THESAURUS MUSICARUM LATINARUM
School of Music
Indiana University
Bloomington, IN 47405
(phone: [812] 855-5471; Internet: mathiese@indiana.edu)

Data entry: Nigel Gwee
Checked by: Sandra Pinegar
Approved by: Thomas J. Mathiesen

Fn and Ft: FOLMUS1 TEXT
Author: Fogliano, Lodovico
Title: Musica theorica, sectio prima
Source: Ludovici Foliani Mutinensis de musica theorica (Venice: Io. Antonius et Fratres de Sabio, 1529; reprint ed., Bologna: Forni, 1970).
Graphics: FOLMUS1 01GF-FOLMUS1 11GF

[-f.ir-] Ludouicus Folianus Mutinensis.

Lectori salutem dicit.

Qvisquis es: qui nostram accedis ad Musicam: Si huiusmodi scientiam ignoras, Disce: Si uero ipsam calles, perpendas quaeso: An a me inuenta: non ab aliis emendicata, uera sint: Quae hac in arte scripserim, Nam in praesenti negocio iis tantum innitor: Quae mihi, principiis fundata mathematicis, Naturalis dictat ratio, quod si compendiosi uoluminis parte prius qualibet examussim abs te perpensa, recte me sensisse forte iudicaueris: merito tunc alios ad operis huius lectionem poteris excitare. Si uero contra. Hinc tibi saltem, ut meliora scribas, nascetur occasio. Caeterum optime Lector, te rogatum uelim, ne pensiculata uerba: fucatam ue orationem a me efflagites, Non enim oratione, sed ratione tantum: hic placere studeo. Vale.

[-f.iv-] Index uniuersi operis.

Primae sectionis Capita.

Primo capite, Quid subiectum musices, et cur illa dicatur scientia media, et subalternata, et quis operis huius ordo, subtiliter inuestigatur.

Secundo capite. Quot modis numeri adinuicem comparentur, ex quibus proportionum genera eliciuntur, inuenies.

Tertio capite. De ordine iam inuentorum generum agitur.

Quarto capite. Cuiuslibet generis inferioris ad proportionem maioris inaequalitatis specierum procreationem poteris intueri.

Quinto capite. Quomodo cuiuscunque proportionis radices inueniantur, edocemur.

Sexto capite. Disces, Datam in quibuscunque numeris plurium proportionum continuam connexionem radicitus inuenire.

Septimo capite. Quotlibet proportiones ordine continuato: simul aggregare non ignorabis.

Octavo capite. De subtractione proportionis a proportione, quomodo fiat inquiritur.

Nono capite. De harmonica proportionalitate plena traditur doctrina.

Secundae sectionis capita.

Primo capite. Quomodo unaquaeque consonantia suae aptetur proportioni, ad sensum patet.

Secundo capite. Quid consonantia, Quid dissonantia, Quid sonus innotescit.

Tertio capite. Quare magis consonantiae a proportionibus maioris quam minoris inaequalitatis oriri dicantur, assignatur ratio.

Quarto capite ostenditur. Quomodo ad diapason tota consonantiarum diuersitas terminetur.

Quinto capite. Quae nam consonantiae sint perfectae, quaeue imperfectae, manifestatur.

Sexto capite. Alia sonorum interualla quae non sunt consonantiae a musicis considerari deprehendimus.

Septimo capite. Quot et quae sint a musicis considerata dissona interualla, colligitur.

Octavo capite. De utiltiate dissonantium interuallorum ab utilitate toni maioris incipiendo tractatur.

Nono capite. De utilitate toni minoris determinatur.

Decimo capite. De utilitate semitonii maioris fit commemoratio.

Undecimo capite. Utilitate semitonii minoris sese offert.

Duodecimo capite. De utilitate semitonii minimi fit examen.

Tertiodecimo capite. De utilitate commatis est sermo.

Quartodecimo capite. De differentiis consonantiarum quantitatiuis: habetur scientia.

Quintodecimo capite. Quomodo toni et semitonia et caetera id genus adinuicem secundum quantitatem differant, adamussim perpenditur.

Sextodecimo capite palam fit, quid quodlibet interuallum siue consonum siue dissonum suo simili generet, additum.

Septimodecimo capite. Quae nam diuersae consonantiae simul aggregatae generent consonantias et quae non, perspicuum est.

Octavodecimo capite. Quomodo diuersa interualla dissona sese habeant in compositione: diligenter consideratur.

Tertiae sectionis capita.

Primo capite. Monochordi in puris numeris rationi tantum subiecta diuisio, non prius tentata, conspicitur.

Secundo capite. Demonstratur quod duo .d.solre et duo .b.mollia, de necessitate ponantur.

Tertio capite. Monochordi aurium iudicio subiectam partitionem sine circino quam facillime fieri posse, manifestissima docet experientia.

Quarto capite. Qualiter in diuisione monochordi quae fit per sensum, duo soni consonantiam facientes, simul audiri possint, liquido constabit.

Quinto capite. In promptu causa est, Quare iuxta tritum antiquorum morem non est facta monochordi diuisio.

Sexto capite. Positam monochordi diuisionem esse secundum naturam probabiliter, concluditur.

Septimo capite. Ratio compositionis manus siue introductorii latini et quomodo a graecis tetrachordis originem trahat, sufficienter declaratur.

Finis.

[-f.Ir-] Lvdovici Foliani Mvtinensis De mvsica theorica. Sectiones tres. Sectio prima.

Quid subiectum Musices: et cur illa dicatur scientia media: et subalternata: et quis operis huius ordo. Caput Primum.

Mvsicae facvltatis svbiectvm: Quod: Numerus sonorus: appellatur: nihil aliud est: nisi numerus partium sonori corporis: utputa: chordae: Quae numeri ac discreti accipiens rationem: nos certiores reddit de quantitate soni ab ea producti: Tantum enim esse iudicamus sonum: Quantus est: qui chordam metitur numerus: unde per numerum cognita secundum longitudinem quantitate chordae: cuius crassitudo ac densitas sit uniformis et regularis: statim possunt: a nobis soni secundum certas ac determinatas grauis et acuti proportiones adinuicem comparari: nam intensa chorda: in quinque partes aequales si forte signetur: eiusque portio: quae est: ut tria: et illa quae est: ut duo: per ponticulum distinctae: simul percutiantur: Tunc uere sciemus quod inde prouenientes soni sesquialtera commensurantur proportione: et hac eadem uia quascunque alias secundum acutum et graue sonorum differentias inuestigamus: Quibus differentiis in nostram cognitionem sic primo uenientibus: uarias postea de illis demonstramus passiones: Et quia haec omnia et quaecunque alia in musicis considerata: potissimum ad perfectam numeri sonori cognitionem diriguntur: ut uidebis: ideo non est haesitandum: quin recte: Numerus sonorus: musices ponatur subiectum: Ex cuius quidem positione contingit quod haec scientia dicatur media inter mathematicam et naturalem: nempe quantum ad sonum in illa sub ratione mensurati consideratum non abstrahit a motu: quia sonus absque motu neque esse neque intelligi potest: quum per motum definiatur: ut postea in materia de sono tibi constabit: Quamobrem Musica: ex parte soni: non dicitur: Mathematica: Sed Naturalis: ex parte uero numeri: in illa considerati: Qui proculdubio terminus est mathematicus: habens in musicis rationem mensurae: Dicitur: mathematica: et quia neutrum istorum seorsum et per se: sed ex illis aggregatum speculatur. Palam quod illa non est mere mathematica: nec mere naturalis: sed partim mathematica et partim naturalis: et per consequens inter utranque media: Amplius eandem arithmeticae subalternari dicimus: eo quod ab illa non modo subiecti sui partem accipit: idest numerum: Sed etiam principia et media suarum demonstrationum inde sibi construit Musica: Quae quidem principia et media: non est existimandum: quod sint omnes: quae in Arithmetica demonstrantur: conclusiones: ut forte putaret quispiam: immo nonnullae tantum quae de numero relato: idest de proportionibus numerorum: ponuntur illationes: huic necessitati suppetere uidentur: nam illarum quibusdam assumptis et signatis: ut in subsequentibus manifestissima te docebit experientia: omnes de numero sonoro demonstrantur passiones: et quum nihil [-f.Iv-] aliud intendat Musicus: Sicut et quilibet alius artifex: nisi passiones de proprio subiecto demonstrare: idque per solas de numero relato conclusiones consequi ualeat nec sine necessitate ponenda sit pluralitas: relinquitur quod ipse nihil aliud quam huiusmodi conclusiones ab arithmetico sibi dari pro suis principiis expostulat: et ulterius quum semper de principiis in qualibet scientia: prior debeat esse sermo: sequitur quod in processu uoluminis nostri: quod in partes treis secare intendimus rationabiliter prima eius sectione perscrutabimur: Quot modis adinuicem numeri comparentur non omittentes quidem de accidentibus tales relationes consequentibus: quantum spectat ad musicum: diligenter inuestigare. Post haec uero secunda sectione: Quomodo cuncta sonorum interualla: ea scilicet quae sunt ad harmoniam necessaria: suis singulatim coaptentur proportionibus: Et quid illorum sit unumquodque: itidem: Quid utilitatis et necessitatis in se contineat: et qualiter alterum alteri uariis modis comparetur: fiet utique manifestum. Quibus interuallis secundum exigentiam sufficienter prius ita cognitis et intellectis mox tertia et ultima sectione: Ad artificiosam sonorum a musicis inuentam gratia exercendae harmoniae coordinationem. Quae monochordi diuisio nuncupatur: opportune accedemus: ad quam sine interuallorum praeuia cognitione: uanus foret accessus. Et ratio est. Quia quaruncunque rerum artificiosa coordinatio: semper illorum presupponit cognitionem: quibus indiget ad sui constitutionem: nam per incognita nihil a nobis coordinari potest: et quum sonorum in monochordo contentorum ordo: ad sui constitutionem harmonicis omnino indigeat interuallis: et quo ad sonorum inuentionem: et quo ad differentiarum positionem inter ipsos iam inuentos sonos contingentem: ut suo liquebit loco: audacter concludamus quod de monochordi partitione consideratio considerationi de harmonicis interuallis merito succedit: et sic circa quod subiectum uersetur musica. Et quomodo sic scientia media. Et quomodo arithmeticae subalternetur: necnon quis ordo procedendi in hoc opere: quattuor haec satis: ut opinor: ex praedictis conspicua relinquuntur.

Quot modis numeri adinuicem comparentur. Caput Secundum.

Nvmeri igitur multipliciter adinuicem possunt comparari. Et primo secundum proportionem aequalitatis et inaequalitatis: quia proportio ut numeri ad numerum in communi immediate in proportionem aequalitatis et inaequalitatis diuiditur. Proportio autem aequalitatis: prout in numeris reperitur: est quum duo numeri inter se aequales adinuicem comparantur: ut binarius ad binarium: et ternarius ad ternarium: et sic de aliis aequalibus numeris: de hac autem proportione sat erit: Quod dictum est: Tum quia materia eius angusta est: quum proportio aequalitatis naturaliter sit indiuisa: nec plures habeat differentias: sicut habet proportio inaequalitatis: Tum quia non est de consideratione musici: quia non inter aequales: ut palam fiet. Sed inter inaequales sonos: Quorum numeri sunt mensurae: ille decernit: Proportio autem inaequalitatis est: quum duo numeri inter se inaequales adinuicem comparantur: haec autem inaequalitatis proportio: ratione eius quod est simpliciter continere: uel simpliciter contineri: in duo inferiora secatur genera: Si [-f.IIr-] enim maior numerus ad minorem comparetur prout ipsum minorem continet simpliciter: non autem isto uel illo modo: tunc oritur unum genus quod proportio maioris inaequalitatis appellatur: Si uero minor numerus ad maiorem referatur: prout ab ipso maiore simpliciter continetur: non autem isto uel illo modo: tunc adest genus: quod proportio minoris inaequalitatis uocatur: quod si continere et contineri: accipiantur non simpliciter: sed isto uel illo modo: tunc a quolibet illorum alia quinque nascentur genera: eo quod quinque modis: maior numerus potest continere minorem: et totidem minor a maiori contineri: in proportione nanque maioris inaequalitatis: aut maior numerus continet minorem pluribus integris uicibus praecise: aut semel tantum et insuper partem eius aliquotam: aut continet minorem pluribus integris uicibus et insuper partem eius aliquotam: aut continet minorem semel et insuper partem eius non aliquotam: uel continet minorem pluribus integris uicibus: et insuper partem eius non aliquotam: nec pluribus modis adinuicem se possunt habere numeri in proportione maioris inaequalitatis: ut patet discurrenti: Istorum autem primus modus uocatur: Genus multiplex: Secundus: superparticulare: Tertius uero Qui ex istis duobus componitur: Multiplexsuperparticulare appellatur: Et Quartus: superpartiens: Quintus autem et ultimus modus: Qui ex Multiplici et superpartienti componitur: Multiplexsuperpartiens nuncupatur: Similiter in proportione minoris inaequalitatis: aut minor numerus continetur a maiori pluribus integris uicibus praecise: aut semel tantum et insuper pars eius aliquota: uel pluribus integris uicibus: et insuper pars eius aliquota: uel semel tantum et insuper pars eius non aliquota: uel pluribus integris uicibus: et insuper pars eius non aliquota: et sic habemus alios quinque modos in proportione minoris inaequalitatis reperibiles: quibus quidem modis correspondent alia quinque genera supradictis quinque generibus opposita relatiue: Quae eisdem suorum oppositorum nominibus uocantur: sola: sub: praepositione praeposita hoc modo dicendo: scilicet: submultiplex: subsuperparticulare: et submultiplexsuperparticulare: subsuperpartiens: et submultiplexsuperpartiens: Sic igitur proportionum ut numeri ad numerum diuisione completa: adhuc ad earum uberiorem intelligentiam scire oportet: quod proportio maioris inaequalitatis et proportio minoris inaequalitatis sunt idem subiecto et materialiter: et differunt secundum formam et rationem: probatur: nam proportio maioris inaequalitatis: et proportio minoris inaequalitatis sibi inuicem oppositae relatiue: quum eadem extrema praecise et eandem omnino habeant distantiam: et haec tria totam utriusque materiam nobis prestent: manifestum est illas secundum materiam minime differre: at secundum formam quidem differunt: quia licet in ambabus sint iidem termini et eadem inter terminos distantia: ut dictum est: non tamen forma et ratio distandi est eadem in utrisque: nam alia quidem ratione distat maior terminus a minori: et alia minor a maiori: maior enim distat a minori secundum excessum: et econtra minor a maiori secundum defectum: palam autem excessum et defectum non esse idem secundum formam: et rationem: et per consequens: proportio maioris inaequalitatis in qua quantum maior terminus excedat minorem: et proportio minoris inaequalitatis in qua quantum minor a [-f.IIv-] maiori deficiat: speculamur: differunt secundum formam et rationem: Amplius quia ad istorum generum distinctiones concurrunt isti termini: pars aliquota et pars nonaliquota: ut uisum est: ideo Quid sit utraque illarum oportet elucidare: Pars aliquota est Quae aliquotiens sumpta reddit praecise suum totum: ut unitas respectu binarii: bis enim sumpta restituit praecise suum totum: hoc est: binarium: Eadem ratione binarius est pars aliquota respectu quaternarii: et ternarius respectu senarii: et sic de similibus: Pars uero nonaliquota huic opposita: est quae aliquotiens sumpta non reddit praecise suum totum: ut ternarius respectu septenarii: bis enim sumptus a summa sui totius deficit: Ter autem sumptus summam sui totius transcendit: ut de se patet. Similiter et in aliis numeris per praedictam artem facile erit inuenire: quae partes illorum sint aliquotae et quae nonaliquotae.

De ratione ordinis praedictorum Generum. Caput Tertium.

Ratio autem ordinis secundum quem predicta disposuimus genera: sumitur penes maiorem uel minorem unitatum multitudinem: quarum scilicet multitudinum ex unaquaque tanquam ex materia elici possunt termini primi et minimi: quibus inaequalitatis proportio secundum singula eius genera successiue saluari potest: ita quod sicut minor unitatum multitudo semper praecedit naturaliter maiorem unitatum multitudinem: ut multitudo duarum unitatum multitudinem trium unitatum: et sic deinceps secundum naturalem seriem numerorum: ita quanto minori unitatum multitudine potest proportio inaequalitatis secundum aliquod genus saluari: Tanto prius ordine nature illud genus habetur: et quanto maiori unitatum ad hoc indigemus multitudine: Tanto posterius genus resultans iudicatur: Prima autem et minima multitudo qua potest proportio inaequalitatis secundum aliquod genus saluari: est. Multitudo trium unitatum: Probatur: Quia in proportione inaequalitatis secundum quodlibet genus: semper necessario requiritur maior et minor terminus: ut ex iam dictis liquere potest: Quod quidem primo in multitudine trium unitatum inuenitur nec in minori potest reperiri multitudine: ergo prima et minima unitatum multitudo: qua potest proportio inaequalitatis secundum genus constare: est trium unitatum multitudo: Totum patet argumentum praeter secundam antecedentis: partem quae sic probatur: in materia enim trium unitatum potest fieri comparatio maioris termini ad minorem terminum: ut duas unitates ad unam comparando: Quod in minori non contingit multitudine: quae tantum una est: scilicet duarum unitatum multitudo: ubi nullo pacto maioris ad minorem: sed aequalis tantum ad aequalem terminum: fieri potest comparatio: ut unitatis ad unitatem: quae inter se sunt aequales: Multiplex igitur genus in ordine maioris inaequalitatis: et submultiplex in ordine minoris inaequalitatis: recte primum posuimus occupare locum: eo quod ad eorum inuentionem prima et minima: quae est trium unitatum: sufficit multitudo: nam in materia trium unitatum: si duas ad unam: et econtra unam ad duas: comparare tentaueris: inuenies: continere et contineri pluribus integris uicibus praecise: quorum primum [-f.IIIr-] de ratione multiplicis: secundum uero de ratione submultiplicis esse: paulo ante diximus: superparticulari autem et subsuperparticulari unicuique in suo ordine secundum assignauimus locum: quia ista genera immediate post primam: maiori multitudine qua potest proportio inaequalitatis secundum aliud genus saluari: perfici possunt: haec autem multitudo est quinque unitatum: Nam si tres unitates ad duas: et econtra duae ad tres referantur: inuenies: continere et contineri semel tantum cum parte aliquota: Quod ad istorum generum naturam pertinere ex supradictis est manifestum: nec mireris: si nullam in isto ordine de quattuor unitatum multitudine fecimus mentionem: Quia in materia quattuor unitatum: Quomodocunque fiat comparatio: non resultabit nisi uel proportio aequalitatis: ut quum duae unitates ad alias duas unitates referuntur: uel resultabit aliqua inaequalitatis proportio: Quae generum antecedentium erit species: ut si tres unitates ad unam referas nimirum proportio tripla resultabit: Quae multiplicis generis est species: et si econtra: unam ad tres comparaueris: subtripla nascetur proportio: Quae submultiplicis generis est species: hic autem neque de proportione aeqnalitatis neque de ordine specierum a praedictis generibus emanantium: Sed tantum de ordine ipsorum generum: ad praesens intendimus loqui: Quare rationabiliter in isto ordine: Quattuor unitatum praetermisimus multitudinem: et si in constitutione huius ordinis alia forte praetermissa fuerit multitudo: hoc eadem ratione scias esse factum: qua multitudinem quattuor unitatum praetermitti superius diximus: ideo deinceps multitudines tantum ad propositum nostrum facientes accipiemus: Tibi curam de praetermissis rationem reddere derelinquentes: De ordine igitur generum ulterius prosequentes dicamus quod multiplexsuperparticulare et submultiplexsuperparticulare tertio succedunt loco: Quia multitudine secunda immediate maior multitudo qua potest proportio inaequalitatis secundum nouum genus saluari: est septem unitatem multitudo istis generibus potens deseruire: nam per comparationem quinque unitatum ad duas: et duarum ad quinque: eorum natura completur: ut ex suprapositis generum descriptionibus patere potest: Quartus uero locus superpartienti et suo compari conuenit: Quia post tertiam multitudinem immediate sequens multitudo qua potest proportio inaequalitatis secundum aliud nouum genus saluari: est octo unitatum multitudo quarum si quinque ad tres: et econtra: Ttres ad quinque comparaueris: statim haec duo consurgent genera: ut patet per eorum descriptiones: Quintus uero et ultimus locus multiplicisuperpartienti: et submultiplicisuperpartienti derelinquitur: et recte quidem: Quia post quartam multitudinem immediate maior multitudo qua potest proportio inaequalitatis ultimo secundum aliud nouum genus saluari: est undecim unitatum multitudo: quarum si octo ad tres: et econtra: Tres ad octo: comparare libuerit: haec duo procreari genera minime dubitabis: et ut planius tibi omnia quae de tali ordine iam diximus: innotescant: arboream inspicias figuram: in qua simul et pluralitatum et generum secundum proportionem maioris et minoris inaequalitatis ordo facile deprehenditur.

[-f.IIIv-] [Musica theorica, f.IIIv; text: Multiplex superpartiens. Superpartiens, Multiplexsuper particulare, Superparticulare, Multiplex, Generum maioris inaequalitatis ordo. XI, VIIJ, VII, V, IIJ, Pluralitatum ordo. Submultiplexsuperpartiens. Subsuperpartiens, submultiplex super particulare, Subsuperparticulare, submultiplex, Generum minoris inaequalitatis ordo.] [FOLMUS1 01GF]

Cuiuslibet generis inferioris ad proportionem maioris inaequalitatis specierum procreatio. Caput Quartem.

Et si proportionum genera sint finita: ut superiori capite uisum est: eorum tamen species non sunt finitae: sed in infinitum procedunt: Nam si secundum naturalem numerorum seriem: unumquemque numerum: sine aliqua intermissione: a binario incipiens ad unitatem comparaueris: procreabuntur multiplicis generis species: Quarum prima: Dupla uocabitur: eo quod unitatem bis continet binarius: Secunda uero: Tripla: Quia unitatem ter continet ternarius: et sic in infinitum ut per hanc ad monemur figuram.

[-f.IIIIr-] [Musica theorica, f.IIIIr,1; text: Quintupla, Quadrupla, Tripla, Dupla, 1, 2, 3, 4, 5] [FOLMUS1 02GF]

Si uero omnino praetermissa unitate: ternarium ad binarium: et quaternarium ad ternarium: et sic in infinitum semper immediate maiorem numerum ad minorem comparaueris: statim superparticularis generis ordinate consurgent species: Quarum quaelibet a sua parte aliquota denominatur: nam illa proportio cuius pars aliquota fuerit dimidium: uocabitur sesquialtera: illa autem proportio cuius pars aliquota fuerit tertia pars: appellabitur sesquitertia: et sic de singulis secundum istum ordinem in infinitum procedendo: pro quo talis figura describatur.

[Musica theorica, f.IIIIr,2; text: Procreatio spetierum superparticularis generis. Sesquialtera, Sesquitertia, Sesquiquarta, sesquiquinta, 2, 3, 4, 5, 6] [FOLMUS1 02GF]

Generis autem multiplicis superparticularis in ordine generum tertii: species producentur: Si cuiuslibet superparticularis proportionis minor terminus addatur maiori: et resultanti rursus addatur isdem minor: et sic successiue: cuilibet resultanti semper addendo eundem minorem: tunc enim quilibet numerus resultans: respectu minoris: necessario se habebit in aliqua proportione de genere multiplici superparticulari: exempli causa: in sesquialtera proportione: si binarium ternario addas: resultabit quinarius: qui ad binarium se habet in proportione [-f.IIIIv-] duplasesquialtera: et si Quinario rursus addas binarium: resultabit septenarius: qui ad binarium correspondet in proportione triplasesquialtera: et sic de singulis multiplicibussesquialteris: quod si a sesquitertia incoeperis predicto ordine procedens habebis omnes multiplicessesquitertias et sic de aliis in infinitum: ut patet in istis figuris.

[Musica theorica, f.IIIIv,1; text: Quadruplasesquialtera, Triplasesquialtera, Duplasesquialtera, 2, 5, 7, 9] [FOLMUS1 03GF]

[Musica theorica, f.IIIIv,2; text: Quadruplasesquitertia, Triplasesquitertia, Duplasesquitertia, 3, 7, 10, 13] [FOLMUS1 03GF]

Nunc de speciebus superpartientis generis oportet perscrutari: Dicamus igitur quod superpartientis generis species: Aliae sunt superbipartientes: Aliae supertripartientes: Aliae superquadripartientes: et sic in infinitum: secundum naturalem numerorum seriem procedendo: superbipartientes autem inueniuntur inter quoscunque numeros binario tantnm differentes: ipsoque binario maiores: et quorum ipse binarius non potest esse mensura communis: nec duae sine tertia sufficiunt obseruationes: nam tertia deficiente contingeret: quod praeter praesentem intentionem: plures in isto ordine acceptae proportiones: saepe cum [-f.Vr-] speciebus generis superparticularis coinciderent: sicut in senario contingit et quaternario: et in aliis similibus numeris: in quibus tertia deficit obseruatio: Quos diligens lector per semetipsum facile notabit: Prima igitur superbipartiens primo inter ternarium et quinarium reperitur: eo quod in naturali serie numerorum: primo hii qui praedictam legem patiantur: occurrunt numeri: sunt enim solo binario differentes: ipsoque binario maiores: nec binarius est illorum mensura communis: ut patet: uocaturque talis proportio: superbipartienstertias: quia quinarius continet semel ternarium: et insuper duas eius tertias partes: scilicet duas unitates: secunda uero superbipartiens: Quae superbipartiensquintas appellatur: primo inter quinarium et septenarium inuenitur: Tertia inter septenarium et nouenarium: et sic deinceps: semper accipiendo numeros tribus praedictis obseruationibus non repugnantes: Alias quoque huius generis species per artem praedictam: facile erit inuenire: Quemadmodum enim se habet binarius in exquirendis omnibus superbipartientibus: eodem modo praecise se habet ternarius in exquirendis omnibus supertripartientibus: et Quaternarius in exquirendis omnibus superquadripartientibus: et sic de reliquis superpartientibus: quod quidem facilius intelliges si diligenter has inspexeris figuras in quibus productio et ordo talium proportionum continetur: etiam si in infinitum procedere uolueris.

[Musica theorica, f.Vr; text: Procreatio superbipartientium, superbipartienstertias. superbipartiensquintas. superbipartiensseptimas. superbipartiensnonas. 3, 5, 7, 9, 11] [FOLMUS1 04GF]

[-f.Vv-] [Musica theorica, f.Vv,1; text: Procreatio supertripartientium. supertripartiensquartas. supertripartiensquintas. supertripartiensseptimas, supertripartiensoctauas. supertripartiensdecimas. 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13] [FOLMUS1 05GF]

[Musica theorica, f.Vv,2; text: Procreatio superquadripartientium. superquadripartiensquintas. superquadripartiens. VII. superquadripartiensnonas. superquadripartiensundecimas. superquadripartiens XIII. 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17] [FOLMUS1 05GF]

[-f.VIr-] Vltimi generis species eodem praecisemodo generantur, quo Multiplicis superparticularis species: supradiximus generari: ideo de illarum generatione in his quae subiiciuntur figuris exempla tantum ponere sufficiat.

[Musica theorica, f.VIr,1; text: Quintupla superbipartienstertias, Quadrupla superbipartienstertias, Tripla superbipartienstertias, Dupla superbipartienstertias, 3, 8, 11, 14, 17] [FOLMUS1 06GF]

[Musica theorica, f.VIr,2; text: Quadrupla supertripartiensquartas. Tripla supertripartiensquartas. Dupla supertripartiensquartas. 4, 11, 15, 19] [FOLMUS1 06GF]

[Musica theorica, f.VIr,3; text: Quintupla superquadripartiensquintas. Quadrupla superquadripartiensquintas. Tripla superquadripartiensquintas. Dupla superquadripartiensquintas. 9, 14, 19, 24, 29] [FOLMUS1 06GF]

[-f.VIv-] Et sicut in istis tribus figuris superbipartientes tertias: et supertripartientes quartas et superquadripartientes quintas: miscentur cum multiplicibus: ita et superbipartientes quintas: septimas: nonas et supertripartientes quintas: septimas: octauas: et similiter: quadripartientes septimas: nonas: undecimas: et sic deinceps: eadem arte cum multiplicibus commisceri possunt: ut ex discursu tibi palam fieri potest: Amplius scire oportet: quod omnia. Quae de generatione specierum maioris inaequalitatis diximus: ualent ad generationem specierum minoris inaequalitatis: et uniuersaliter: Quaecunque iam docuimus: et in consequentibus docebimus de proportione maioris inaequalitatis: possunt ad proportionem minoris inaequalitatis applicari: quantum enim ad hoc: de utrisque idem est iudicium.

Quomodo cuiuscunque proportionis Radices inueniantur. Caput Quintum.

Radices proportionis arithmeticae sunt minimi termini: Quibus potest haec uel illa constare proportio: Minimi autem in quacunque proportione termini semper sunt numeri contra se primi: idest numeri qui nullam omnino: praeter unitatem: possunt habere communem mensuram: Qua possint adinuicem secundum talem uel talem proportionem commensurari: unde si binarius: uel ternarius: uel quicunque alius maior numerus: siue unus tantum: siue plures: simul alicuius proportionis terminos forte commensurauerint: Tunc signum est quod illi: Qui primo accipiebantur termini: non erant in illa proportione minimi et radices: Modus autem quo illas in quacunque proportione uenamur est hic: Datorum terminorum minorem a maiori: et rursus de reliquis minorem a maiori detrahe: et sic semper minorem a maiori detrahendo donec peruentum fuerit ad aequalitatem terminorum: Quae quidem aequalitas necessario et semper terminatur: uel ad unitatem: et sic tales numeri sunt contra se primi: ut patet: et per consequens optatae radices habentur: uel terminatur ad aliquem alium numerum: et tunc numeri secundum quos: numerus per ultimam subtractionem inuentus mensurat terminos prius acceptos: erunt propositae proportionis radices: exemplum primi: Septenarium: et nouenarium: cognoscimus esse radices proportionis inter ipsos contentae: quia sublato septenario a nouenario relinquitur binarius: et si hunc a septenario auferas: remanebit quinarius: et iterum binario a quinario sublato: relinquitur ternarius: a quo si binarium auferas: habebis unitatem: et unitate a binario sublata: relinquitur alia unitas priori unitati aequalis: et quia talis aequalitas terminatur ad unitatem: ideo ob prius dictam causam: huiusmodi terminos eius quae inter ipsos clauditur: proportionis: Radices esse iudicamus: nec ulteriori resolutione: seu diuisione in minores terminos: opus est: nam in praedicta proportione minores quam sint septenarius et nouenarius: terminos inuenite est omnino impossibile: ut patet: Exemplum secundi: senarius et denarius: an eius quam claudunt: sint proportionis radices: si forte propositum fit inquirere: necessario secundum predictum [-f.VIIr-] modum oportet: senarium a denario resecare: quo facto: tibi remanebit quaternarius: quo a senario dempto: binarium habebis: qui a quaternario et ipse sublatus: statim alium binarium sibi coaequalem derelinquit: et quum huiuscemodi aequalitas terminetur ad binarium: et non ad unitatem: palam quod termini primo accepti: scilicet denarius et senarius: non erant proportionis radices: sed numeri secundum quos binarius mensurat denarium et senarium: hi autem sunt ternarius et quinarius: nam binarius: ter senarium et quinquies denarium intrat: qui duo numeri: scilicet ternarius et quinarius: illius proportionis: quae inter senarium et denarium claudebatur: sunt minimi termini et radices: et sic eodem modo praecise inter quoscunque alios terminos qni praeter unitatem: habent communem mensuram: radices inuenire seu cognoscere poteris: siue illa commensuratio fuerit possibilis tantum per unum numerum praeter unitatem: siue per plures: quoniam praedicta subtractio: seu terminorum diuisio: nunquam terminatur ad alium numerum: quam ad illum: qui uirtute suae commensurationis: aptus natus est minimos intentae proportionis dare terminos et radices: ut patet discurrendo per omnes proportionum terminos.

Datam in quibuscunque numeris plurium proportionum continuam connexionem: radicitus inuenire. Caput Sextum.

In quacunque plurium proportionum coordinatione: unus tantum terminus tibi occurrens primus et incompositus: quicunque fuerit ille: praeter minimum: sufficit ad ostendendum illum ordinem in suis radicibus fundari: terminus uero siue numerus primus et incompositus: est qui sola unitate metitur: quem ut facilius cognoscas: est huiusmodi naturae quod neque septenarium: neque quinarium: neque ternarium pluribus integris praecise uicibus: neque binarium semel tantum: neque pluribus integris praecise uicibus in se recipit: ideo in exquirendis cuiuslibet ordinis radicibus: praedictis quattuor utere numeris a septenario semper exordium sumens: Dixi autem: praeter minimum: Quoniam si minimus tantum fuerit primus: non propter hoc opinandum est: talem ordinem in suis radicibus fore collocatum: immo tentare oportet: an per illum caeteri commensurentur termini: et si forte commensurentur: ut saepe contingit: tunc ipsius minimi ac reliquorum terminorum partes ab ipsomet minimo denominatae: erunt radices: si uero non commensurentur a minimo: palam quod ipsimet erunt suarum proportionum radices: At si forte nullum terminum inueneris primum et incompositum: tunc necessario uel omnes et singuli erunt per aliquem numerorum quattuor praedictorum simul commensurabiles: uel hic quidem per unum: uel forte per plures ex quattuor: et hic per unum alium uel per plures: et sic deinceps: commensurabitur: ita tamen quod nunquam omnes ab aliquo uno numero communem recipient mensuram: si secundum: palam quod accepti numeri erunt radices: quum sint adinuicem primi: licet quilibet per se et absolute acceptus: sit compositus: si uero primum: tunc singulos numeros a quibus uices introitus numeri mensurantis in numerum mensuratum: denominantur: ordinatim sub principalibus numeris conscribito: idest si mensurans introibit semel mensuratum: tunc sub ipso [-f.VIIv-] mensurato pones unitatem: si bis: pones binarium: si ter: pones ternarium: et sic de aliis: De quibus sic resultantibus consequenter idem facies scrutinium: quod de principalibus fecisti: sic semper subdiuidendo donec uel quod aliquis terminus primus et incompositus tibi occurrat: per quem propositi ordinis radices inotescant: sicut paulo ante didicisti: uel quod tibi remaneant numeri singulatim et in se compositi: qui tamen adinuicem relati sint contra se primi: quod facile iudicabis: quando nullus ex quattuor iam dictis numeris: omnes illos solus et per se mensurare poterit: et sic te in radices incidisse comprehendes: Quem omnia subditae exemplariter manifestant figurae.

[Musica theorica, f.VIIv,1; text: Exemplum primae perscrutationis. Ordo principalis de quo, 48, 35, 29, 15, 12, Primus et incompositus citra minimum.] [FOLMUS1 07GF]

[Musica theorica, f.VIIv,2; text: Exemplum secundae perscrutationis. Ordo principalis de quo. 44, 22, 11, Ordo radicalis, 4, 2, 1, Minimus primus et incompositus caeteros mensurans. Exemplum tertiae perscrutationis, Ordo principalis de quo. 20, 18, 14, 11, Minimus primus et incompositus caeteros non mensurans, Exemplum quartae perscrutationis, Ordo principalis de quo. 28, 24, 21, 20, Numeri singulatim compositi: adinuicem vero primi et radices] [FOLMUS1 07GF]

[-f.VIIIr-] [Musica theorica, f.VIIIr; text: Exempla quintae perscrutationis:- Ordo principalis de quo 60, 48, 30, 12, Ordo resultans ex mensura ternarij, 20, 16, 10, 4, Ordo resultans ex mensura binarij. 10, 8, 5, 2, Primus et incompositus, Ordo principalis de quo, 200, 175, 140, 135, Ordo resultans ex mensura quinarij, 40, 35, 28, 27, Hic radices terminant ad numeros singulatim compositos: Qui tamen adinuicem relati sunt primi] [FOLMUS1 08GF]

Quotlibet proportiones ordine continuato aggregare. Caput Septimum.

Si forte contingat duas uel tres uel quotlibet proportiones siue eiusdem rationis siue diuersarum rationum: ordine continuato simul aggregare: ita quod unaquaeque debitos habeat terminos: hoc modo procedes: in primis: Proportionum radices in illo dispones ordine: secundum quem illas intendis aggregare: quo facto: mox per radicem secundae minorem: ambas primae: et per maiorem eiusdem secundae: maiorem tantum primae: multiplicabis: similiter: per radicem tertiae minorem: singulos resultantes terminos: et per maiorem eiusdem tertiae: maximum tantum resultantium terminorum: multiplicare curabis: et sic secundum istum ordinem semper procedendo: donec omnes propositae proportiones simul aggregentur: et ut plane intelligas: Accipiamus proportiones quattuor in suis radicibus sic ordinatas. 4. 3. 7. 5. quas si simul aggregare uolueris: opus erit: per radices sesquialterae. 3. 2. 5. 4. Quae est secunda: in predicto ordine: radices sesquitertiae: quae prima est: multiplicare: multiplicare inquam: ut paulo ante docuimus: ex qua multiplicatione resultabunt isti termini. 6. 8. 12. et sic habebis illas duas proportiones simul aggregatas: quamlibet debitis terminis clausam: quod si illis duabus tertiam annectere libuerit: tunc illos resultantes terminos: per radices tertiae multiplicabis: et isti orientur termini. 30. 40. 60. 84. similiter quartam praedictis aggregabis: si quattuor productos terminos per radices quartae multiplicare uolueris: ex qua multiplicatione isti consurgent numeri. 120. 160. 240. 336. 420. qui quattuor illas quas prius accepisti: proportiones includunt: ut in subscripta patet figura.

[-f.VIIIv-] [Musica theorica, f.VIIIv; text: Proportiones Aggregandae 4. 3. 3. 2. Duae, 7. 5. 5. 4. Proportiones Aggregatae. 6. 8. 12. 30. 40. 60. 84, Tres, Quattuor. 120. 160. 240. 336. 420.] [FOLMUS1 08GF]

Quod si forte harum aggregationum extremos tantum terminos sine intermediis producere tibi sufficiat: tunc per minorem radicem: prima tantum: caeteris quae diximus obseruatis: fiat multiplicatio: et habebis intentum: Nota quod quum duae tantum eiusdem rationis proportiones sine intermediis simul aggregantur: id non aggregare: sed multiplicare: uocant nonnulli: sed quia eadem uia est coaceruandi proportiones omnes: siue eiusdem sint rationis: siue diuersarum rationum: siue duae tantum: siue plures: siue cum intermediis siue sine intermediis: ideo de nominum distinctione parum curauimus: Tamen si forte hac nominum uti distinctione tibi placet: utaris et tu: sunt enim ad placitum nomina.

De subtractione proportionis a proportione. Caput Octauum.

Postquam de aggregatione proportionum satis determinauimus: Nunc opportunum est: De subtractione proportionis a proportione perscrutari: ut uere sciamus quo excessu una proportio aliam excedat proportionem: Quae quidem subtractio sic fit. Sint duae proportiones: Quarum differentiam quantitatiuam: siue excessum deprehendere sit intentio nostra: ad quod faciendum: primo oportet earum proportionum radices: secundum artem superius tradditam: inuenire: illasque ad instar quadrati disponere: duas scilicet unius proportionis: quaecunque sit illarum: in superiori: et duas alterius in inferiori latere situando: ita tamen quod utriusque proportionis minor terminus finistrum latus: et maior dextrum latus occupet: Quibus sic dispositis: per minorem superioris proportionis terminum: Maiorem inferioris: et econtra per minorem inferioris: maiorem superioris: secundum scilicet oppositos angulos: multiplicabis: et sic semper proportio illa ex cuius per minorem eius terminum: multiplicatione: resultans terminus: fuerit minor: erit excedens: illa uero ex cuius per minorem eius terminum: multiplicatione: [-f.IXr-] resultans terminus: fuerit maior: erit excessa: respectu sui comparis: Proportio autem quae inter duos terminos ex duabus illis multiplicationibus resultantes: clauditur: erit illarum excessus: et ut clarius quae dicta sunt: intelligantur: praesupponamus quod nescias: Quae istarum proportionum: scilicet. 4. 5. 6. 7. sit maior: uel minor: uelisque id inquirere: Illis igitur in quadrato: ut supra docuimus: dispositis: septenarium per quaternarium: et quinarium per senarium multiplicabis: et resultabunt isti termini. 28. et 30. quorum minor. Quia ex multiplicatione per minorem terminum proportionis quae est inter quaternarium et quinarium: resultat: ideo talis proportio est maior et excedens: et alia sibi correspondens: erit minor: et excessa: eo quod per minorem eius terminum: multiplicatio: maiorem dat terminum: scilicet. 30. Proportio autem quae inter resultantes terminos: qui sunt. 28. et . 30. Clauditur: erit praedictarum proportionum excessus: Quippe si illam cum minori: ut supra didicisti: aggregaueris palam quod maior resultabit proportio: Quod est signum: quod maior excedebat minorem de proportione: qnae est inter. 28. et 30. Sicut et in simplicibus numeris: si alter alterum excedit per aliquem numerum: talis numerus additus minori restituit praecise maiorem: unde quia senarius per binarium excedit quaternarium: ideo binarius additus quaternario restituit senarium: ut autem predictarum subtractio proportionum oculis obiiciatur: figuram de qua superius mentionem fecimus cum suis declarationibus describamus: Quae non modo ad hanc: sed etiam ad omnes alias proportionum subtractiones: esse uidebis utilem.

[-f.IXv-] [Musica theorica, f.IXv; text: Excedens. 4. 5. 6. 7. Excessa. Excessus. 28. 30.] [FOLMUS1 09GF]

De harmonica proportionalitate. Caput Nonum.

Licet in mathematicis plures inueniantur proportionalitates: sicut proportionalitas arithmetica: Proportionalitas: Geometrica: et proportionalitas harmonica: et plures aliae: tamen quia breuis esse laboro: omnibus aliis praetermissis quae nihil ad musicum omnino conferunt: De harmonica tantum proportionalitate: secundum quam omnis ordinatur harmonia: ut uidebitur inferius: hic loqui intendimus: Poportidnalitas igitur harmonica: est quando aliquis numerus inmedio duorum: alicuius proportionis: extremorum ita collocatur quod ipsorum extremorum proportio: est eadem secundum speciem: cum proportione quae inter differentiam maximi et medii: et differentiam medii et minimi termini: reperitur: quam quidem harmonicam medietatem seu proportionalitatem: inter quoscunque datos terminos hoc modo faciliter inuenire poteris: Primo per numerum ex aggregatis diuidendae proportionis radicibus resultantem: ipsasmet radices multiplicato: et sic duos harmonicae medietatis capaces habebis terminos propositam proportionem obseruantes: quippe termini cuiuscunque proportionis eodem numero: quicunque fuerit ille: multiplicati: non uariant speciem: ut patet inductiue: quibus sic inuentis eorum harmonicum diuisorem uenaberis hoc modo: scilicet a maiori istorum maiorem diuidendae proportionis radicalem terminum totiens subtrahendo: donec peruentum fuerit ad postremum [-f.Xr-] numerum inter ipsos mediantem: qui ab utrisque diuidendae proportionis radicalibus terminis: sit praecise commensurabilis: hoc est quod uterque illorum diuisim: sit pars illius aliquota: et sic talis numerus erit diuisor harmonicus: quod patebit si differentia: quae est inter ipsum et maximum: ad differentiam: quae est inter ipsum et minimum: referatur: huiusmodi enim differentias eandem inter se obseruare uidebis proportionem: quam maximus ad minimum comparatus obseruat terminus: quod est secundum naturam proportionalitatis harmonicae: ut patet per eius descriptionem superius datam: et ut omnia quae de hac proportionalitate hucusque diximus: faciliter apprehendas: nonnulla in quolibet genere ponemus exempla hoc modo.

[Musica theorica, f.Xr; text: Harmonicae proportionalitates in Genere Multiplici:- Proportio Diuidenda, Proportio Diuisa. Diuisor Harmonicus, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 20. Differentiarum proportio.] [FOLMUS1 09GF]

[-f.Xv-] [Musica theorica, f.Xv,1; text: Harmonicae proportionalitates in genere superparticulari. Proportio Diuidenda. Proportio Diuisa. Diuisor Harmonicus. 2, 3, 4, 5, 10, 12, 15, 21, 24, 28, 36, 40, 45, Differentiarum proportio.] [FOLMUS1 10GF]

[Musica theorica, f.Xv,2; text: Harmonicae proportionalitates in genere Multiplici superparticulari. Proportio Diuidenda. Proportio Diuisa. Diuisor Harmonicus. 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 14, 15, 20, 21, 35, 39, 45, 52, 60, 70, 72, 117, 130, Differentiarum proportio.] [FOLMUS1 10GF]

[-f.XIr-] [Musica theorica, f.XIr,1; text: Harmonicae proportionalitates in genere superpartienti. Proportio Diuidenda. Proportio Diuisa. Diuisor Harmonicus. 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 21, 35, 44, 45, 56, 63, 77, Differentiarum proportio.] [FOLMUS1 11GF]

[Musica theorica, f.XIr,2; text: Harmonicae proportionalitates in genere Multiplici superpartienti. Proportio Diuidenda. Proportio Diuisa. Diuisor Harmonicus. 3, 4, 5, 8, 11, 14, 15, 28, 33, 45, 48, 60, 77, 88, 98, 126, 140, 165, 166, Differentiarum proportio.] [FOLMUS1 11GF]

[-f.XIv-] Iam igitur cuncta: ut opinor: quae ab arithmetico musicus indiget edoceri: explicauimus Quomodo autem haec ad sonos applicentnr: in sequenti sectione fiet manifestum.