THESAURUS MUSICARUM LATINARUM
School of Music
Indiana University
Bloomington, IN 47405
(phone: [812] 855-5471; Internet: mathiese@indiana.edu)

Data entry: Stephen E. Hayes
Checked by: Peter M. Lefferts and Angela Mariani
Approved by: Thomas J. Mathiesen

Fn and Ft: TINPROM TEXT
Author: Tinctoris, Johannes
Title: Proportionale musices
Source: Johannis Tinctoris Opera theoretica, ed. Albert Seay, 3 vols. in 2, Corpus scriptorum de musica, vol. 22 ([Rome]: American Institute of Musicology, 1975-78), 2a:9-60. Used by permission.
Graphics: TINPROM 01GF-TINPROM 27GF

[-9-] Proportionale musices editum a magistro Joanne Tinctoris in legibus licentiato serenissimoque principis Ferdinandi regis Siciliae, Jherusalem et Ungariae capellam feliciter incipit prohemium.

Prologus

Sacratissimo ac invictissimo principi divo Ferdinando, regis regum dominique dominantium providentia regi Siciliae, Jherusalem et Ungariae, Johannes Tinctoris, inter musicae professores suosque capellanos minimus pedum osculotenus humilem atque servilem obedientiam.

Quamquam, o sapientissime rex, a tempore prothomusici Jubalis, cui Moyses tantum tribuit, ut eum in Genesi patrem canentium organis et cithara dixerit, plerique viri percelebres velut David, Ptolomeus, Epaminondas, principes Judeae, Egypti et Graeciae, Zoroastres, Pythagoras, Linus, Thebeus, Zethus, Amphion, Orpheus, Museus, Socrates, Plato, Aristoteles, Aristoxenus, Timotheus, ingenuae arti musicae operam a Deo dederunt, quod teste Tullio paene vim omnem ac materiam eius infinitam cogitatione comprehenderint, quo nonnullos eorum, praecipue Pythagoram musicae primordia invenisse multi Graecorum voluerunt. Tamen qualiter pronunciaverint aut composuerint scripto nobis minime constat, verum elegantissime id eos fecisse verisimilimum est. Summam etenim in hac scientia, quam Plato vocat potentissimam, eruditionem ponebant, itaque eam omnes antiquitiis discebant, nec qui nesciebat satis excultus doctrina putabatur.

Et quanta precor illa fuit melodia virtute cuius dii, manes, spiritus immundi, animalia etiam rationis expertia et inanimata moti fuisse leguntur. Quod, tametsi partim fabulosum sit, non vacat a mysterio, nempe talia de musica poetae non finxissent nisi mirandam eius virtutem, divino quodam animi vigore percepissent.

[-10-] At qui postquam plenitudo temporis advenit, quo summus ille musicus Jesus Christus, pax nostra, sub proportione dupla fecit utraque unum in eius ecclesia miri floruere musici, ut Gregorius, Ambrosius, Augustinus, Hilarius, Boethius, Martianus, Guido, Johannes de Muris, quorum alii usum in ipsa salutari ecclesia canendi statuerunt, alii ad hoc hymnos canticaque numerosa convecerunt, alii divinitatem, alii theoricam, alii practicam huius artis, iam vulgo dispersis codicibus posteris reliquerunt. Denique principes Christianissimi quorum omnium, rex piissime, animi, corporis fortunaeque donis longe primus es, cultum ampliare divinum cupientes more Davidico capellas instituerunt in quibus diversos cantores per quos diversis vocibus, non adversis, Deo nostro iocunda decoraque esset laudatio, ingentibus expensis assumpserunt. Et quoniam cantores principum si liberalitate, quae claros homines facit praedicti sint, honore, gloria, divitiis afficiuntur, ad hoc genus studii ferventissime multi incenduntur. Quo fit ut hac tempestate facultas nostrae musices tam mirabile susceperit incrementum quod ars nova esse videatur, cuius, ut ita dicam, novae artis fons et origo apud Anglicos quorum caput Dunstaple exstitit, fuisse perhibetur, et huic contemporanei fuerunt in Gallia Dufay et Binchois, quibus immediate successerunt moderni Okeghem, Busnois, Regis et Caron, omnium quos audiverim in compositione praestantissimi. Haec eis Anglici nunc, licet vulgariter iubilare, Gallici vero cantare dicantur, veniunt conferendi, illi etenim in dies novos cantus novissimae inveniunt, ac isti, quod miserrimi signum est ingenii, una semper et eadem compositione utuntur.

Sed proch dolor! Non solum eos immo complures alios compositores famosos quo miror dum tam subtiliter ac ingeniose tum incomprehensibili suavitate componunt, proportiones musicas aut penitus ignorare aut paucas quas noverint perperam signare cognovi. Quodquidem ob defectum arithmeticae, sine qua nullus in ipsa [-11-] musica praeclarus evadit, contingere non dubito. Ex eius namque visceribus omnis proportio elicitur.

Igitur ne iuvenes hanc artem musicam liberalem ac honestam discere volentes in proportionibus ipsis ignorantia et errore huiusmodi capiantur, ad Dei laudem ex cuius munere sunt, et ad tuae maiestatis sacratissimae splendorem qui prae caeteris principibus hiis pietate afficeris, tandemque ad honorem tuae proportionatissimae capellae, cui similem in orbe non faciliter esse crediderim, hoc opusculum quod Proportionale Musices per quandam rei consonantiam censeo nominandum pro modulo ingenii facillime aggredior. In quo si pluribus et fere omnibus famosissimis compositoribus refragari ausim, haud arrogantiae deprecor ascribatur. Non enim mea plusquam aliorum scripta necessario observari iubeo, sed veritati militans quae respectu proportionum apud illos recta vel prava invenio, approbo vel reprobo. Quod si traditionem hanc meam legentibus iuste videar agere, hortor mihi fidem adhibeant. Si vero inique aliis potius credant, quia sicut alios refellere ita ab aliis refelli paratus sum.

[-12-] Incipit liber primus.

Capitulum I--Diffinitio proportionis.

Proportio est duorum terminorum ad invicem habitudo.

Haec autem diffinitio generalis est cuiusque proportionis, sive arithmeticae, sive musicae, sive geometricae; verum ut specificetur proportioni musicae dicas duorum terminorum, scilicet, corporum musicalium quae sunt notae vocum significativae.

Capitulum II--Qualiter et quot modis proportiones fiant.

Fit igitur ista proportionalis habitudo vel canendo vel componendo quotiens unus notarum numerus ad alium refertur. Quodquidem dupliciter contingit, vel quando notas sequentes ad praecedentes in una et eadem parte cantus immediate referimus, ut hic patet:

[CSM22/2a:12; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 01GF]

[-13-] Vel quando notae unius partis ad notas alterius contra quas componuntur directe referuntur, ut hic patet:

[CSM22/2a:13; text: Discantus.] [TINPROM 01GF]

Verum quom duplex velut praemissum est sit proportionandi modus, utrum proportiones alicuius proferendi cantus primo modo, id est, per relationem ad numerum praecedentem in una et eadem parte; aut secundo, id est, per relationem ad notas alterius partis secundum signa editae sint, a nullo cantore nisi divinando aut contrapunctum perspiciendo cognoscitur. Quo fit ut dilatio dubietasque canendi generentur, quae tamen praecipue sunt evitandae. Namque composita dum in medium afferuntur illico sine aliqua dubitatione pronuntiari debent. Unde consulerem simplicem tamen assumi modum, videlicet quod secundum relationem ad alteram partem proportiones signarentur, nisi obstaret altero modo, scilicet per relationem ad numerum praecedentem in una et eadem parte multas proportiones esse cantabiles quae alias non essent.

Capitulum III--Divisio proportionum.

Proportionum vero aliae sunt aequalitatis, aliae inaequalitatis.

Proportiones aequalitatis sunt quae ex aequalibus numeris conficiuntur, ut 1 ad 1, 2 ad 2, 3 ad 3, 4 ad 4, etc. Et huiusmodi [-14-] proportionum aequalitatis species specialissimae sunt, nec nomina in eloquutione specifica nec signa in compositione positiva recipientes, nempe cum in aliquo cantu nullum inaequalitatis signum videmus, eum per aequales numeros compositum esse iudicamus, ut hic patet:

[CSM22/2a:14,1; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 02GF]

Ex quo confunditur inexcusabilis error Okeghem, qui suum carmen bucolicum L'autre dantan ab omni parte numeris aequalibus compositum nedum signo proportionis, sed illo qui a quibusdam triplae, ab aliis sesquialterae per se et male attribuitur signavit, ut patet in praesenti exemplo:

[CSM22/2a:14,2; text: Supremum, Tenor, Contratenor] [TINPROM 02GF]

Eodem autem signo Dufay suum "Qui cum patre" in "Patrem" de Sancto Anthonio per duplam sesquiquartam proportionatum signare voluit, quo fit ut si ille bene, iste male signavit; diversae enim proportiones diversa signa requirunt. Sed sicut illum hic ita istum suo loco male signasse probabo, dum vero carmen praemissum, scilicet L'autre dantan aut aliud similiter signatum habent imperiti dicunt repente canamus sesquialtera est. O puerilis ignorantia aequalitatis [-15-] proportionem inaequalitatis asserere! Nec existimo compositorem, quamvis ita secundum aliquos signaverit, ita dici voluisse, sed ut carmen suum concitae instar sesquialterae cantaretur. Ad quod efficiendum virugla per medium circuli cuiusque partis traducta sufficiebat. Nam proprium est ei mensurae accelerationem significare sive tempus perfectum sive imperfectum sit, ut in infinitis etiam suis compositionibus apparet, cuius in utroque forma talis est: [Odim,Cdim].

Capitulum IV--De proportionibus inaequalitatis.

Proportiones inaequalitatis sunt quae ex inaequalibus numeris constituuntur ut 2 ad 1, 3 ad 2, 4 ad 3, etc., et huiusmodi inaequalitatis species subalternae sunt, quoniam genera effici possunt.

Quinque tamen genera inaequalitatis tantum esse inventum est, videlicet, tria simplicia, multiplex, superparticulare et superpartiens, duoque ex his composita, multiplex superparticulare et multiplex superpartiens. De quibus, ut confusio evitetur, sigillatim tractare intendimus, ea cum quibusdam suis speciebus diffiniendo ipsarumque specierum per exemplum, quo prout philosopho placet magis scimus practicam adiungendo.

Capitulum V--De genere multiplici.

Multiplex inaequalitatis genus est quo maior numerus ad minorem relatus illum multipliciter in se continet praecise, puta bis et erit dupla, ter et erit tripla, quater et erit quadrupla, quinquies et erit quintupla, sexties et erit sextupla, et sic de aliis.

[-16-] De dupla

Dupla est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum bis in se continet praecise, ut 2 ad 1, 4 ad 2, 6 ad 3, ut hic patet:

[CSM22/2a:16; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 02GF]

Ex hac proportione Pythagorici diapason oriri asserunt, eo quod in inventione concordantiarum Pythagoras, si Graecis credendum sit, duobus malleis, quorum unus 6 ponderum, alter 12 erat, consonantibus concordantiam diapason effici perciperit, unde fit ut et plerique eam concordantiam duplam et hanc proportionem e contra diapason appellent. Quaequidem proportio tamquam facillima prae caeteris est ustitata. Et quoad minimas non semper cyphris signatur, quia si duae minimae ad unam, aut quattuor ad duas, aut sex ad tres referuntur pro signo quovis colore, sed nunc communius nigro, scilicet encausto, implentur, vel huiusmodi duplares minimae in suis summitatibus per quendam tractulum oblique a parte dextra reflectuntur, et hiis lex nulla finalis imponitur; quaequidem minimae etiam ut aliae possunt impleri et iterum duplares effici, sed illis in prolatione minori istis autem in maiori frequentius utimur, ut hic:

[-17-] [CSM22/2a:17,1; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 03GF]

Et quamvis ita sub proportione dupla duae minimae pro una ponuntur, non tamen propter hoc ut indocti garriunt semiminimae sunt, sicut duae maximae pro una, duae longae pro una, duae breves pro una, duae semibreves pro una, sub hac proportione scribuntur aut proferuntur, nec tamen inde semimaximae, semilongae, semibreves, semisemibreves dicuntur.

De tripla

Tripla est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum ter in se continet praecise, ut 3 ad 1, 6 ad 2, 9 ad 3, et caetera, sicut hic patet:

[CSM22/2a:17,2; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 03GF]

De quadrupla

Quadrupla est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum in se quater continet praecise, ut 4 ad 1, 8 ad 2, etc., sicut hic:

[-18-] [CSM22/2a:18,1; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 03GF]

De quintupla

Quintupla est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum in se quinquies continet praecise, ut 5 ad 1, 10 ad 2, sicut hic:

[CSM22/2a:18,2; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 03GF]

De sextupla.

Sextupla est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum in se sexties continet praecise, ut 6 ad 1, 12 ad 2, etc., sicut hic:

[-19-] [CSM22/2a:19,1; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 04GF]

Capitulum VI--De genere superparticulari.

Superparticulare genus est quo maior numerus ad minorem relatus illum in se totem continet, et insuper eius aliquotam partem; puta alteram et erit sesquialtera, tertiam et erit sesquitertia, quartam et erit sesquiquarta, quintam et erit sesquiquinta, et sic de aliis.

De sesquialtera.

Sesquialtera est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum in se totum continet et insuper eius alteram partem aliquotam, ut 3 ad 2, 6 ad 4, 9 ad 6, etc., sicut hic:

[CSM22/2a:19,2; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 04GF]

[-20-] [CSM22/2a:20,1] [TINPROM 05GF]

Signatur autem interdum haec proportio sine cyphris, scilicet, per impletionem notarum, non solum minimarum sed caeterarum ex aliquo colore, tamen frequentius nigro, videlicet encausto, ut hic patet:

[CSM22/2a:20,2; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 05GF]

Sed cum haec notarum impletio non tantum ut praedictum est duplam et sesquialteram, sed etiam ut patet per innumera compositorum opera perfectionem aut reductionem designet, ad cognoscendum faciliter in aliquo cantu, quod istorum quatuor si fiat significet ita distingue. Aut minimae solum implentur, et tunc aut ut integrales reduci possunt, et sic qualitercumque et qualicumque sint numero constitutae reducuntur integrae. Aut ita reduci non possunt et tunc aut binariae sunt et sic sive syncopatae sint sive non duplantur. Aut ternariae et sic, nisi syncopata sit altera earum, sesquialterantur, ut hic patet:

[CSM22/2a:20,3; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 05GF]

[-21-] [CSM22/2a:21,1] [TINPROM 06GF]

Et hinc nota quod istae duplares minimae syncopari possunt non autem sesquialterales, unde si ante maiorem notam vel aequalem tres minimas videris impletas, mox adverte si alia per syncopam praecedat aut sequatur, quia tunc per duplam non per sesquialteram canuntur, ut supra circa finem discantus ultimi patet.

Sed si sex minimae tantum taliter, id est, continuae impleantur, quom numerus senarius et binarius et ternarius sit, quid est dicendum? Certe quod si praecedat aut sequatur integralis minima ad quam duae illarum proportionatae sunt, omnes sub dupla canuntur, sin autem sesquialterae attribuuntur, ut hic patet:

[CSM22/2a:21,2; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 06GF]

[-22-] Et ita de simili numero concludas.

Praeterea si quinque etiam vel septem impletae componantur continuae, quamvis neque quinarius, neque septenarius numerus binarius aut ternarius sit, tamen quia ex binario et ternario, se e converso quisque eorum constituatur? Si has quinque integralis minima praecedat, duae priores per duplam ei connumerabuntur, reliquae vero tres sesquialterabuntur. Sed si e contra has quinque integralis minima sequatur, tres priores ad sesquialteram duae autem sequentes ad duplam pertinebunt, ac de septem cum dupla sesquialteram praecedat quatuor primae duplares erunt et aliae tres sesquialterales, ut hic patet:

[CSM22/2a:22; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 07GF]

Et sic de similibus numeris facias.

Aut haec minimae non solum sed cum maioribus se notis tamquam eis subiectae sunt impletae, et tunc suarum maiorum naturam sive per huiusmodi impletionem imperficiantur sive reducantur sive duplentur sive sesquialterentur totaliter imitantur.

[-23-] Porro quod de numero et qualitate minimarum taliter impletarum dictum est hoc et de valore earum intelligas, videlicet ut et punctus augmentationis et pausa eis attributa, et duae si quae sint minimae nedum impletae, sed in suis summitatibus velut praemissum est reflexae diligenter annumerentur. Qui duo articuli non solum in hoc opere, sed ubique per exempla patescunt. Nescio tamen quis Pasquin in plerisque passibus suae Missae authenti prothi irregularis distincte omni arte ac melodia expertis quoad primum ab omnibus dissentit. Nec mirum nam et sibi ipsi in "Cum sancto spiritu" quod valde ridiculum est contrariatur, quoniam in exordio "nobiscum" in fine autem contra nos taliter operatus sit, ut patet in sequenti exemplo:

[CSM22/2a:23; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 07GF]

Aut semibreves, breves, longae vel maximae taliter implentur, et tunc aut, maior nota mediante, sunt syncopatae et ita solae reductionis aut aequali et nedum reductionis, sed etiam imperfectionis signum est. Aut non syncopantur, et tunc aut sunt reducendae, et indistincte reducuntur aut non. Et sic vel de se sunt perfectae et tunc, si salva perfectione numeri possunt sesquialterari, sesquialterantur, si vero non imperficiuntur vel de se sunt imperfectae et ita sine distinctione ascribuntur sesquialterae, ut hic:

[-24-] [CSM22/2a:24; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 08GF]

Quod autem dictum est de numero et qualitate huiusmodi notarum sic impletarum ut de minimis, praemisi de valore etiam ipsarum est intelligendum.

[-25-] Siquidem dum aliqui rudes, non modo cantores sed, quod intollerabilius est, compositores notas taliter per impletionem sesquialteratas inspiciunt, non sesquialteram sed emyoliam esse dicunt, asserentes in sesquialtera et perfectionem et alterationem notarum cadere in emyolia vero minimae. In quo inter sesquialteram et emyoliam manifeste ponunt differentiam, sed ad modum falluntur. Una etenim eiusdemque naturae proportio est licet diversi nominis, verum sesquialtera apud arithmeticos, emyolia autem apud musicos frequentior terminus est. Quo fit ut Pythagorici dicant Pythagoram concordantiam diapente ex emyolia, quom audiverit binos malleos, quorum primus sex aut octo ponderum, alter novem aut duodecim erat, assonantes nasci percepisse. Et ex eo a compluribus et ipsa concordantia diapente emyolia et ipsa proportio emyolia diapente interdum vocitatur.

Nec hic praetermittendum arbitror, nonnullos veteres notas impletas pro vacuis habuisse quod quidam nuperrimi eos imitantes dicunt, quoniam saepius hoc colore fit ut praeposuimus nigras pro albis. Igitur dum tales aut cantare aut componere volueris, omnia quae de impletis praedicta sunt vacuis attribue, quorum exempla ex contrario praemissorum per te tibi forma.

De sesquitertia

Sesquitertia est proportio quae maior numerus ad minorem relatus illum in se totum continet et insuper eius tertiam partem aliquotam, ut 4 ad 3, 8 ad 6, 12 ad 9, sicut hic:

[CSM22/2a:25; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 09GF]

[-26-] [CSM22/2a:26,1] [TINPROM 09GF]

Haec autem proportio frequentius a Pythagoricis epytritus nominatur, ex quo secundum eos Pythagoras per malleum octo vel duodecim ponderum ei qui sex vel novem erat consonantem, diatessaron concordantiam non simpliciter, sed secundum quid audiverit oriri hinc fit, ut plerique talem concordantiam diatessaron epytritum aut sesquitertiam et e contra proportionem hanc diatessaron vocitent.

De sesquiquarta.

Sesquiquarta est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum in se totum continet et insuper eius quartam partem aliquotam, ut 5 ad 4, 10 ad 8, 15 ad 12, etc., sicut hic:

[CSM22/2a:26,2; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 09GF]

De sesquiquinta

Sesquiquinta est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum in se totum continet et insuper eius quintam partem aliquotam, ut 6 ad 5, 12 ad 10, 18 ad 15, etc., sicut hic patet in sequenti exemplo:

[CSM22/2a:26,3; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 09GF]

[-27-] De sesquioctava

Sub hoc autem genere velut intuenti perspicaciter apparet comprehenditur sesquioctava, quae est proportio qua maior numerus ad minorem relatus in se totum continet et insuper eius octavam partem aliquotam, ut 9 ad 8, 18 ad 16, etc., sicut hic:

[CSM22/2a:27,1; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 10GF]

Ex hac autem proportione Pythagoras dum malleos, quorum primus octo, secundus novem ponderum erat, compulsare iussit tonum causari didicit. Quo fit ut haec proportio a Pythagoricis eam saepius epygdoum nominantibus, interdum tonus et e converso tonus ipse sesquioctava vel epygdous vocetur.

Capitulum VII--De genere superpartienti.

Superpartiens genus est quo maior numerus ad minorem relatus illum in se totum continet et insuper eius aliquas partes aliquotas facientes unam aliquantam, puta 2 et erit superbipartiens, 3 et erit supertripartiens, 4 et erit superquadripartiens, et sic de aliis.

Huiusmodi autem species subalternae sunt, hinc genera effici possunt; quarumquidem species specialissimae specialia recipiunt nomina ex recto casu nominis propinqui generis et obliquo, scilicet accusativo plurali sui minoris numeri ordinalis composita; verbi gratia, [-28-] si 5 ad 3 referuntur superbipartiens tertias dicitur, si 7 ad 5 superbipartiens quintas, si 7 ad 4 supertripartiens quartas, si 8 ad 5 supertripartiens quintas, si vero 9 ad 5 superquadripartiens quintas, etc.

Hinc primo species subalternas ita diffinies: Superbipartiens est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum in se totum continet et insuper duas eius partes aliquotas unam facientes aliquantam, ut 5 ad 3, 7 ad 5, etc.

Supertripartiens est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum in se totum continet et insuper eius tres partes aliquotas unam facientes aliquantam, ut 7 ad 4, 8 ad 5, etc.

Superquadripartiens est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum in se totum continet et insuper quatuor eius aliquotas partes unam facientes aliquantam, ut 9 ad 5, etc.

Species autem specialissimae sic erant diffiniendae.

De superbipartienti tertias

Superbipartiens tertias est proportio qua maior numerus qui est quinque ad minorem qui est tres refertur, ut hic probatur:

[CSM22/2a:28; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 10GF]

[-29-] De superbipartienti quintas

Superbipartiens quintas est proportio qua maior numerus qui est septem ad minorem qui est quinque refertur, ut patet in sequenti exemplo:

[CSM22/2a:29,1; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 11GF]

De supertripartienti quartas

Supertripartiens quartas est proportio qua maior numerus qui est septem ad minorem qui est quatuor refertur, ut hic patet:

[CSM22/2a:29,2; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 11GF]

[-30-] De supertripartienti quintas

Supertripartiens quintas est proportio qua maior numerus qui est octo ad minorem qui est quinque refertur, ut hic patet:

[CSM22/2a:30,1; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 12GF]

De superquadripartienti quintas

Superquadripartiens quintas est proportio qua maior numerus qui est novem ad minorem qui est quinque refertur, ut hic patet:

[CSM22/2a:30,2; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 12GF]

[-31-] Capitulum VIII--De genere multiplici superparticulari.

Multiplex superparticulare genus est quo maior numerus ad minorem relatus illum in se multipliciter continet et insuper unam eius partem aliquotam; puta bis et alteram et erit dupla sesquialtera, bis et tertiam et erit dupla sesquitertia, bis et quartam et erit dupla sesquiquarta, bis et quintam et erit dupla sesquiquinta, et sic de aliis:

De dupla sesquialtera

Dupla sesquialtera est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum in se bis continet et insuper alteram eius aliquotam partem, ut 5 ad 2, 10 ad 4, 15 ad 6, sicut hic:

[CSM22/2a:31; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 13GF]

De dupla sesquitertia.

Dupla sesquitertia est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum in se bis continet et insuper tertiam eius partem aliquotam, ut 7 ad 3, 14 ad 6, etc., sicut hic:

[-32-] [CSM22/2a:32,1; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 13GF]

De dupla sesquiquarta

Dupla sesquiquarta est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum in se bis continet et insuper quartam eius partem aliquotam, ut 9 ad 4, 18 ad 8, etc., ut patet in hoc exemplo:

[CSM22/2a:32,2; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 13GF]

De dupla sesquiquinta

Dupla sesquiquinta est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum in se bis continet et eius insuper quintam partem aliquotam, ut 11 ad 5, 22 ad 10, etc., sicut hic:

[-33-] [CSM22/2a:33,1; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 14GF]

De dupla sesquioctava

Et quoniam superius in genere superparticulari ultra quatuor proportiones quae ad caeteras eiusdem generis comprehendendas cuique optimo intellectui sufficiunt per ordinem positas de sesquioctava specialem non ab re fecimus mentionem, duplam sesquioctavam sub hoc genere contineri quamvis id solers indagator per se possit intelligere congruissimum est ostendere.

Est igitur dupla sesquioctava proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum in se bis continet et insuper octavam eius partem aliquotam, ut 17 ad 8, 34 ad 16, etc., sicut hic:

[CSM22/2a:33,2; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 14GF]

[-34-] Capitulum IX--De genere multiplici superpartienti.

Multiplex superpartiens genus est quo maior numerus ad minorem relatus illum in se multipliciter continet et insuper aliquas eius partes aliquotas unam facientes aliquantam; puta bis et 2 et erit dupla superbipartiens, bis et 3 et erit dupla supertripartiens, bis et 4 et erit dupla superquadripartiens, et sic de aliis.

Huiusmodi vero species instar superpartientium subalternantur et hinc genere efficiuntur. Quorum quinque species specialissima nomen etiam recipit ex casu recto generis propinqui nominis et obliquo, scilicet plurali accusativo, sui minoris numeri ordinalis compositum. Verbi causa, si 8 ad 3 referuntur, dupla superbipartiens tertias dicetur; si 12 ad 5, dupla superbipartiens quintas; si 11 ad 4 dupla supertripartiens quartas; si 13 ad 5, dupla supertripartiens quintas, etc.

Sic igitur primo species subalternae sunt diffiniendae. Dupla superbipartiens est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum in se bis continet et insuper eius duas partes aliquotas unam facientes aliquantam, ut 8 ad 3, 12 ad 5, etc.

Dupla supertripartiens est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum in se bis continet et insuper eius tres partes aliquotas unam facientes aliquantam, ut 11 ad 4, 13 ad 5, etc.

Dupla superquadripartiens est proportio qua maior numerus ad minorem relatus illum in se bis continet et insuper eius quatuor partes aliquotas unam facientes aliquantam, ut 14 ad 5, etc.

Species quae specialissimas ita diffinies.

De dupla superbipartienti tertias

Dupla superbipartiens tertias est proportio qua maior numerus qui est octo ad minorem qui est tres refertur ut per insequenti exemplo:

[-35-] [CSM22/2a:35,1; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 15GF]

De dupla superbipartienti quintas

Dupla superbipartiens quintas est proportio qua maior numerus qui est 12 ad minorem qui est 5 refertur, ut patet in praesenti exemplo:

[CSM22/2a:35,2; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 15GF]

De dupla supertripartienti quartas

Dupla supertripartiens quartas est proportio qua maior numerus qui est 11 ad minorem qui est 4 refertur, ut hic patet:

[CSM22/2a:35,3; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 15GF]

[-36-] De dupla supertripartienti quintas

Dupla supertripartiens quintas est proportio qua maior numerus qui est 13 ad minorem qui est 5 refertur, ut patet in sequenti exemplo:

[CSM22/2a:36,1; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 16GF]

De dupla superquadripartienti quintas

Dupla superquadripartiens quintas est proportio qua maior numerus qui est 14 ad minorem qui est 5 refertur, ut hic:

[CSM22/2a:36,2; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 16GF]

[-37-] Liber secundus.

Capitulum I--De proportionibus inaequalitatis quae fiunt per relationem numeri ad maiorem.

Quin immo sicut per quinque praedicta inaequalitatis genera numeri maiores, ut ostensum est, ad minores referuntur ita e converso, per ea minores ad maiores referri poterunt. In quo animadvertas nec nomina ipsorum generum nec suarum specierum immutari. Praeterquam per modum compositionis cuilibet subpraeponetur, ut submultiplex, subsuperparticulare, subsuperpartiens, submultiplex superparticulare, submultiplex superpartiens, subdupla, subsesquialtera, subsuperbipartiens, subsuperbipartiens tertias, subdupla superbipartiens, subdupla superbipartiens tertias, et sic de aliis.

Diffinitio tamen cuiuslibet taliter fiet ut quod subiectum ibi fuit hic praedicatum sit et e contra. Quae rudibus magis ut innotescant praemissa quinque genera cum suis speciebus appositis, caeteras ad intelligendas me iudice sufficientibus diffinire exemplique gratia practicare faciliter proposui.

Capitulum II--De genere submultiplici

Submultiplex genus est quo minor numerus ad maiorem relatus in illo multipliciter continetur praecise; puta bis est et erit subdupla, etc.

De subdupla

Subdupla est proportio qua minor numerus ad maiorem relatus in illo bis continetur praecise, ut 1 ad 2, etc., sicut hic:

[-38-] [CSM22/2a:38,1; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 17GF]

Capitulum III--De genere subsuperparticulari.

Subsuperparticulare genus est quo minor numerus ad maiorem relatus in illo totus et eius insuper pars aliquota continetur; puta altera et erit subsesquialtera, etc.

De subsesquialtera

Subsesquialtera est proportio qua minor numerus ad maiorem relatus in illo totus et insuper eius altera pars aliquota continetur, ut 2 ad 3, 4 ad 6, etc., sicut hic:

[CSM22/2a:38,2; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 17GF]

Capitulum IV--De genere subsuperpartienti.

Subsuperpartiens genus est quo minor numerus ad maiorem relatus in illo totus et insuper aliquae partes eius aliquotae unam facientes aliquantam continentur; puta 2 et erit subsuperbipartiens, et sic de aliis.

[-39-] De subsuperbipartienti

Subsuperbipartiens est proportio qua minor numerus ad maiorem relatus in illo totus et insuper duae partes eius aliquotae unam facientes aliquantam continetur, ut 3 ad 5. Ex quibus subsuperbipartiens tertias constituuntur. Et ita caeteras species specialissimas huiusmodi generis componas et iuxta formam sequentem prudenter diffinias.

De subsuperbipartiens tertias.

Subsuperbipartiens tertias est proportio qua minor numerus qui est 3 ad maiorem qui est 5 refertur, ut hic:

[CSM22/2a:39; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 17GF]

Capitulum V--De genere submultiplici superparticulari.

Submultiplex superparticulare genus est quo minor numerus ad maiorem relatus in illo multipliciter et insuper eius una pars aliquota continetur; puta altera et erit subdupla sesquialtera, et sic de aliis.

[-40-] De subdupla sesquialtera

Subdupla sesquialtera est proportio qua minor numerus ad maiorem relatus in illo bis et eius insuper altera pars aliquota continetur, ut 2 ad 5, etc.

[CSM22/2a:40; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 18GF]

[-41-] Capitulum VI--De genere submultiplici superpartienti.

Submultiplex superpartiens genus est quo minor numerus ad maiorem relatus in illo multipliciter et insuper aliquae partes eius aliquotae unam facientes aliquantam continetur; puta bis et 2 et erit subdupla superbipartiens, et sic de aliis.

De subdupla superbipartienti

Subdupla superbipartiens est proportio qua minor numerus ad maiorem relatus in illo bis et insuper duae partes eius aliquotae unam facientes aliquantam continentur, ut 3 ad 8. Ex quibus subdupla superbipartiens tertias efficitur er sic huiusmodi generis reliquae species specialissimae componantur secundumque formam sequentem diffiniantur.

De subdupla superbipartiens tertias

Subdupla superbipartiens tertias est proportio qua minor numerus qui est 3 ad maiorem qui est 8 refertur, ut hic patet:

[CSM22/2a:41; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 18GF]

[-42-] Liber tertius

Capitulum I--Quaedam circa proportiones generaliter consideranda.

Tractato particulariter de generibus proportionum inaequalitatis cum quibusdam suis speciebus necessarium arbitror quaedam de hiis generaliter annotare, videlicet, qualiter, quando et ubi proportiones huiusmodi signandae sint.

Capitulum II--Qualiter proportiones signandae sint.

Quoad primum ut scilicet scias qualiter proportiones signare debeas, omnis proportio cyphris recte signatur. Quaequidem hoc habent proprii quod numerum significent, ut 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, et haec simplices. Compositae vero sunt infinitae, ut 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, etc., 30, 31, etc., 40, 41, etc., 50, 51, etc., 60, 61, etc., 70, 71, etc., 80, 81, etc., 90, 91, etc., 100, 101, etc.

Natura earum itaque cyphrarum est quodsi una alteri quantavis multiplicatione iungatur semper ipsius valor decuplatur; unde versus:

Unum prima, secunda decem, dat tertia centrum,

Quarta dabit mille, milia quinta decem.

Quiquidem ordo retrogradus est ut hic: 231471.

Praeterea quotiens ante vel inter cyphras 0 semel aut pluries ponitur, non numerum sed augmentum numeri tanquam cyphra denotat, ut hic: 35700, 305070.

Igitur si maior numerus ad minorem referatur, tu compositor cyphram illius superponas, istius autem supponas. Si vero e contra minor ad maiorem sit relatus, cyphra illius superponatur ac istius supponatur, ut patet in praesenti exemplo:

[-43-] [CSM22/2a:43,1; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 19GF]

Ab hac tamen regula si compositor velit, dupla et sesquialtera excipiuntur. Namque pro signo etiam minimae illius ac omnes notae istius, ut suis praeostensum est locis, quovis colore implentur aut in oppositum aliarum vacuae dimittuntur. Item nonnulli veteres et istas et alias proportiones non cyphris immo nominibus propriis signare voluerunt, ut hic:

[CSM22/2a:43,2; text: Discantus, Tenor, dupla, emyola] [TINPROM 19GF]

[-44-] [CSM22/2a:44,1; text: epitritus] [TINPROM 20GF]

Quod mihi non placet si iuxta commune proverbium quod brevius fit, melius fit. Et quid ineptius est ordine longo litterarum aut syllabarum designare, quod duabus cyphrunculis poterit agnosci?

Sunt et alii et fere omnes qui maximo errore ducti se penitus expertes arithmeticae manifestantes, una tantum cyphra, videlicet, eius numeri qui ad alium refertur omnes quas praticant proportiones signant, ut hic patet:

[CSM22/2a:44,2; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 20GF]

[-45-] Et hoc nihil magis ab arithmeticis a quibus proportiones accepimus, alienum signo pertinenti numero per se, id est, sine relatione aliqua constituto, numerum ad aliquod, id est, qui relative ad alium comparatur, tantummodo signare.

Praeterea si verbi gratia duabus aut tribus tantum notis aliquibus praeponamus, quoniam et 2 ad 1, 2 ad 3, et 2 ad 4, et 3 ad 2, et 3 ad 4, et 3 ad 5, et sic de aliis possimus referre, cur potius esse duplam quam subsesquialteram aut subduplam sesquialteram quam subsesquitertiam, aut subsuperbipartientem tertias aut aliam quamvis proportionem ex his numeris practicabilem intelligimus? Propter consuetudinem dicunt qua et apud priscos et apud modernos per unicas has cyphras, scilicet, 2 et 3 dupla et sesquialtera significantur. Quibus respondeo supplendum esse duces caecorum et caecos a claritate veritatis scientiae proportionandi multum errantes, et non optimos artis nostrae praeceptores eorum qui perspicassimos imitatores, ex quibus fuit ille Binchois qui sua compositione iocundissima nomen sibi peperit aeternum. Nempe sesquialteram, libro teste regio, in suo "Patrem" autenti triti irregularis ita decentissime signavit:

[CSM22/2a:45; text: Supremum, Contratenor] [TINPROM 21GF]

Alii vero pro signo duplae signum temporis imperfecti minorisque prolationis cum tractulo traducto accelerationem mensurae ut praemissum est, denotante quo cantus vulgariter ad medium dicitur tantummodo ponunt, ut hic patet:

[-46-] [CSM22/2a:46,1; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 21GF]

Quod, ut Domarto et Faugues, in Missis Spiritus almus et Vinus ita signantibus placeam, tolerabile censeo propter quandam aequipollentiam illius proportionis ac istius prolationis. Dum enim aliquid ad medium canitur, duae notae sicut per proportionem duplam uni commensurantur.

Ast quidam signo prolationis maioris et temporis perfecti vel imperfecti sesquialteram signant, ut hic:

[CSM22/2a:46,2; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 21GF]

[-47-] Et alii eodem signo temporis imperfecti et prolationis maioris subsesquitertiam, ut hic:

[CSM22/2a:47,1; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 22GF]

Quod licet faciant Lerouge et Puyllois in Missis Mon cuer pleure et in quodam "Et in terra" plagalis autenti triti irregularis tamen est intolerabile. Non enim sesquialtera vel subsesquitertia et haec prolatio aequipollent, quoniam una semibrevis prolationis maioris tres minimas valens non sit uni aut duabus semibrevibus minoris commensuranda, immo semibrevi et minimae, ut patet per Dufay in suo "Et in terra" de Sancto Anthonio, sicut hic:

[CSM22/2a:47,2; text: Discantus, etc., Tenor, etc.] [TINPROM 22GF]

In quoquidem signo, quoniam isti tres famosissimi compositores dissentiant, Dufay potius quam aliis, crede quorum primus omnium proportionantium arrogantissimus, nam Anglorum errore labefactus nullas proportiones sciens omnes praecipit. Secundus autem simplicissimus [-48-] est. Multi vero per praedictum temporis imperfecti maiorisque prolationis signum taliter reversum [CLd] sesquialteram quod etiam deterius est per impletionem notarum denotabilem, ut Barbingant in suo "Et in terra" autenti prothi mixti, et sesquitertiam per signum temporis imperfecti minorisque prolationis similiter sic reversum [CL], ut illi quos nominare vereor signare non erubescerunt. Sed mihi deprecor parcant quoniam haec signa adeo frivola, adeo erronea adeoque ab omni rationis apparentia sunt remota, ut nec exemplo digna crediderim.

Capitulum III--Quando proportiones signandae sint.

Quoad secundum, videlicet quando proportiones signandae sint, more maiorum laudanda ratione potitorum statim ex quo proportionem aliquam inaequalitatis edere volueris eam immediate signare teneris. Ad differentiam quidem proportionum aequalitatis quae sine signo tales, ut praemissimus, esse iudicantur. In quo de Domarto pluries in Missa Spiritus almus intolerabiliter peccavit, nam in primis partibus "Et in terra", "Patrem" et "Sanctus" supremum et contratenores per relationem ad tenorem ex dupla confectos sine signo ac si aequaliter eos constituisset indiscrete reliquit, ut hic:

[-49-] [CSM22/2a:49; text: Supremum, Contratenor primus, Tenor, Contratenor secundus, etc.] [TINPROM 22GF]

Quod autem hic dupla sit facillime probatur quoniam duo corpora ad unum velut intuenti patet comparantur. Nec eo quod pars primaria, scilicet tenor per prolationem maiorem, partes vero secundariae, scilicet supremum et contratenores per minorem canuntur per aequivalentiam excusari poterit. Si una maioris prolationis minima non duabus minoris immo soli sit commensuranda, ut per Dufay patet in exemplo capituli praecedentis, quemquidem de Domarto, si in hoc errore Regis, Caron, Boubert, Faugues, Courbet aliique plurimi, ut in eorum operibus vidi, sint imitati, non miror quoniam illos minime litteratos audiverim. Et quis sine litteris veritatem huius non solum sed cuiusvis scientiae liberalis attingere valebit? Sed eis fuisse pares in Missis De plus en plus et L'homme armé Okeghem et Busnois, quos competenter constat latinitate, praedictos non mediocrem pectori nostro admirationem incutit.

[-50-] Quid enim admirabilius est, quam videntes a via caecitatis ingredi, sed quoniam in tali eorum componendi modo, si ita signaretur [O 2/1] prout ars requirit, difficultas pronuntiationis immo totius melodiae destructio propter nimiam velocitatem oriretur melius tenori canon apponeretur, scilicet "Crescit in duplo," vel aequivalens, sicut laudabiliter fecit Dufay in Missa Se la face ay pale.

Capitulum IV--Ubi proportiones signare debeamus.

Quoad tertium, scilicet, ubi id est qua parte et quo loco proportiones istas signare debeamus, dicendum quod si duae aut tres aut plures sint partes in aliquo opere composito, sive partes secundariae sint unica proportione sive diversis ad primariam, proportionatae secundum ipsius respectum debent signari et sine medio, ut proprius possint prothonotae proportionis signa praeponi, sicut hic:

[CSM22/2a:50; text: Supremum, Contratenor, Tenor] [TINPROM 23GF]

Est autem primaria pars totius compositi cantus fundamentum relationis quam primo factam ut principalem caeterae respiciunt. Et haec frequentius immo fere semper tenor est, ita quidem dictus quasi caeteras partes sibi subditas tenens. Hoc patet per infinitos cantus, quorum si tenor praetermittatur, ceterae partes ad invicem discordantes difformiter et acerbe nostras aures offendunt.

Interdum vero suprema pars primaria est, scilicet, dum alicui alto cantui simpliciter composito unam aut plures addimus partes, ut hic:

[-51-] [CSM22/2a:51,1; text: Supremum, Tenor, Contratenor, Pour vous la belle, etc.] [TINPROM 23GF]

Vel dum supra supremum cuiusvis cantus compositi aliam partem novam edimus, ut hic patet:

[CSM22/2a:51,2; text: O rosa bella, Tenor, L'homme armé, et Robinet tu m'as la mort donnée, Quant tu t'en vas, etc.] [TINPROM 23GF]

Contratenor autem raro vel nunquam primaria pars est. Si tamen super quemvis cantum praecompositum aliquid operari voluerimus primariam efficiemus, ut hic:

[-52-] [CSM22/2a:52,1; text: Supremum, Contratenor, Tenor, Le serviteur, etc.] [TINPROM 24GF]

Secundariae partes sunt omnes primariam tamquam relationis fundamentum principaliter respicientes.

Ab his vero tribus pariter articulis Busnois unicus dissidet qui suas emyolias etiam per impletionem notarum designatas suppositione istius cyphrae 3 iterum et iterum signat, ut patet in isto moteto suo Animadvertere:

[CSM22/2a:52,2; text: Tenor secundus, Contratenor, etc.] [TINPROM 24GF]

In quo superfluus, quia pro signo sufficit notarum impletio, diminutus, quia licet signo cyphrali indigeret unica cyphra non satisfaceret, et inordinatus, quia quod praeponendum est supponit cunctis esse perhibetur.

[-53-] Capitulum V--Considerandum esse in quibus modo, tempore et prolatione proportiones fiant.

Deinde notandum est quod circa quamlibet proportionem debemus considerare in quo modo, in quo tempore et in qua prolatione fiat. Nam quaedam proportiones binariae sunt, ut dupla, quadrupla, etc., quaedam ternariae, ut tripla, sesquialtera, etc., quaedam utraque, et sextupla, sesquiquinta, etc., quaedam neutrae, ut sesquiquarta, superbipartiens tertias, etc. Non tamen naturam quantitatum in quibus fiunt immutare possunt. Immo qualiscumque proportio sit sive binaria, sive ternaria, sive utraque, sive netura, semper notae iuxta perfectionem aut imperfectione earum per respectum signi modalis, temporalis et prolationalis, sub quo consistunt computandae sunt, ut patet in sequenti exemplo:

Dupla et sesquialtera in utroque modo perfecto, tempore imperfecto et prolatione minori.

[CSM22/2a:53; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 24GF]

[-54-] [CSM22/2a:54,1] [TINPROM 25GF]

Dupla sesquialtera, sesquitertia et subsesquialtera in utroque imperfecto, tempore perfecto, prolatione maiori et minori.

[CSM22/2a:54,2; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 25GF]

[-55-] [CSM22/2a:55,1] [TINPROM 26GF]

In hoc de Domarto multotiens in Missa Spiritus almus defecit, nam dupla sub signo temporis perfecti composita notas per tempus imperfectum computandas admisit, ut hoc sic:

[CSM22/2a:55,2; text: Supremum, Tenor, etc.] [TINPROM 26GF]

Atque non obstantibus Busnois et Regis in Missis L'homme arme et per omnia sequentibus illum excusari poterit, eo quod in huiusmodi partibus missae modus minor sit perfectus, idque circulus perfectus cum cyphra 2 denotet, quoniam circulus ipse perfectus, ut per opera etiam eorum patet infinita, non signum est modi, immo temporis perfecti. Cyphra vero 2, licet diminute secundum eos duplam designat.

Modus autem minor imperfectus per praepositionem aut interpositionem pausarum tria occupantium spatia rationabiliter signatur, sicut Eloy, quem in modis doctissimum accepi, in Missa Dixerunt discipuli fecit. Hinc taliter partes huiusmodi signandae sunt:

[-56-] [CSM22/2a:56,1] [TINPROM 26GF]

Praeterea plusquam semel idem de Domarto in praedicta Missa Spiritus almus circa haec erravit, quoniam notas sesquialterae sub signo prolationis minoris constitutae quasi prolatio maior esset numerari voluit, ut hic:

[CSM22/2a:56,2; text: Discantus, Tenor, etc.] [TINPROM 26GF]

Et sub eodem signo Cousin in Missa Nigrarum per tempus perfectum ipsam etiam proportionem sesquialteram notavit, ut hic:

[CSM22/2a:56,3; text: Supremum, Tenor, etc.] [TINPROM 26GF]

Itaque consideremus differentiam istorum non parvae auctoritatis compositorum. Sub una et eadem signatione, primus, scilicet de Domarto, semibreves imperfecit et breves imperfecit et breves perfecit. Alterum errasse necessarium est. Et revera uterque deficit de Domarto in signo prolationis, Cousin in temporis, et ambo in proportionis. Debebat enim de Domarto, quoniam ibi prolatio maior sit taliter signare [Cd 3/2], Cousin vero quia tempus perfectum est sic: [O 3/2]. Consulo tamen ut cuilibet proportioni si non mediate quantitas sibi similior immediate praesignetur, ut puta binariae modus imperfectus, tempus imperfectum et prolatio minor, ternariae modus perfectus, tempus perfectum et prolatio maior, utrique vero et neutrae indifferenter.

[-57-] Capitulum VI--Qualiter intelligendum sit aliquas notas ad alias referri.

Item, quod per quamvis proportionem, aliquae notae sive aequaliter sive inaequaliter ad alias simpliciter referri dicuntur, intelligendum est ut sint eiusdem valoris, puta dum tres semibreves ad duas comparantur, si quaelibet illarum valet duas minimas, quaelibet istarum etiam duas valere debet. Et quamvis notae proportionaliter relatae sint unius quantitatis et notae ad quas referuntur alterius, istae tamen per quandam suppositionem secundum quantitatem illarum erant computandae. Aliter enim saepe numero falleremur, nempe si verbi gratia cupientes sesquialteraliter 3 ad 2 referri, tres breves temporis imperfecti contra duas perfecti componeremus non sesquialteram immo nec proportionem aliquam inaequalitatis, sed aequalitatis, videlicet 6 ad 6 efficeremus, ut hic:

[CSM22/2a:57; text: Discantus, Tenor] [TINPROM 27GF]

Nec si e converso tres breves temporis perfecti ad duas imperfecti referantur, sesquialtera conficietur, sed sesquiquarta. Erunt enim 9 ad 4 eiusdem, prout decet valoris, in quo Dufay in suo "Qui cum patre" de Sancto Anthonio mirabiliter erravit, nam ibi proportionem ipsam, scilicet duplam sesquiquartam, quoniam tres breves perfectas ad duas imperfectas retulit signo quo ipse ac fere omnes alii sesquialteram licet diminutae signant signare voluit, ut hic:

[-58-] [CSM22/2a:58; text: Supremum, Tenor, etc.] [TINPROM 27GF]

Quodquidem ita signasse debuit [O 9/4] nam non sesquialtera immo, ut praemissimus, de seque patet, dupla sesquiquarta est.

Capitulum VII--De numero et eius partibus quantum ad intelligendas proportiones necessarium est.

Finaliter eo quod necessarium sit cupienti proportiones intelligere aliqua de numero scire pauca quae ad hoc necessaria mihi visa sunt ostendere proposui, et ab ipsius numeri diffinitione proficisci.

Unde numerus est multitudo ex unitatibus constituta, ut 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, etc. Neque unum proprie numerus est, sed materia numeri et elementum arithmeticae, sicut unisonus musicae, punctus geometriae et instans astrologiae.

Omnis vero numerus aut est par aut impar. Numerus par est ille qui in duas partes aequales dividi potest, ut 2, 4, 6, 8, etc. Numerus impar est ille qui in duas partes aequales dividi non potest, ut 3, 5, 7, 9, etc.

Praeterea omnis numerus quomodo sit quoddam totum ex diversis partibus est compositus. Quaequidem partes aut sunt aliquotae aut aliquantae. Pars aliquota numeri est illa quae pluries sumpta reddit suum totum praecise, ut 1 est aliquota pars 4, quoniam 1 quater sumptum praecise 4 reddit. Pars aliquanta numeri est illa quae [-59-] pluries sumpta suum totum excedit aut ad illum non pervenit ut 3 sunt pars aliquanta 8, quoniam si tres ter sumantur, 9 reddunt et sic 8 excedunt; si vero bis tantum 6, et sic ad 8 non perveniunt.

Praeterea omnis numerus ternarius, id est, qui per tria numeratur, secundum musicos est perfectus, ut 3, 6, 9, 12, etc. Cuius ratio est eo quod ad quantitates perfectas, scilicet, modum utrumque perfectum, tempus perfectum et prolationem maiorem pertineat.

Et omnis numerus binarius, id est, qui per duo numerantur, est imperfectus, ut 2, 4, 6, 8, 10, 12, etc. Cuius ratio est eo quod ad quantitates imperfectas, scilicet modum utrumque imperfectum, tempus imperfectum et prolationem minorem pertineat.

Et quoniam 6, 12 et similes numeri sunt ternarii et binarii, quia per 3 et per 2 numerantur, possunt diversis respectibus esse perfecti et imperfecti, perfecti quidem sub quantitatibus perfectis et imperfecti sub imperfectis.

Praeterea omnis numerus aut est per se aut ad aliquid. Numerus per se est ille qui sine aliqua relatione constituitur, ut 1, 2, 3, 4, 5. Numerus ad aliquid est ille qui relative ad alium comparatur, ut 2 ad 2, 3 ad 2, 3 ad 3, 3 ad 4, etc.

Horum autem numerorum qui sunt ad aliquid, alii sunt aequales, alii inaequales. Numeri aequales sunt illi qui per aequalitatem quantitatis ad invicem comparantur, ut 2 ad 2, 3 ad 3, etc. Numeri inaequales sunt illi qui per inaequalitatem quantitatis ad invicem comparantur, ut 2 ad 3, 3 ad 2, 3 ad 4, 4 ad 3, etc.

Hinc istorum inaequalium numerorum alius est maior, alius minor. Numerus maior est ille qui numerum ad quem refertur excedit, ut si 3 ad 2 referantur illa in uno excedunt ista. Numerus minor est ille qui a numero ad quem est relatus exceditur, ut si 2 ad 3 sint relata ab istis in uno exceduntur illa. Et ex huiusmodi numeris, scilicet qui sunt ad aliquid, omnis, ut patet superius, proportio elicitur.

[-60-] Capitulum VIII--Huius operis conclusio.

Haec equidem, clementissime rex, de proportionibus musicis specialiter et generaliter, licet eas non summis rhethoricae coloribus tinxerit praeter causas in prohemio positas, tuus Tinctoris tractavit, ut et Dei gratiam precibus eorum, si qui per ea proficiant et tuum favorem assequi mereatur. Quo et in praesenti et in futuro saeculo bene beateque vivere possit.