum existimarunt, quod homini eo usque uocem sufficere intendendo sunt arbitrati, in quo itidem disdiapas[Omega]n ac diatessar[Omega]n necessario includitur. Verum quia ueterum nemo posterior eorum opinioni assensus uidetur, nos, uti diximus, auctorem Ptolemaeum, quem hi omnes maxime secuti sunt, praecipue probauimus. Nam et si quemadmodum sonituum infinita prope uis ac multitudo, ita et consonantiarum genera, animo concipi possunt, quia tamen aures aegre illa deprehendere queunt ac sensus ipse diiudicare, quod perinde ac instrumentum ita et eius uis finita est ac certis limitibus conclusa, non ulterius illarum numerum perducendum esse sumus arbitrati, quam aurium sensu recte ac nullo labore persentiendo animus de illarum uirtute ac uitio iudicium fecerit.

Qua tamen in re nostrorum temporum musici neque huic ipsi Ptolemaeo neque illis etiam aut de consonantiarum numero aut de earum ui et natura uidentur assensi. Nam et systema ad tres usque diapas[Omega]n perducere non dubitarunt, et quas uel Ptolemaeus uel ceteri, quos modo nominaui, consonantias prodiderunt, non omnes ab his recipiuntur, contra uero quas illorum nemo umquam cogitauit, hi consonantiarum loco admittunt. Veteres enim omnes | [A52 in marg.] in consonantiarum numero diatessar[Omega]n esse confirmarunt. Ptolemaeus uero, nec non qui eius disciplinam sectati sunt, etiam diapas[Omega]n et diatessar[Omega]n conati sunt tamquam in patriam reducere, quam Pythagorei quasi exilio multauerant. Has ambas nostri e suarum numero eiecerunt, neque ipsarum alteram (nam de diapas[Omega]n et diatessar[Omega]n mirum apud ipsos silentium, ac itidem praeterea de disdiapas[Omega]n ac diatessar[Omega]n) nisi certis condicionibus recipiendam censuerunt. Quattuor igitur, quae sex in perfecta chordarum quindecim constitutione apud ueteres fuerunt, nostris solae relinquuntur; quae quoque ab illis, cum prisca earum nomina aboleuerint, nouo prorsus appellationis genere significari solent, cum quintam, octauam, duodecimam, ac quintam decimam nimirum a chordarum numero, quo ipsae quasi concluduntur, pro diapente, diapas[Omega]n, diapas[Omega]n et diapente, ac disdiapas[Omega]n eas appellare consueuerint. His praeterea in eadem constitutione aliae quattuor sunt adiectae, quarum unaquaeque a suis inuentoribus eadem ratione a chordarum numero nomen obtinuit. Tertiam namque ac sextam, decimamque, et tertiam decimam illas nominarunt. Quo etiam consilio, cum systema ad tres usque diapas[Omega]n ab ipsis perducitur (quod tametsi non [-38-] admodum frequenter fit, aliquando tamen fit) decima septima ac uigesima reliquis suis accreuerunt. Nam decima nona eadem quidem illa est, quam paulo ante apud ueteres disdiapas[Omega]n et diapente uocatam memorauimus. Illud autem quod de [isotonou] et unisono a nostris proditum est, quod sane ab ipsis inter consonantias annumerari solet, perridiculum id quidem prorsus uideri debet, quando non modo ex similibus nedum ex eisdem, sed omnino ex dissimilibus exoriri consonantias certum est. | [A53 in marg.] Quare qui accuratius de rebus publicis disputarunt, et illos culpa non uacare docuerunt, quorum sententia optimus ciuitatis status is censebatur, qui illam unam magis eandemque possit efficere. Cur uero illorum opinionem condemnarent, hanc ipsi rationem afferre sunt soliti, quod iidem illi eorum iudicium quasi probare contenderent, qui consonantias unisonum fieri cuperent. Hoc tamen a nostris ideo fit, quia sane consonantias, non quod interuallorum quasi termini et sonitus simul consonent, sed eo potius fortasse, quoniam inter se non dissideant, uocatas opinantur; cum tamen aliud consonare, aliud non dissidere omnino esse perspicuum sit. Quamnam uero ob causam a ueteribus, quas nostri adinuenerunt, fuerint neglectae, uel cur hi duas illas uel tres potius, quas ueteres probarunt, e suarum numero eiecerint, commodiore loco et occasione diligentius est inuestigandum.

Sed illud interea animaduertendum, profecto hinc manasse, quia scilicet utrique diuersa spectarent, ne nostri ac ueteres eadem consonantiarum diuisione uterentur, sed omnino dissimili. Nostri enim consonantiarum duo esse genera prodiderunt, alterum perfectarum, illarum alterum, quae essent imperfectae. Perfectas illi appellant, quas a ueteribus acceperunt; imperfectas, quas ipsi nouas admiserunt. Veteres uero, quorum est nobis ratio explicanda, ab his diuersam prorsus partitionem secuti sunt; quorum quoque ne una quidem omnium, eademque fuit de hac re sententia. Nam cum imperfectarum apud omnes nulla foret cogitatio, Aristoxenus [Harmonica p. 37, 20-p. 38, 4Da R], Eratosthenes ac Didymus illas suas ita partiri consueuerunt, ut earum nonnullae essent sua ui ac natura simplices, reliquae uero ex illis compositae. Simplices ac primas illas appellauere, quae ex | [A54 in marg.] aliis non nascuntur; compositae uero illae sunt, quae uel ab his simul iunctis uel ex harum, quae ex istis fluxerunt, cum illis coitione exoriuntur. Simplicium appellatione diatessar[Omega]n ac diapente, e quibus, si coniungantur, diapas[Omega]n exoriri superius docuimus, includuntur; compositarum uero, quae restant. Ptolemaeus uero aliam ab his docendi rationem secutus consonantias quoque diuersa ab his partitione disseparauit atque inter se distinxit [Harmonica I, 7, p. 15, 3-17D]. Primum enim locum [tais homophonois] et quasi quae sint eiusdem uocis, tribuit, quas sane et [antiphonous], cuius rei causam paulo post explicabimus, appellatas uideo. Easque diapas[Omega]n ac disdiapas[Omega]n esse docuit. Post has, quae hereditario prope nomine [sumphonoi] et consonae ab ipso dicuntur, collocauit. Quarum duae, diapente scilicet atque diatessar[Omega]n, sunt e superparticularium numero, quia in illas maximas dupla ac diapas[Omega]n ipsa scindi atque distribui possit. Reliquarum uero (nam sex illas, uti initio diximus, esse statuit Ptolemaeus) altera ea est, quae a diapas[Omega]n et diapente simul iunctis efficitur, cuius termini triplam rationem inter se collati [-39-] obtinent; altera, quam ipse e diapas[Omega]n et diatessar[Omega]n confici uoluit, cuius termini tametsi nullam, si alter cum altero comparetur, uel multiplicem uel superparticularem habent rationem, illis tamen de causis, quas ipse, uti memorauimus, afferre consueuit, hanc in numero consonantiarum omnino esse retinendam constituit. Has quattuor qui postea eius auctoritatem sunt secuti, in duo rursus genera dissecuerunt ac distinxerunt. Earum enim diapente, ac diapas[Omega]n et diapente [paraphonous] nominarunt, reliquas uero communi | [A55 in marg.] generis nomine [sumphonous] appellarunt.

Istarum uero omnium species ac formac dissimiles diuersaeque admodum exsistunt. Sed quoniam modorum nunc rationem, quaenam illa fuerit apud ueteres, exquirimus, quia sane eorum uis ac formae apud nonnullos ideo diuersae potissimum existimantur, quod consonantiarum quoque formae, e quibus illi oriuntur, diuersae sint, idcirco in his exponendis paulo erimus diligentiores, in diapas[Omega]n scilicet ac duabus illis, in quas istae scindi et e quarum coitione eaedem quoque ilico exoriri consueuerunt. Ceterarum uero consonantiarum formas, quia sane ad rem nostram nihil illae pertinent, ne attingendas quidem hoc tempore censemus. Harum igitur omnium, de quibus dicturi sumus, nec non etiam ceterarum formae ac species ex diuersa interuallorum collocatione constituuntur, quae in unoquoque harmoniae genere, siue enharmonium, siue chromaticum, siue diatonum illud sit, ipsas conficiunt.

Cum enim sonituum spatia, quae [diastemata] a musicis sunt appellata, uel [antiphona] sint, id est, quorum iusta, ut ita dicam, distantia sonitus ipsi, quasi altera sibi ex parte respondendo, eiusdem quodammodo uis ac naturae censentur; uel [paraphona], quia eorum ope ad eandem prope uim, [ton homophonon] scilicet, illi accedere uideantur; uel [sumphona] et quae ut sonitus consonent tantum efficiant; uel postremo [diaphona], et quorum ui sonitus inter se prorsus dissideant. [Antiphona] quidem, uti docuimus, illarum sola sunt, diapas[Omega]n uidelicet, ac disdiapas[Omega]n; [paraphona] uero diapente, nec non diapas[Omega]n et diapente; [sumphona] diatessar[Omega]n, ac pariter diapas[Omega]n et diatessar[Omega]n; [diaphona] tandem illa et spatia et interualla uocantur, e quibus omnes primum consonantiae constant, | [A56 in marg.] et quae in omnibus, uti dixi, generibus singulos sonitus a singulis sibi proximis dirimunt atque separant. E quibus, quae sui ui sonitus [eumeleis] et ad canendum accommodos efficiunt, recipiuntur, quae uero [ekmeleis] et ad idem minime idoneos, reiciuntur. Sonitus [eumeleis] conficiunt diesis enharmonia, hemitonium, sesquioctaua, atque illa demum cuncta interualla, quae superius in unaquaque tetrachordorum partitione memorauimus, [ekmeleis] uero, cetera omnia praeter haec.

Ex horum igitur interuallorum diuersa in unoquoque genere collocatione diuersae quoque in diatessar[Omega]n uel diapente, nec non in illis, quas singulas in has duas scindi consueuisse monuimus, diapas[Omega]n uidelicet, consonantiis constituendis, ipsarum formae ac species exoriuntur. Nam ut a diatessar[Omega]n, quae istarum omnium minima est atque a summa illa perfectione, cuius diapas[Omega]n particeps omnino probatur, longius abest, primum exordiamur, in quattuordecim chordarum constitutione [puknon] et spissorum generum, quibus quattuor tetrachorda cum sua [-40-] disiunctione continentur, illa prima reperitur, quae [barupuknois] includitur. Qualis ea est, quae ab hypate hypat[Omega]n et B mi atque ab hypate mes[Omega]n et E la mi complectitur. In qua sane consequens et grauissimum interuallum minimum est, medium uero maius, antecedens demum et acutissimum est omnium maximum. Altera est, quae [mesopuknois] circumdatur, ueluti a parhypate hypat[Omega]n et C fa ut atque parhypate mes[Omega]n et F fa ut. Huius grauissimum spatium et consequens maius esse comperimus, medium uero maximum, acutissimum et antecedens omnium minimum. Postremam autem [oxupuknoi] cingunt, quales sunt lichanos hypat[Omega]n et D sol re atque | [A57 in marg.] lichanos mes[Omega]n et G sol re ut. In qua quidem maximum interuallum consequens, minimum medium, maius uero antecedens exstitit. Tot igitur sunt diatessar[Omega]n formae ac species. Nam reliquae tres, quae praeter has fingi animo possunt, in ea, quam prae manibus habemus, chordarum constitutione minime reperiuntur. In illa enim tot semper uniuscuiusque consonantiae formas esse certum est, quot chordarum interualla sunt, e quibus illae constant. Quamobrem tres tantum diatessar[Omega]n sint species necesse est. Totidem quoque et in diatono illae sunt, iisdemque neruis continentur.

Hac tamen in re, de formarum scilicet ordine, Latini a Graecis nonnihil dissenserunt. Nam quae apud Graecos secundo loco numeratur, eam Latini tertio assignant, contra uero quam illi tertio, hi secundo. Huius quidem rei illud est in causa, quod Graeci ab hypate hypat[Omega]n et B mi consonantiarum tradendarum exordium ad acutiores sonitus ascendendo auspicarentur, Latini uero a mese et a la mi re ad grauiores sonitus descendendo. Nos sane Graecorum consilium ideo potissimum secuti sumus, et quia ordo magis conuenire uidetur, si a grauissimo ad acutissimum quam si a medio quouis uersus ordiaris, et quod haec, quemadmodum et ceterae fere disciplinae, Graecorum inuentis praecipue nata atque alta creuit. Tametsi ne Latinorum quidem institutum ratione caret. Vox enim a medio et e sua quasi naturali sede discedendo, tum intendendo tum remittendo, spatia et interualla, dum ab unisono digreditur, conficere dicitur. Accedit praeterea, quod diapas[Omega]n formae, si Graecorum rationem respiciamus, suo et naturali ordine | [A58 in marg.] consequuntur. Id uero e Latinorum dispositione non itidem usu uenit. Quod nullo labore liquebit, cum in quibus consonantiis illarum unaquaeque distribui possit, ac e quibus quasi conflari, ostenderimus.

Verum ex his, quae diximus, illud etiam perspicuum est, e tribus scilicet diatessar[Omega]n formis primam solum stabilibus neruis contineri, ceterae uero mobilibus. Diapente autem quattuor sunt species, quarum in spissis prima [barupuknois] includitur, cui disiunctionis interuallum, a quo tetrachorda duo acutiora a grauioribus duobus dirimuntur, in quarto, si a grauiore initium sumas, spatio collocatur. Hanc hypate mes[Omega]n et E la mi atque paramese et [sqb] mi utrimque claudunt. Altera uero [mesopuknois] circumdatur. Huic sesquioctaua portio, quae, uti diximus, grauiora ab acutioribus tetrachordis disiungit, in secundo ab acutissimo interuallo locata est, atque a parhypate mes[Omega]n et F fa ut ac trite diezeugmen[Omega]n et c sol fa ut constringitur. Tertia est, quae [oxupuknois] continetur, cui disiunctionis spatium secundo a grauissimo interuallorum includitur. Hanc lichanos mes[Omega]n et g sol re ut atque paranete diezeugmen[Omega]n et d la sol re intra se obtinent. [-41-] Postrema sesquioctauam, quae tetrachorda separat, primo in loco habet atque grauissimo. Quare a mese et a la mi re, ac nete diezeugmen[Omega]n et e la mi illa complectitur, atque graui [apukno], acutaeque [barupukno] clauditur. Quattuor itidem eaedemque illae sunt in diatono, iisdemque chordis possidentur. E quibus omnibus duae tantum intra stabiles reperiuntur, prima scilicet et quarta, reliquae mobilibus cinguntur. At uero quemadmodum de diatessar[Omega]n formis, ita et de harum ordine inter Graecos Latinosque huius disciplinae magistros controuersia est, quam quidem ex eodem | [A59 in marg.] cum illa fonte fluxisse iure opinari possumus. Id namque plane accidit, quia Latini, quemadmodum in diatessar[Omega]n formis assignandis, ad grauiores sonitus descendendo a paramese et [sqb] mi, Graeci uero ad acutiores ascendendo ab hypate mes[Omega]n et E la mi illarum tradendarum ordinem suum exordiuntur. Quo sane fit, ut quae altera est Graecorum, quarta est apud Latinos; quae uero est apud illos quarta, secunda apud hos inuenitur. Qua in re nobis iterum Graecorum institutum sectari placuit, cum easdem ob causas, quas in diatessar[Omega]n formis explicandis memorauimus, tum quia Latinorum ratio in reliquis chordarum distributionibus, quas Ptolemaeus ac ceteri designarunt, praeter quam in ditoniaeo diatono, quod illi propositum fuerat, ne assequi quidem potuit. Quare neque uera eorum docendi uia fuit existimanda.

Fuisset enim illa perpetuo atque omnibus in generibus stabilis atque eadem, quae sane esse nullo pacto potest. Interuallum enim ac spatium omne, quo neruorum primus in diapente a quinto distet necesse est, uel maius (nam sesquialtera omnino ratio illa esse debuit) uel minus sit aliquando, hac ratione et uia consequitur, quod prorsus absurdum admodum est. Quamobrem illud potius libenter crediderim, ipsorum uerba mendis pluribus turpibusque superiorum temporum culpa conspersa, hanc illis notam quasi inussisse. Ea enim Boethii, uiri sane doctissimi, accurata docendi ratio ac diligentia est, ut ne suspicari quidem liceat, tam foede hac in re exponenda illum errasse [Institutio musica IV, 14]. Id namque peccatum non modo in Graecorum partitionibus necessario sequitur, sed in illis ipsis quoque suis enharmonii atque chromatici generis. Quod ex ipsius diagrammate | [A60 in marg.] ita patet, ut dubium id possit esse nemini. Cum enim litterarum ordine quattuor tetrachordorum chordas notasset, quorum grauiora duo ab acutioribus duobus sesquioctaua et toniaea ratio separaret, atque A hypatae hypat[Omega]n et B mi assignasset, ita reliquae necessario sunt consecutae, ut B parhypatae hypat[Omega]n et C fa ut obueniret, C lichano hypat[Omega]n et D sol re, D hypatae mes[Omega]n et E la mi, E parhypatae mes[Omega]n et F fa ut, F lichano mes[Omega]n et G sol re ut, G mesae et a la mi re, H paramesae et [sqb] mi, I tritae diezeugmen[Omega]n et c sol fa ut, K paranetae diezeugmen[Omega]n et d la sol re, L netae diezeugmen[Omega]n et e la mi, M tritae hyperbolae[Omega]n et f fa ut, N paranetae hyperbolae[Omega]n et g sol re ut, O netae hyperbolae[Omega]n et aa la mi re. Quibus ita perscriptis unam diapente speciem eam posuit, quae est H ad D, aliam uero ab eo, quod est G, ad C, aliam ab eo, quod est F, ad B, aliam autem, quae est E ad I. Quae quidem, si mendis non [-42-] carent, in enharmonio sane atque chromatico genere, uti diximus, uera omnino esse nullo pacto possunt. Id uero e numeris, quos ipse, ut rem totam exponeret, primos inuestigauit, aperte admodum perspicitur. Quorum diagramma id est.

[Mei, De modis, 42; text: Enharmonicum Chromaticum, 2304, O, nete hyperbolae[Omega]n et aa la mi re, 2916, 2736, N, paranete hyperbolae[Omega]n et g sol re ut, 2994, M, trite hyperbolae[Omega]n et f fa ut, 3072, L, nete diezeugmen[Omega]n et e la mi, 3888, 3648, K, paranete diezeugmen[Omega]n et d la sol re, 3992, I, trite diezeugmen[Omega]n et c sol fa ut, 4096, H, paramese et [sqb] mi, 4608, G, mese a la mi re | [A61 in marg.], 5832, 5472, F, lichanos mes[Omega]n et G sol re ut, 5988, E, parhypate mes[Omega]n et F fa ut, 6144, D, hypate mes[Omega]n et E la mi, 7776, 7296, C, lichanos hypat[Omega]n et D sol re, 7984, B, parhypate hypat[Omega]n et C fa ut, 8192, A, hypate hypat[Omega]n et B mi] [MEIMOD 10GF]

G igitur in enharmonio, quae est mese et a la mi re atque ex quattuor milibus sescentis et octo unitatibus efficitur, si cum C, quae est lichanos hypat[Omega]n et D sol re atque constat e septem milibus septingentis septuaginta et sex, comparare uoluerimus, multo maiorem, ac sesquialtera postulet ratio, hanc ipsam comperiemus. Nam e sex milibus nongentis ac duodecim illa perficitur. Quam igitur pro sesquialtera reciperemus, eam octingentis sexaginta et quattuor unitatibus sesquialteram superare certum est, quae sane ipsius C octauam conficiunt. Eodem quoque pacto et in chromatico maior illa necessario exsistit, quam est sesquialtera. Nam cum G eadem ipsa sit, ac est in enharmonio (mese enim et a la mi re e stabilium chordarum numero est) cumque eadem ex iisdem quattuor milibus sescentis et octo constet unitatibus, C uero e septem milibus ducentis nonaginta et sex efficiatur, trecentis octoginta et quattuor unitatibus, quae decima octaua sunt ipsius C, maiorem, ac sesquialtera sit ratio, illam esse necesse est. In ea uero specie, quae collocatur ab eo, quod est F, ad B, contra prorsus euenire, ac in superiori factum est, nemo non uidet. Spatium enim, quo superat minorem maior in enharmonio, multo minus est quam sesquialtera ratio. Nam cum F, quae est lichanos mes[Omega]n et G sol re ut, quinque milia octingentae triginta et duae conficiant unitates, B uero et parhypate | [A62 in marg.] hypat[Omega]n ac C fa ut septem milia nongentae octoginta et quattuor, minor sane haec est quam sesquialtera portio (octo milia enim septingentae quadraginta [-43-] et octo futurae illae fuerant) septingentis sexaginta et quattuor unitatibus, quas B ipsius undecimam longe superare, nec tamen explere decimam nemini dubium est. In chromatico praeterea minor quoque ac sesquialtera exigit ratio, illa exstitit. Nam cum F et lichanos mes[Omega]n ac G sol re ut sit e quinque milibus quadringentis ac septuaginta duabus, B uero ac parhypate hypat[Omega]n et c fa ut e septem milibus septingentis septuaginta et sex, quadringentae triginta et duae unitates deficiant, si sesquialtera illa esse debet, necessario consequitur. Quae, quia ex octo milibus ducentis et octo illa efficitur, decima nona ipsius B perspicue sunt. Quamobrem uel (quod iure, ni fallor, suspicari possumus) Boethii uerba mendis non carent, uel cum in ditoniaeo diatono eius tantum doctrinam ueram esse compertum habeamus, manca omnino illa est existimanda. Graecorum igitur, quod fecimus, descriptionem ac disciplinam potius probandam his de causis non iniuria esse censuimus.

Diapas[Omega]n autem formae septem illae quidem sunt. Totidem enim quoque uniuscuiusque speciei chordarum spatia exsistunt. Nam cum interualla, uti admonuimus superiore uolumine, uno minus semper sint ac termini, quibus ipsa includuntur, cumque octo sint chordae, quibus unaquaeque harum consonantiarum contineatur, septem illa sint quoque necessario sequitur. Prima itaque ea est, quam in primam diatessar[Omega]n et primam diapente simul coniunctas distribuere possumus, et quae ex istarum coitione conflatur. Hanc [barupuknoi] claudunt, ipsaque ab hypate hypat[Omega]n et B mi, atque a | [A63 in marg.] paramese et altera [sqb] mi continetur. Cuius media et quarta a grauissima (haec enim sane pro media in omnibus diapas[Omega]n formis accipi consueuit) est hypate mes[Omega]n et E la mi, et in cuius acutissimo spatiorum disiunctionis interuallum collocatur. Altera e secunda diatessar[Omega]n et e secunda diapente coniungitur, quam [mesopuknoi] complectuntur. Est enim inter parhypaten hypat[Omega]n et C fa ut atque triten diezeugmen[Omega]n et c sol fa ut. Huius media parhypate mes[Omega]n et F fa ut exsistit, cui quidem disiunctionis spatium in altero sane ab acutissimo interuallorum distribuitur. Tertia e tertiis diatessar[Omega]n et diapente constituitur, illamque [oxypuknoi] intra se constringunt, cum inter lichanon hypat[Omega]n et D sol re atque paraneten diezeugmen[Omega]n et d la sol re posita sit. Eius igitur media lichanos mes[Omega]n et G sol re ut sit necessario sequitur, atque sesquioctauam, quae tetrachorda disiungit, in tertio habeat ab acutissimo interuallo. Quarta e prima rursus diatessar[Omega]n et e quarta diapente conficitur, atque iterum [barupuknois] includitur. Nam intra hypaten mes[Omega]n et E la mi atque neten diezeugmen[Omega]n et alteram e la mi illa sane continetur. Eius uero media est, quae totius perfectae constitutionis et disdiapas[Omega]n uere media est, ac mese et a la mi re appellatur. Cuius medium quoque interuallum illud est, quod acutiora duo a grauioribus duobus tetrachordis dirimendo separat. Quintam [-44-] secunda diapente ac secunda diatessar[Omega]n efficiunt, eamque rursus utrimque [mesopuknoi] claudunt, cum parhypate mes[Omega]n et F fa ut ac trite hyperbolae[Omega]n et altera f fa ut illam quasi circumdando terminent. Ipsius uero media et quarta a grauissima est paramese, disiunctionisque | [A64 in marg.] interuallum in quinto ab acutissimo uel tertio a grauissimo illi locatum est. Sexta e tertiis diapente et diatessar[Omega]n conflata intra [oxupuknous] iterum continetur, terminaturque a lichano mes[Omega]n et G sol re ut atque paranete hyperbolae[Omega]n et altera g sol re ut. Mediaque illius est trite diezeugmen[Omega]n et c sol fa ut, habetque spatium et sesquioctauam, qua tetrachorda disiunguntur, in sexto ab acutissimo, siue in altero a grauissimo. Septima demum e quarta constat diapente et prima diatessar[Omega]n, quae a mese et a la mi re atque nete hyperbolae[Omega]n et aa la mi re concluditur, [apuknois]que determinatur. Huius media est paranete diezeugmen[Omega]n et d la sol re, cui disiunctionis spatium in septimo ab acutissimo, siue primo a grauissimo interuallorum positum est. Non tamen sumus nescii, postremas has duas diapas[Omega]n formas in ditoniaeo sane diatono alia ratione et uia distribui ac distingui posse. Verum si aliam distributionem probes, ac ea est, quam assignauimus, omnibus illa quidem generibus minime quadrabit. Nam fac sextam diapas[Omega]n speciem e secunda diatessar[Omega]n et e tertia diapente confici, septimam uero e tertia diatessar[Omega]n et e quarta diapente. In ditoniaeo sane illae quidem tollerari possunt, at in enharmonio et chromatico ceterisque diatoni formis quinam tandem istud uerum exsistet? Quamobrem haec quidem non recta, illa uero, quam secuti sumus, doctrinae ratio uera est omnino existimanda. Quae cum uera est, tum perpetuo etiam omnibus in generibus eadem exsistit. Idque profecto ea praesertim de causa euenisse consentaneum est, quia, quam probauimus, non ex accidenti, sed re ipsa et suapte natura eiusmodi sit necesse est.

Harum uero omnium | [A65 in marg.] diapas[Omega]n formarum tres tantum intra stabiles clauduntur, prima scilicet quartaque et septima. Quo igitur melius omnes consonantiarum species intellegantur, non incommodum, arbitror, erit, si ipsarum omnium in unoquoque genere, cum Aristoxeneae tum Ptolemaicae et Latinorum distributionis diagramma huic descriptioni adiunxero. Id uero est eiusmodi.

[-45-] [Mei, De modis, 45; text: nete hyperbolae[Omega]n apycnos, paranete hyperbolae[Omega]n oxypycnos, trite hyperbolae[Omega]n mesopycnos, nete diezeugmen[Omega]n barypycnos, paranete diezeugmen[Omega]n oxypycnos, trite diezeugmen[Omega]n mesopycnos, paramese barypycnos, mese apycnos, lichanos mes[Omega]n oxypycnos, parhypate mes[Omega]n mesopycnos, hypate mes[Omega]n barypycnos, lichanos hypat[Omega]n oxypycnos, parhypate hypat[Omega]n mesopycnos, hypate hypat[Omega]n barypycnos, Diuisionis ac distributionis, Aristoxeneae, tertia diatessar[Omega]n, secunda diatessar[Omega]n, prima diatessar[Omega]n, quarta diapente, tertia diapente, secunda diapente, prima diapente, diatoni intenti, diatoni mollis, chromatis toniaei, chromatis hemiolii, chromatis mollis, enharmonii generis, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 44, 48] [MEIMOD 11GF]

[-46-] [Mei, De modis, 46; text: Diatessar[Omega]n ac diapente formarum diagramma, Ptolemaicae, ditoniaei diatoni, [homalou] et aequalis diatoni, intenti diatoni, toniaei diatoni, mollis diatoni, intenti chromatis, mollis chromatis, enharmonii generis, lemma, 1/2, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11, 1/14, 1/15, 1/20, 1/21, 1/23, 1/27, 1/45, quarta diapente, tertia diapente, secunda diapente, prima diapente, latinorum, diatonici, chromatici, O aa la mi re, N g sol re ut, M f fa ut, L e la mi, K d la sol re, I c sol fa ut, H [sqb] mi, G a la mi re, F G sol re ut, E F fa ut, D E la mi, C D sol re, B C fa ut, A B mi, Tonus] [MEIMOD 11GF]

[-47-] [A66 in marg.] [Mei, De modis, 47; text: nete hyperbolae[Omega]n apycnos, paranete hyperbolae[Omega]n oxypycnos, trite hyperbolae[Omega]n mesopycnos, nete diezeugmen[Omega]n barypycnos, paranete diezeugmen[Omega]n oxypycnos, trite diezeugmen[Omega]n mesopycnos, paramese barypycnos, mese apycnos, lichanos mes[Omega]n oxypycnos, parhypate mes[Omega]n mesopycnos, hypate mes[Omega]n barypycnos, lichanos hypat[Omega]n oxypycnos, parhypate hypat[Omega]n mesopycnos, hypate hypat[Omega]n barypycnos,Diapas[Omega]n formarum diagramma, Aristoxenea, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 44, 48, g, f, e, d, c, b, a, septima, sexta, quinta, quarta, tertia, secunda, prima diapas[Omega]n species] [MEIMOD 12GF]

[-48-] [Mei, De modis, 48; text: Ptolemaica, 1/2, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11, 1/14, 1/15, 1/20, 1/21, 1/23, 1/27, 1/45, lemma, septima, sexta, quinta, quarta, tertia, secunda, prima diapas[Omega]n species, latinorum diuisio, O aa la mi re, N g sol re ut, M f fa ut, L e la mi, K d la sol re, I c sol fa ut, H [sqb] mi, G a la mi re, F G sol re ut, E F fa ut, D E la mi, C D sol re, B C fa ut, A B mi, Tonus] [MEIMOD 12GF]

[-49-] Quae, quia sane ita se habere perspicuum est, latet, opinor, neminem, quod et superius affirmauimus, Graecorum ordinem de consonantiarum formis tradendis potiorem et quodammodo, ut ita dicam, naturaliorem iure uideri. Hac enim ratione primam diapas[Omega]n formam e primis, quod prorsus est consentaneum, diatessar[Omega]n et diapente formis exortam uidemus. Itidem secundam et tertiam, e secundis et tertiis. Reliquae uero eam proportionem custodiunt, quam hac in re ut custodirent, | [A67 in marg.] opus fuisse aperte perspicitur ac omnino necesse fuit. Id uero propterea accidisse certum est, quia in diapente ac in diapas[Omega]n formis interuallum illud, quod iam milies tetrachorda disiungere monstrauimus, propria uniuscuiusque illarum quasi nota exstitit. Illius enim collocatione istarum unaquaeque species quasi digito commonstratur. Hoc uero ita fit, quia in perfecta constitutione illud idem semper est et omnibus in generibus, cuiuscumque ipsa sint partitionis ac distributionis.

Verum quoniam haec omnia satis, opinor, enodauimus, ad quaestionem illam explicandam, quam de modis musicis proposuimus, nobis quidem est redeundum. His enim fundamentis quasi iactis, quae necessaria plane omnino fuerunt, commodissime, ni fallor, quae restant, percipi poterunt. Sunt igitur [tonoi] uel [tropoi], quos cum tonos tum modos Latini appellare consueuerunt, uocis, quemadmodum initio docuimus, certi quasi loci in tota eiusmodi constitutione chordarum, quam explicauimus. [Tonoi] quidem sunt appellati ab intentione, qua intentior a sibi proximo et remissiore differre haud dubie cognoscebatur. [Tropoi] uero a mutatione nimirum, qua in unoquoque uocem aut intendi aut remitti aures sentiendo diiudicabant. De quorum distinctione ac numero apud ueteres non unam atque eandem sententiam fuisse comperio, a quibus nostri sane, quod paulo post liquebit, non parum quoque dissentire certum est.

Veterum enim Aristoxenum, nobilem illum huius disciplinae atque artis magistrum, tredecim esse modos uoluisse proditum est. Scripta enim ipsius ea in parte, in qua modorum numerum ac rationem exposuerat, temporum iniuria, | [A68 in marg.] manca sane atque imperfecta ad nos peruenerunt. Bryennii uero, diligentissimi quidem uiri, testimonio [389M], atque Aristidae Quintiliani [I, 10, p. 23M] de numero certiores facti sumus. At uiam rationemque, quibus istos singulos a reliquis ille differre cogitauit, e Ptolemaei [Harmonica I, 11] sane atque istorum aliorumque disputationibus perspicue licet cognoscere. Eius enim opinionis fuisse Aristoxenum ostenderunt, ut modorum unusquisque ab altero sibi proximo eo tantum discrimine differret, quoniam tota chordarum constitutio uel intentior uel remissior, quam fuerat, hemitonio facta esset. Eorum igitur ordinem ac nomina ipse ita instituit, ut qui omnium grauissimus constitueretur, hypodorius appellaretur. Quo quidem esset hemitonio intentior hypoiastius, quem et grauiorem hypophrygium quandoque uocitatum comperimus. Hypoiastio uero itidem hemitonio hypophrygius. Hunc eadem acuminis portione hypoaeolius uel grauior hypolydius (ita enim ueteres eum quoque nominarunt) superaret. Quo itidem sane acutior esset hypolydius. Dorius deinceps eius ordinem secutus est. Post iastius, qui idem erat cum grauiore phrygio. Deinde phrygius, quem consecutus est aeolius ac grauior [-50-] lydius, hunc lydius. Lydium grauior mixolydius et hyperdorius, quem acutior mixolydius ac hyperiastius. Postremus uero hypermixolydius, qui idem et hyperphrygius atque idem omnium modorum acutissimus Aristoxeni numerum terminauit.

Qui uero ipsum auctorem nouissime probarunt, hyperaeolium atque hyperlydium eodem acuminis interuallo alterum atque hinc reliquos superantem de suo adiecerunt, eo nimirum consilio, ut tertiam quasi ipsorum classem explerent. Qua quidem additione id efficeretur, ut grauis | [A69 in marg.] et acuta atque acutissima pari numero perficerentur. Quod diagramma ipsum indicat.

[-51-] [Mei, De modis, 51; text: Aristoxeni modorum ordo ac nomina. hypodorius omnium grauissimus, hypoiastius ac grauior hypophrygius, hypophrygius acutior, hypoaeolius ac grauior hypolydius, hypolydius acutior, dorius, iastius ac grauior phrygius, phrygius acutior, aeolius ac grauior lydius, lydius acutior, hyperdorius ac mixolydius, hyperiastius ac grauior hypermixolydius, hyperphrygius ac hypermixolydius acutior, adiecti duo, hyperaeolius, hyperlydius omnium acutissimus, hemitonium, grauium classis, mediorum classis, acutorum classis] [MEIMOD 13GF]

[-52-] Hypodorii igitur modorum omnium grauissimi constitutio ab ea, quae acutioris hypermixolydii futura erat, apud Aristoxenum integrae diapas[Omega]n acumine uincebatur. Is enim, quod iam exposuimus, et sesquioctauam rationem ac toniaeam in duas aequas scindi posse non dubitauit, et utrasque hemitonii nomine appellauit. Qui etiam ea de causa et diatessar[Omega]n sane consonantiam e quinque hemitoniis, diapente uero e septem, diapas[Omega]n postremo e duodecim constare existimauit. Quam uero id recte, nihil ad nos. Quae uero aduersus illum dicta sint, nec non quae pro illo dici possent, meliorem nacti occasionem fortasse non omittemus. | [A70 in marg.] Eorum autem consilium, qui duos reliquos excogitarunt, ut tertiam, quemadmodum diximus, nominum classem explerent, quam sit probandum, illi uiderint, qui nullam praeter nominum tantum rationem sui facti possint causam afferre? Nam quae Aristoxeni causam iuuare possent, cur, cum hemitonio alterum ab altero sibi proximo modorum differre uoluit, tredecim constituerit, horum sententiam nullo pacto tueri possunt. Ille enim cum acutissimus a grauissimo integrae diapas[Omega]n distantia differre est arbitratus, probabili sane argumento suam causam substinere ac defendere potuit. Nam est illa quidem cum omnium consonantiarum, ut ita dicam, absolutissima, tum sane certus earundem omnium terminus. Quae enim ipsam consequuntur, uel eiusmodi quodammodo se cum sunt uis ac naturae, uel cum earum aliqua, quas illa intra suos fines continet. Quamobrem non fuit istud Aristoxeni consilium omnino contemnendum, quod tametsi non admodum omnes probarunt, non tamen, quod apparebit, prorsus contemptum fuit ac repudiatum. Ptolemaeus enim, qui huic ipsi Aristoxeno plurima obiecit atque illius totam docendi rationem conuellit, hac in re de uia ac ratione potius, quibus id effectum est, quam de re ipsa certasse uideri potest [Harmonica I, 10]. Nam cum septem, uti docebimus, tantum esse modos ipse contenderit, qui tamen octauum excogitassent, quo acutissimus a grauissimo integra diapas[Omega]n consonantia distaret, non necessario potius et non sua ratione ac uia id consecutos, quam non recte, ostendere conatus est.

Quod uero Aristoxenus modum hemitonio acutiorem uel remissiorem a sibi proximo constituendum arbitratus est, ea nimirum causa fuit, quod ipse modorum uim grauitate | [A71 in marg.] atque acumine praecipue diiudicandam esse censeret. Quamobrem tot eos constituendos cogitauit, quot uocis interualla, quae tamen audiendo aures minime quasi fallerent, ex integra diapas[Omega]n accipi possunt. Hoc uero commode praestare interuallum illud posse potissimum sperauit, quo maximo in quouis harmoniae genere grauem in unoquoque tetrachordo a grauissima chordarum distare ipse constituerat. Itaque cum modos aeque alterum a sibi proximo acumine uel grauitate, uel uinci uel ipsum uincere consentaneum existimaret, quo ad integram diapas[Omega]n intendendo perueniret, qui terminus idem fere est ac decem in numeris, tredecim sane illos efficere coactus est.

Qui uero duos extremos, ut quindecim usque eos perducerent, addiderunt, cur id fecerint, nullam uidentur rationem satis comminisci posse, qua suum factum probent. Nam quam forte unam afferrent, ea sane ridicula admodum est, quo nominum scilicet classem explerent, atque ideo quinque illa ter singula repeterentur, haberentque eorum singula hac uia se acutiora atque [-53-] grauiora. Cur enim eos uiginti usque non perduxerunt, quo quater ipsa eadem repeterent, haberentque singula grauia, media, acuta, atque acutissima, uel quot usque uocem intendi remittique, intendendi ac remittendi naturalis ipsa uocis uis omnino pateretur? Nam quod grauissimis sane quinque [to hupo] additum est, ut a media quasi regione in grauiorem declinasse, acutissimis uero [to huper] ut ad acutiorem eos quasi accessisse significarent, necessitatem plane nullam affert, cur centum usque illos perduxisse non potuerint. Excogitassent enim uel nomina uel additiones, quibus | [A72 in marg.] quot uoluissent eiusmodi discrimina notassent. Sed nimirum id eos induxit, quod non sua ui modos naturam determinasse crederent, sed artificum arbitrio illud prorsus factitatum suspicarentur. Quamobrem ne ipsi quoque de suo quicquam addere nequiuisse existimarentur, quoduis potius temptare maluerunt, quam timidos uideri. Quasi Aristoxenum parum ea in re uidisse uellent, atque eius inscitiam corrigere. Correctores nempe dum quam putant, alienam corrigunt, suam ipsi penitus prodiderunt. Horum opinionem apud Latinos secutus apparet Martianus ille Capella in octauo Philologiae suae nuptiarum [sec. 935], qui et si, ni fallor, Boethium auctorem celeberrimum haberet, cuius auctoritati si paruisset, omnem ille culpam euitasset, temporum tamen, in quae incidit, opinor, uitio auctorem illum deseruit, ueritus aequalium reprehensionem. Verum ea illius uiri eruditio est ac disciplina, ut cum illo errare haud ita turpe sit ac flagitiosum, ut se non licuerit apud ceteros excusare, praesertim quae Martiani ipsius ex suis scriptis doctrina fuisse apparet, quae doctorem Boethium non debuisset aspernari.

Sed ego ad rem redeo. Hanc sane de modis musicis sententiam, quae, uti diximus, fuit Aristoxeni, uiri ac philosophi celeberrimi, non probauit Ptolemaeus, eamque in secundo Harmonic[Omega]n labefactare in primis ac funditus euertere conatus est [II, 9]. Docuit enim primum, qui eam tueri uelit, nullam afferre posse causam, qua sane persuaderet, aequalem hunc et perpetuum modorum excessum, quo alterum ab altero superari instituisset, consentaneum esse, praesertim cum in harmonia inutilis omnino atque auribus minime accommodus eiusmodi aequalitatis incessus haud dubie intellegatur. Quod ab ipso quoque | [A73 in marg.] antea in eiusdem Aristoxeni diuisione tetrachordorum reprehendenda proditum fuerat. Non enim ex aequo, sed pro ratione alterum ab altero sibi proximo distare sonitus, plane monstrauerat. Deinde, quamobrem modos hemitonii potius interuallo quam toniaeo aut diesis spatio singulos a sibi proximis distare constituerit, causa nulla satis apparet; ad quam, cum id ipse tamquam axioma receperit, pro cuiusuis eorum interuallorum multitudine, a quibus integrae diapas[Omega]n spatium conficiatur, modorum numerum terminari debere, fuerit illi quasi necessario concludendum. Cur enim quis hemitonio potius quam toniaeo interuallo aut diesi hunc, uel remissiorem uel acutiorem quam sibi proximum constituendum censeat? Consonantia enim diapas[Omega]n apud Aristoxenum et has omnes, quas diximus, diuisiones recipit, aliasque complures, non modo in suis harmoniae generum partitionibus, quod exposuimus, sed etiam in interstitiorum ordinibus. Nam quod illius forte causam, si modo uerum esset, aliquo pacto subleuaret, eius ope niti iam Aristoxeno amplius non est integrum, quod scilicet hemitonii magnitudo, diuidendo, cum diapas[Omega]n consonantia ad punctum conueniat, toniaei uero spatium aut diesis (enharmoniane illa fuerit an sesquitertia, [-54-] parum refert) non itidem, uel illa in parem partium numerum, hae autem in imparem eandem ipsam distribuant. Apud Aristoxenum enim tam portio toniaea, quam hemitonium, et diesis uel sesquitertia uel enharmonia, diuidendo, cum diapas[Omega]n ad punctum conuenit, atque in parem partium numerum eam consonantiam dissecat. Nam si toniaea apud ipsum in sex, et hemitonium in duodecim, ac sesquitertia diesis in decem et octo, atque enharmonia in uiginti et quattuor; quorum sane interuallorum omnium magnitudo uel facile, | [A74 in marg.] si quis animum intendat, auribus percipitur. Nulla igitur causa potest afferri, quae satis eiusmodi sententiam comprobet. Nam quam pro Aristoxeno superius excogitatam attulimus, cum eorum opinionem refutaremus, qui eius modorum numerum inepte sane nec necessario auxerunt, nulla sui ui ad hoc confirmandum, nisi propria utrorumque ex hypothesi, nititur. Cur enim maximum potius ex interuallis, quae grauissimum locum in tetrachordis obtinent, acceptum est, quam ex iis minimum, quae acutissimum in eisdem possident?

His igitur rationibus Aristoxeni de modis sententiam Ptolemaeus refutauit, illamque omnino sibi reiciendam constituit. Quamobrem eorum potius opinioni adhaesit, qui octo ipsos esse debere affirmauerant, quamquam eorum rationes in istis constituendis fluxas admodum, ac parum ad hoc probandum idoneas existimauerit. Probauit itaque ipsorum consilium, quod iustis magnitudinibus nec non commodis alterum a sibi proximo differre iudicarunt. De uia uero ac ratione, quibus id constituerunt, ac de numero cum illis parum quidem conuenit. Illi sane quia grauissimum ab acutissimo integrae diapas[Omega]n spatio abesse omnino uoluissent, ipsorum numerum octo usque perduxerunt. Quod nec Ptolemaeus plane improbasset, modo ne res ipsa eorum instituto aperte refragaretur.

Trium igitur, qui antiquissimi ac primi in usu fuerunt, dorius scilicet phrygiusque ac lydius, toniaeo interuallo et sesquioctaua portione, qua uidelicet magnitudine diatessar[Omega]n consonantiam a diapente superari uiderent, et quam tonum uocitari passim, etiam a ueteribus, (nam apud nostros alio illa nomine ne intellegitur quidem) non est dubium, unumquemque sibi proximo | [A75 in marg.] uel acutiorem uel remissiorem constituerunt. Quasi ea fortasse de causa modos a ueteribus TONOS appellatos fuisse uoluerint. Horum dorio, qui apud ipsos exstitit omnium grauissimus, sesquioctaua ac toni spatio fuit phrygius acutior. Hoc uero eadem interualli portione intentior lydius. Ditono igitur grauior fuit dorius quam lydius. Quibus, ut acutissimus a grauissimo integrae diatessar[Omega]n spatio abesset, quartus est adiectus, qui lemmatis, et quod reliquum fuit de tota diatessar[Omega]n, spatio esset lydio acutior; quem, cum propius a lydio abesset, quam ceteri a sibi proximis (hic enim lemmate a lydio, ceteri uero tono a ceteris distabant) quia quasi ea de causa lydio esset admixtus, mixolydium appellauere. Tres praeterea his omnibus remissiores additi fuere. Quorum grauissimus integrae rursus diatessar[Omega]n spatio a dorio seiunctus, hypodorius dictus est, qui uero a phrygio eodem diatessar[Omega]n interuallo abesset, atque hypodorio toni spatio esset intentior, [-55-] hypophrygium nominarunt. At qui a lydio distaret eodem diatessar[Omega]n interstitio, hypodorioque ditono, et hypophrygio esset tono acutior, hypolydii nomen est consecutus. Quo factum necessario est, ut inter hypolydium et dorium lemma intercederet. Nam si quis ditonum de diatessar[Omega]n adimat, lemma sit, quod relinquitur, omnino necesse est. Hac sane trium adiectione illud quoque est effectum, ut dorius phrygius ac lydius, qui principes sunt habiti, tres itidem haberent quasi subditos. Quorum singuli a suis primis diatessar[Omega]n interuallo essent remissiores, quos plagios et obliquos, quippe qui nimirum a suorum principum forma quasi discesserint, a ueteribus saepe uocitatos comperimus. Praepostero enim ordine horum diapas[Omega]n in suas consonantiarum species dissecantur. | [A76 in marg.] Nam plagii, quam sui principes diatessar[Omega]n primo loco habent, secundo admittunt. Contra uero diapente, quae posterior est in illis, in his priore loco inuenitur. Ex quo, ni fallor, postremis temporibus ea modorum inuecta est diuisio, authentarum scilicet ac plagiorum, quam nostri quoque ab iis acceptam adhuc retinent. Septem igitur horum modorum interualla, quibus acutissimus distat a grauissimo, quae sex tantum numero sunt, integram diapas[Omega]n minime explere neminem, opinor, latet. Duae namque diatessar[Omega]n minus spatium occupant ac ipsa diapas[Omega]n. Portio enim illa deficit, qua maior est diapente quam diatessar[Omega]n consonantia, cum diapas[Omega]n e diatessar[Omega]n ac diapente simul iunctis exoriri et quasi conflari certum sit. Ea uero sesquioctaua est ac toniaea. Quo itaque modorum acutissimus a grauissimo integra diapas[Omega]n abesset, octauum quendam ueteres excogitarunt, qui mixolydio esset tono acutior; quem a positu, quod super mixolydium illum collocassent, hypermixolydium appellarunt. Cuius additione ilico id est factum, quod animo conceperant, ut scilicet inter modorum acutissimum ac grauissimum integrae diapas[Omega]n spatium includeretur. Quod et aperte diagramma ipsum indicat.

[Mei, De modis, 55; text: hypermixolydius modorum omnium acutissimus, mixolydius, lydius, phrygius, dorius, hypolydius, hypophrygius, hypodorius, lemma, diatessar[Omega]n, diapente, diapas[Omega]n, tonus] [MEIMOD 14GF]

[-56-] Huic de modis sententiae aduersatus est Ptolemaeus, non quia eorum consilium, uti diximus, de magnitudinibus, quibus alterum a sibi proximo differre iudicarunt, non | [A77 in marg.] probaret, sed primum quoniam quod effecerunt, non ea ratione ac uia, qua debuerunt, id consecuti sunt. Alia enim efficaciori certiorique id praestare aequum fuit. Deinde quoniam octauus, quem adiecerunt, frustra quidem omnino sit excogitatus ac plane superfluus. Nam quod ad rationem ac uiam attinet, non sane a spatiis sonituum, qui sint ad canendum accommodi et [emmeleis], consonantiae accipi et quasi conflari debent; quod quidem fit, cum tono tonus additur, atque huic praeterea hemitonium, atque ita postea ab extremis diatessar[Omega]n exoritur. Sed contra prorsus a consonantiis illa sunt accipienda, quia consonantiae multo facilius accipiuntur, suntque potiora ad principem locum obtinendum, cum aliis in omnibus, tum in mutationibus. Quod quidem, qua conueniret, tum fieret, si tonorum acutissimum e septem A constituemus. Ab hoc uero primum diatessar[Omega]n remittendo B instituatur. Deinde cum alteram diatessar[Omega]n remiserimus, C, eundemque omnium grauissimum eo tum loci collocemus. A quo cum diapente intenderimus, illic D locum assignabimus, atque ab hoc diatessar[Omega]n rursus remittendo E locabimus. Ab eo autem diapente intendendo F, postremo cum ab hoc itidem diatessar[Omega]n remiserimus, G constituemus. Quod si diapente intenderimus ab eo, qui est B, quamquam superfluum, uti docebimus, hunc fore manifesto peruincatur, ratione tamen ac uia, qua decet, H modorumque octauo locum ostendemus; eritque

[Mei, De modis, 56; text: H octauus ac hypermixolydius, A mixolydius e septem acutissimus, F lydius, D phrygius, B dorius, G hypolydius, E hypophrygius, C hypodorius omnium grauissimus, [leimma], lemma, tonus, diatessar[Omega]n, diapente, diapas[Omega]n] [MEIMOD 14GF]

[A78 in marg.] Nam quia CB diatessar[Omega]n spatio dirimuntur, CD uero diapente, toni sane interuallo BD necessario distent oportet, quoniam toni portione diatessar[Omega]n a diapente superatur. Praeterea quia DE diatessar[Omega]n, DC uero diapente interstitio segregantur, toni spatium inter EC collocetur [-57-] necesse est. Rursus quia GF diatessar[Omega]n distant, atque EF diapente, EG tonus intercedat necessario sequitur. Est enim spatium, quo maior est illarum altera. At uero cum ED diatessar[Omega]n, atque EF diapente interuallo disiungantur, toni rursus spatium absque dubio inter DF collocari dicendum est. Sed quia AB ac BC diatessar[Omega]n spatio absunt, BF uero atque CG ditono inter se distent, lemma et quod de tota diatessar[Omega]n relinquitur, FA et GB disiungat profecto necessario consequitur, quod sane spatium hemitonium appellare uulgo consueuerunt. Postremo quia BA diatessar[Omega]n, BH uero diapente differunt, AH toni spatio disseparentur necesse est. Verum quia CB diatess