Back to top

[298] Tractatus II.

Capitulum I.

De maximis et minimis Distantiis Vocum consonantium.

Postquam in prima parte huius tractatus circa voces et sonos musicos pro introductionis brevitate dictum est, de ipsorum gravitate et acuitate, et numero, et ordine, et distinctione, ac denominatione, et de aliis quibusdam, quae circa istorum considerationem necessaria videbantur: In hac secunda parte dicendum est de sonorum et vocum musicorum consonantiis, et earum speciebus et intervallis ac distantiis, et eorum proportionibus, quae diversificant eorum species et modos, ac consonantias ad invicem.

Ad inveniendum itaque musicorum sonorum et vocum intervalla et distantias imaginandum est, quod sicut duorum hominum per distinctos ac diversos gradus inferiores et superiores in aliqua scala, habente solos VIII. gradus, simul ascendentium, vel simul descendentium distantia et elongatio ab invicem mensuratur per numerum mediorum graduum inter ipsos, quia distantes uno gradu distant per minimum intervallum, quod possibile est in scala: distantes vero per totius scalae intervallum, quod est maximum, distant sex gradibus intermediis, quando infimus fuerit in primo gradu scalae, et supremus in octavo gradu ipsius scalae. Ita suppositis ad praesens istis tribus: primo quod unus perfectus tenor musicae consonantiae octo vocibus sive sonis musicis terminatur, et completur, et non pluribus nec paucioribus: secundo, quod quaelibet arsis et thesis inter duos sonos vel voces duplo graves vel acutas facit acutissimam musicam consonantiam: tertio, quod sola arsis et thesis facit multitudinem et intervalla ac distantias in sonis seu vocibus quasi per quosdam gradus: patet quod elevatio uniuscuiusque primae vocis vel soni a gravitate in acuitatem per duplum acuitatis, quod est usque ad octavam, est per maximum intervallum illius tenoris cantus, ac proinde facit maximam distantiam, quae est possibilis in VIII. sonis seu vocibus. Elevatio vero uniuscuiusque vocis aut soni ad suam proximam et immediatam est per minimum intervallum: et proinde per minimam distantiam. Et eodem modo habet se in depressione sive in demissione soni et vocis ab acuitate in gravitatem

Maxima ergo distantia in VIII. vocibus, quae est a prima in octavam, per duplum, [299] facit consonantiam musicam, quae vocatur diapason, quasi consonantia perfecta, vel consonantia de omnibus, videlicet VIII. vocibus unius perfecti tenoris musici cantus: quia supra diapason non fit elevatio, nec infra ipsam depressio quae faciat musicam consonantiam: de qua diapason utrum sit consonantia, et secundum quid dicatur consonantia, postmodum dicetur. Minima vero distantia inter aliquas duas voces est inter quamlibet litteram ad immediatam sibi proximam; sicut a [Gamma]. ut, in A. re, et ab A. re, in B. mi, et sic de reliquis, quae distantia est per minimum intervallum, et facit consonantiam, quae dicitur tonus: excepto quod ubicunque est E. la. mi, ibi inter ipsam et proximam sequentem F. fa. ut. non est maior pars toni, quae dicitur apoteme, sed minor pars secundum Boetium, et vocatur illa consonantia semitonium; non a semis, quod est dimidium, ut intelligatur semitonium esse dimidius tonus, quia tonus in duas aequales partes dividi non potest, ut postmodum patebit: sed vocatur semitonium a semus sema, quod idem est quod imperfectus: inde semitonium quasi imperfectus tonus, sicut semivocales dicimus non dimidias vocales, quia una vocalis littera non potest dividi in duas, sed dicimus semivocales quasi imperfectas vocales. Similiter inter A. la. mi. re. superius et inferius, et inter C. sol. fa. ut. inferius, et c. sol. fa. superius, et generaliter ubicunque in una littera vel voce est fa, et infra ipsam vel supra ipsam est mi, ibi est semitonium.

Est autem distantia in vocibus elongatio unius vocis ab alia, secundum arsin et thesin: omnis enim consonantia musica habet duas voces sibi consonantes secundum modum et speciem uniuscuiusque consonantiae musicae, in quarum una est thesis, in alis arsis illius consonantiae. Intervallum vero illarum duarum vocum est medium spatium distantiae ipsarum, cuius quantitate et proportione quantitas, et proportio ipsius distantiae mensuratur.

Capitulum II.

De mediis intervallis et distantiis Vocum inter maximas et minimas.

Deinde media intervalla et distantiae vocum inter praedictas maximas et minimas sumuntur secundum saltum uniuscuiusque vocis ad aliam ascendendo vel descendendo omissis aliquibus mediis: et hoc fit vel ab unaquaque voce ad tertiam per duo intervalla omissa una voce media: quod fit duobus modis, aut per duo intervalla integra duorum tonorum, et haec consonantia vocatur ditonus, id est, duplex tonus, quia continet spatium seu intervallum duorum tonorum: aut per spatium unius toni integri et semitonii, et haec consonantia dicitur semiditonus, id est, unus integer tonus et unus imperfectus. Vel fit iste saltus ascendendo seu descendendo ab unaquaque voce ad quartam, et haec consonantia appellatur diatessaron, id est, consonantia de IIII. vocibus, et continet spatium duorum tonorum et semitonii. Vel ab unaquaque voce ad quintam ascendendo vel descendendo, et haec nuncupatur consonantia diapente, id est, consonantia de quinque vocibus, et continet intervallum trium tonorum et semitonii. Et notandum, [300] quod cum in praedictis consonantiis sit et nominetur primo tonus, qui habet duas voces et semitonium, quod est imperfectus tonus, et ditonus nominatus a duobus tonis: tritonum tamen non habemus nec nominamus, sed loco eius duos tonos cum semitonio dicimus, quia in musica tres toni absque interpositione semitonii vel mutatione vocis se nullatenus immediate consequuntur, cuius causam postmodum assignabimus.

Capitulum III.

Quot sint species Consonantiarum musicarum.

Cum igitur, sicut prius dictum fuit, consonantia in Musica proprie dicatur, ubi ex vocibus dissimilibus concidentia fit in aliquam similitudinem dissimilium tanquam in medium; patet, quod secundum hanc rationem non sunt proprie nisi sex musicae consonantiae, videlicet tonus, semitonium, ditonus, semiditonus, diatessaron, et diapente, secundum Guidonem, qui diapason non dicit esse consonantiam dissimilium vocum in aliquam similitudinem, sed earundem vocum gravium repetitionem in duplo acutis. Secundum Boetium vero et sequaces ipsius diapason est septima consonantia et optima, ex eo quod reddit easdem voces in gravi, quae sunt in acuto, cum aliae consonantiae non reddant easdem voces, sed alias et alias in unam aliquam consonantiam concidentes. Huius autem ratio est, quod sicut dicit Aristoteles libro Problematum, parte XVIII. Omnis consonantia in musica rationem habet ex eo, quod est, sonos contrarios vel dissimiles in aliquo medio convenire; contrariorum namque sonorum repugnantia ad invicem naturam auditus contristat, propter quod ipsorum convenientia delectat. Haec autem consistit in medio harmonicae proportionis. In aliis autem consonantiis, quae se habent secundum proportionem sesquialteram vel sesquitertiam, ut in diapente, et diatessaron, ut infra dicetur, non est simpliciter proportio totius ad totum secundum totum, sed proportio totius ad totum secundum partem vel partes totius, cuius proportionis medietas latet magis sensum: ut proportio IIII. ad tria, et trium ad quinque. In diapason vero est proportio medietatis totius ad totum secundum totum, in qua proportione medietas statim manifesta est sensui, cum in diapason sit proportio dupli et bis dupli, quorum medietas est medietas totius ad totum secundum totum, et non secundum partes. Unde manifestissima et delectabilissima est consonantia diapason.

Moderni vero musici addunt praedictis VII. consonantiis incluso diapason, adhuc alias duas quae non sunt simplices consonantiae, sed compositae, hoc est diapente cum semitonio: ut ab E. la. mi. inferiori ad c. sol. fa. ut. et diapente cum tono: ut a C. fa. ut. ad a. la. mi. re. ut sic fiant VIIII. consonantiae, licet duae ultimae compositae raro reperiantur vel occurrant in cantu regulari, sicut inferius dicetur.

Capitulum IIII.

De Proportionibus arithmeticis in genere.

Nunc tempus est dicere de proportionibus vocum praedictarum consonantiarum, [301] quae sumuntur ex proportionibus quantitatum suorum intervallorum inter distantias ipsarum vocum ab invicem secundum suam arsin et thesin. Proportiones enim vocum sumuntur ex quantitate suarum distantiarum. Quantitas vero distantiarum ex numero et quantitate mediorum spatiorum inter distantes voces. Numerus vero et quantitas mediorum spatiorum colligitur ex divisione et distinctione vocum seu sonorum in monochordo iuxta divisionem et distinctionem longitudinis et brevitatis spatiorum inter claves et puncta ipsius monochordi: vel ex proportionibus ponderum cymbalorum horologii. Ex quibus etiam Pythagoras et Plato primo proportiones vocum seu sonorum ad invicem invenerunt. Et quia proportiones istae sunt proportiones arithmeticae, quae primo reperiuntur in numeris et applicantur sonis sive vocibus musicis secundum quantitates spatiorum, quibus distant ab invicem: propter quod dicitur, quod musica artificialis est, quae considerat sonos secundum proportiones numerales sibi invicem commensuratas. Et Guido dicit, quod Musica est scientia mensurae motus vocum secundum arsin et thesin, et proportiones earum ad invicem. Propter hoc de proportionibus arithmeticis praemittendum est id, in quantum necessarium fuerit ad propositum. Proportio arithmetica est duorum numerorum aequalium vel inaequalium secundum quantitatem utriusque ad invicem facta collatio. AEquales numeri ad invicem sunt, quorum alter alteri comparatus ipsum non excedit vel exceditur ab eo. Inaequales sunt, quorum alter excedit alterum, quod contingit in maiori numero et minori. Maior enim est, qui excedit minorem: minor vero qui exceditur a maiori. Igitur proportio aequalis remanet indivisa, quia ut dicit Boetius I. Arithmeticae suae libro: Omnis aequalitas est simplex et finita, ac per hoc indivisa. Inaequalitas vero multiplex et numerosa; ac per hoc divisibilis in plura et caetera. Per quod patet solutio istius quaestionis: quare sub animali rationali mortali constituta sit una sola species specialissima, ut homo; sub animali vero irrationali mortali multae species specialissimae ut leo, ursus, cervus, lupus, canis, et similia: quia humanum corpus propter recipiendam nobilissimam animam scilicet rationalem oportebat consistere in medio temperantiae et aequalitatis disponentis ad talem animam. Illud vero medium aequale in eo quod aequale, erat indivisibile, et sic non erat multiplicabile in plura corpora specie: corpora enim et membra corporum animalium irrationabilium differunt specie secundum differentiam animarum, ut membra cervi et leonis, ut vult commentator I. de Anima.

Capitulum V.

De speciebus inaequalium proportionum simplicium et primarum.

Inaequalis vero proportionis, quae attenditur inter duos numeros maiorem scilicet et minorem, duae sunt species, quarum una dicitur prima et simplex, altera secunda et composita. Primarum itaque et simplicium proportionum inaequalium [302] sunt tres species principales tantum, sed adiunctis secundarum sunt V. species, quarum sufficientia sumitur in hunc modum. Cum enim omnis numerus maior in se contineat minorem et plus minore: Aut ergo maior continet in se minorem totum plusquam semel, utputa bis, et haec est dupla proportio eorum ad invicem, ut quaternarii ad binarium: aut ter, et est tripla proportio, ut sex ad duo: aut quater, et est quadrupla proportio, ut VIII ad duo: et sic in infinitum. Et haec species proportionis arithmeticae vocatur multiplex. Aut maior continet in se minorem semel, bis, vel ter, et sic in infinitum, et insuper aliquam eius partem, et hoc potest esse pluribus modis. Aut enim continet eum totum semel, et aliquam eius partem, et dicitur proportio superparticularis. Haec autem subdividitur in duas species hoc modo. Quia vel maior numerus continet in se minorem totum, et dimidiam partem eius, et haec est porportio sesquialtera: ut sunt VIIII. ad VI. et XII. ad VIII. Aut totum et eius tertiam partem, et est proportio sesquitertia: ut XII. ad VIIII, et XX. ad XV. Aut totum et eius quartam partem, et est porportio sesquadrupla, ut X. ad VIII. et XV. ad XII. et sic de aliis denominationibus partium sumendis secundum ordinem numeri in infinitum. Si vero maior numerus continet minorem totum et aliquas eius partes, haec proportio dicitur superbipartiens: et haec iterum subdividitur hoc modo; quia vel continet eum totum et insuper duas eius partes de tribus, et erit proportio superbipartiens, ut V. ad III. vel tres partes eius de IIII. et erit supertripartiens, ut VII. ad IIII. aut IIII. partes eius de quinque, et erit super quadripartiens, ut VIIII. ad V. et sic de aliis in infinitum.

Capitulum VI.

De Speciebus inaequalium proportionum compositarum et secundarum.

Secundarum vero et compositarum proportionum duae sunt species. Aut enim sunt compositae ex multiplici et superparticulari, et hoc erit duobus modis: quia scilicet vel maior numerus continet in se minorem bis vel ter aut pluribus modis, et insuper unam aliquam partem eius: et si bis et dimidiam partem, dicetur de multiplex sesquialtera: si ter et dimidiam partem, dicetur ter multiplex sesquialtera: si vero bis et tertiam partem, dicetur de multiplex sesquitertia: et si ter et tertiam partem, dicetur ter multiplex sesquitertia, et sic deinceps in aliis. Si vero maior numerus continet in se minorem bis vel ter, et insuper duas vel tres partes eius, si quidem duas habebit, dicetur de multiplex superbipartiens: si tres, dicetur de multiplex supertripartiens: si vero ter vel quater habet eum totum secundum suam denominationem accipiet a numero multiplicante, et multiplicato, ut supra dictum est: quia dicetur ter multiplex et quater multiplex, et sic de aliis in infinitum.

Praedictae ergo species proportionum inaequalium, videlicet tres primae simplices et compositae, et duae secundae et compositae comprehendunt omnes proportiones [303] arithmeticas in infinitum: quas Boetius in sua Arithmetica multum obscure et diffuse ponit et prosequitur. Sed nos simplicius et brevius voluimus eas ponere, in quantum sufficere ad propositum videbatur.

Capitulum VII.

De Proportionalitatibus et terminis et differentiis proportionum numeralium.

His habitis ad intelligentiam dicendorum sciendum est: quod secundum Boetium libro II. capitulo 12. differentia est inter proportionem et proportionalitatem. Proportio enim est duorum numerorum aequalium vel inaequalium, scilicet maioris et minoris numeri ad invicem comparatio, ut excessus vel aequalitas unius ad alterum videatur. Proportionalitas vero est proportionum duarum vel plurium ad invicem facta collatio. Terminus vero vel termini vocantur vel unus numerus vel duo, aut plures numeri positi contra se in exemplum, ut in ipsis aliqua proportio vel proportionalitas demonstretur. Differentia vero dicitur ille numerus medius, quo maior numerus superat minorem, et minor superatur a maiore: ut binarius est differentia inter IIII. et VI. quia VI. binario superant IIII. et ipsa IIII. binario superantur a sex. Numerus vero medietus dicitur, qui immediate secundum ordinem est positus inter duos suos extremos, ut ternarius inter binarium et quaternarium; et quaternarius inter quinarium et ternarium, et quinarius inter senarium et quaternarium, et sic de omnibus aliis, de quibus datur talis regula. Omnis numerus suorum proximorum extremorum sibi invicem aggregatorum est medius, verbi gratia: inter binarium et quaternarium ternarius est medius. Si ergo aggregaveris binarium quaternario, erunt sex: horum medietas est ternarius, et sic est de omnibus aliis.

Aliud est etiam numerorum proportio ad invicem, aliud commensuratio: quia omnes numeri sunt ad invicem proportionales, sed non omnes commensurabiles. Proportionales enim sunt omnes in eo, quod omnis minor numerus aliquotiens sumptus, vel secundum se, vel secundum aliquotam partem suam reddit maiorem, quia quidquid est porportionabile alicui, aliquotiens sumptum facit tantumdem. Sed in numeris aequalibus patet, quod omnis aequalis numerus minor multiplicando aliquotam partem maioris, vel multiplicatus ab aliquota parte maioris constituit ipsum maiorem, sicut binarius multiplicatus per L, seu quinquaginta facit centum; quinquagies enim duo faciunt centum: vel multiplicans aliquotam partem centenarii, facit centum, ut bis L. quae faciunt centum. In numeris vero inaequalibus patet similiter, quia ad minus unitas, quae est tota pars omnis numeri, quotus ipse numeratur, sumpta cum aliquota parte numeri minoris facit maiorem, sicut patet in quinque et in tribus. Nam tria sumpta secundum se, et secundum maiorem partem suam, quae est binarius, faciunt V. similiter est in III. et in V. secundum unitatem, quia IIII. sumpta secundum se, et secundum aliquotam partem sui, scilicet [304] secundum unitatem, quae est quarta pars in IIII. et quinta pars in V. constituunt similiter V. Unde datur talis regula. Omnes numeri sive aequales sive inaequales habent unitatem totam partem sui, quotus ipse numerus denominatur, verbi gratia: Unitas in centum est pars centesima, in mille millesima, in decem decima, in novem nona, in septem septima, in quinque quinta, et sic de aliis omnibus; unde datur alia regula: omnes numeri sunt ad invicem proportionales, quod patet, quia unitas quam habent omnes communem et minimam mensuram sui, est aliquota pars omnis numeri.

Capitulum VIII.

De numeris commensurabilibus et incommensurabilibus ad invicem.

Commensurati vero numeri ad invicem sive commensurabiles dicuntur soli tales, qui notam habent ad invicem unam aequaliter utrique communem mensuram: quod patet primo in dupla proportione, sicut inter duo et IIII. binarius est nota et communis mensura aequalis excessus eorum ad invicem, quia binarius exceditur a quaternario in duobus solum, et quaternarius excedit binarium in duobus solum. Similiter idem binarius est aequaliter communis mensura excessus duorum numerorum se habentium ad invicem in tripla proportione, sicut inter VI. et duo, quae habent proportionem triplam ad invicem: quia ter duo faciunt VI. et binarius est communis mensura amborum: quia duo superantur a VI. in binis duobus, id est, in IIII. et VI. superant duo in binis duobus, id est, in IIII. Similiter inter VIIII. et VIII. unitas est communis mensura utriusque numeri, quia novem superant VIII. in unitate; et VIII. superantur a VIIII. eadem unitate. Eodem modo habet se in speciebus proportionum superparticularium. Quod patet primo in sesquialtera proportione, ut in quaternario et senario: quorum similiter communis mensura est binarius tanquam aequalis differentia utriusque ad invicem. Similiter patet idem in proportione sesquitertia, ut se habent VIII. ad VI. quorum etiam communis differentia et mensura est binarius, cum maior numerus superet, et minor superetur in duobus.

Capitulum IX.

De Proportionibus Arsis et Thesis vocum musicarum sumtis secundum proportiones numerorum.

Praedictis itaque de natura et proprietate numerorum et proportionum, et mensurationum ipsorum ad invicem praesuppositis et diligenter notatis, sciendum est secundum quod dicit Boetius libro I. capitulo 29. quod proportio arsis et thesis, id est, elevationis et depressionis, et per consequens acuitatis et gravitatis vocum, quae facit musicas consonantias, non est in omnibus vocibus quibuslibet ad invicem comparatis, sed in illis solis, quae unam possunt habere communem mensuram gravitatis et acuitatis suae ad invicem sensu et ratione perceptibilem. Tales autem voces non possunt esse aliae nisi illae, quae in sua acuitate et gravitate sive elevatione et depressione ad invicem comparatae habent se secundum proportionem [305] duplarem vel triplarem, vel quadruplam, vel sesquialteram, aut sesquitertiam, aut sesquioctavam, et nequaquam secundum aliquam proportionem superpartientem vel eius speciem. Cuius ratio est, quia omnis consonantia musica tendit ex vocum dissimilitudine ad similitudinem sensu perceptibilem et ratione diiudicabilem.

Haec autem similitudo in vocibus dissimilibus et diversis non potest esse nisi in aliqua una aequaliter communi mensura excessus ipsarum vocum in sua acuitate et gravitate ad invicem: quae communis mensura est causa consonantiae diversarum et dissimilium vocum gravium et acutarum. Communis autem aequalis mensura excessus aliquorum sonorum vel vocum in sua acuitate et gravitate ad invicem non est sensu perceptibilis nec ratione diiudicabilis, nisi secundum tales proportiones, in quibus uno et eodem solo numero maior vincit minorem, et minor vincitur a maiori. Huiusmodi autem proportio in musica non est nisi aut dupla, aut tripla, aut quadrupla, aut sesquialtera, aut sesquitertia, aut sesquioctava: ergo omnes proportiones musicarum consonantiarum non sunt nisi aut secundum proportionem duplarem, aut triplarem, aut quadruplam, aut sesquialteram, aut sesquitertiam, aut sesquioctavam.

Hoc autem patet per oppositum ex natura et proprietate aliarum proportionum numeralium, sicut ex proportione superpartiente, et speciebus ipsius, secundum quam se habent ad invicem quinarius et ternarius: horum enim numerorum communis differentia seu mensura, sed non aequaliter, est binarius: quia non eadem quantitate et proportione mensurat quinarium et ternarium, et sic non est communis et aequalis mensura ipsorum: quia binarius semel comparatus ternario est minor eo, quia vincitur ab eo in unitate, bis autem ei comparatus excedit ipsum in unitate. Item bis comparatus quinario minor est, quia vincitur unitate ab ipso, quatuor enim a quinque minus sunt uno. Ter vero comparatus vincit quinarium unitate, quia facit sex, quae unitate superant quinarium. Huiusmodi autem dissimilitudo mensurae excessus acuitatis et gravitatis in vocibus, et proportio secundum ipsam non faceret consonantiam, sed dissonantiam, qualis est in vocibus, quas Remigius appellat tumultuares voces, ad musicam inutiles, quia sunt sibi invicem penitus dissonantes. Ratio enim consonantiae musicae in eo consistit, ut superius dicebatur, ut diversae voces tendant ad aliquam similitudinem, et ad quoddam medium assimilationis earum ad invicem: quod medium est ille numerus, quo ut communi et aequali mensura utriusque vocis mensuratur excessus acuitatis et gravitatis vocum, quantum videlicet unaquaeque musica vox excedat aliam sua acuitate vel sua gravitate in sua arsi et thesi, id est, elevatione et depressione.

Capitulum X.

Secundum quorum numerorum proportiones sumantur proportiones vocum musicalium.

Secundum praedictam itaque rationem primus omnium Pythagoras inventor musicae, [306] et deinde Plato in Thymaeo, ex omni multitudine numerorum et proportionum numeralium investigaverunt et invenerunt ex ponderibus cymbalorum musicorum et distantiis ac spatiis inter puncta divisionis et distinctionis, et mensuras extensionis chordarum musicarum in musicis instrumentis solos sex numeros, secundum quorum proportiones omnes voces musicae suas singulae ad invicem consonantias obtinerent, videlicet numerum duplarem, triplarem, quadruplum, epitritum, et hemiolium, ac epogdoum.

Primo itaque duplarem numerum acceperunt ut summum et maximum, et epogdoum ut infimum et minimum, secundum quorum numerorum proportiones, in octo vocibus, in quibus complete continetur et terminatur omnis cantus musicus, maxima et minima vocum ad invicem consonantia se haberet, id est diapason et tonus. Diapason namque est maxima consonantia, quae est solum possibilis in VIII. vocibus. Omnis enim vox musico ordine disposita et proportionata cum illa, quae est octava, ab ipsa secundum ordinem ascendendo vel descendendo resonat consonantiam diapason, et dicitur maxima consonantia, quia est per maximum intervallum, et dicitur perfectissima, quia est a prima voce ad ultimam in numero earum vocum, quae complete continent perfectum tenorem musicum: videlicet in quo omnis cantus sufficienter secundum musicam cantari potest. Unde etiam dicitur diapason, id est consonantia perfecta, vel consonantia de omnibus scilicet vocibus, quae complent unum perfectum tenorem musicum, quae sunt numero octo voces: quia omnes voces, quae sunt supra diapason primum in secundo diapason per ordinem non sunt voces aliae ab inferioribus, sed eaedem in bis acuto solummodo repetitae, propter quod post septem litteras A. B. C. D. E. F. G. iterum fit repetitio ab a. quia eaedem voces repetuntur in acutis, quae fuerunt in gravibus.

Tonus vero est minima consonantia inter perfectas consonantias; quod dico ad differentiam semitonii, quod est imperfecta consonantia, ut postmodum patebit, et est ipse tonus pro tanto minima consonantia, quia in tono arsis et thesis, id est elevatio et depressio ab acuitate in gravitatem, vel e converso est secundum minimum intervallum, quia de voce ad proximam sibi vocem.

Capitulum XI.

Quae sit proportio Arsis et Thesis toni musici, et demonstratio ipsius.

Proportio ergo toni secundum suum grave et acutum est secundum epogdoum, id est, secundum duorum numerorum proportionem ad invicem, in quibus maior continet minorem, et eius octavam partem: qualis est proportio VIIII. ad VIII. novem enim continet in se VIII. et insuper octavam eius partem, id est, unitatem, quae appellatur proportio sesquioctava: unde, quae est proportio VIIII. ad VIII. eadem in tono est proportio suae arsis ad suam thesim, id est, suae elevationis ad suam demissionem, videlicet, quod elevatio toni est sua demissione acutior sola nona parte ipsius demissionis, id est, spatio indivisibili in vocibus: sicut [307] ut novenarius est octonario maior sola unitate, quae est indivisibilis in numeris.

Demonstratio vero huius est talis. Accipiatur una fistula organica qualiscunque. Si ergo aliam fistulam vis habere, quae habeat consonantiam toni ad istam, divide primam fistulam designando per longitudinem suam in novem partes, et fac secundam fistulam nona parte primae fistulae breviorem, mox caeteris paribus in illa fistula, quae habet novem partes, erit thesis: in illa vero, quae habet nona parte minus, erit arsis toni, quem ad invicem resonabunt. Idem est accipere in duobus cymbalis, quorum unum habebit VIIII. uncias, alterum VIII. in suis ponderibus salva aequalitate debita circuli et diametri amplitudinis eorum. Porportio vero VIIII. ad VIII. est proportio sesquioctava, ut praedictum est. Ergo arsis et thesis in tono habent ad invicem sesquioctavam proportionem, quae est proportio secundum epogdoum, id est, secundum proportionem octonarii ad numerum proximum, qui est super ipsum, hoc est ad novenarium. Eandem demonstrationem poteris sumere ex divisione alicuius chordae per designationem novem partium ipsius: ubi omissa parte nona, et posito plectro vel digito super punctum, ubi designata est pars octava, in tactu digiti vel plectri super illum punctum resonabit ipsa chorda tonum rursus soni, quem tota longitudo ipsius habebit.

Et attende lector, quod causa facilioris intelligentiae cum aliqua additione diffusius ista dico, cum brevius dici possent, et expono graeca nomina in auctoribus musicae posita, ne cum aliquis ad illos libros accesserit, suspicetur, me illorum nominum significationes et interpretationes ex ignorantia tacuisse, vel aliqua summariae notitiae artis necessaria ex negligentia omisisse. In libris enim originalibus praedicta graeca nomina non sic exposita et declarata inveniuntur: quod multis accedentibus et legentibus vel attaediationem facit legendi, vel etiam desperationem intelligendi.

Capitulum XII.

Quae sit proportio Arsis et Thesis in diapason et demonstratio eius.

Proportio vero diapason secundum suum acutum ad suum grave est proportio dupla: quia omnis vox duplo acutior alia voce resonat ad ipsam consonantiam diapason. Quod autem sola consonantia cuiuslibet vocis ad octavam ab ipsa habeat se secundum duplam proportionem suae acuitatis ad gravitatem, patet ex eo, quod cum in VIII. vocibus perficiatur unus tenor omnis musici cantus, et cum tonus habeat se in sua arsi et thesi ad invicem comparatis secundum proportionem sesqui octavam, ut supra dictum est, et in diatessaron proportio arsis et thesis secundum suam acuitatem et gravitatem habeat se secundum proportionem sesquitertiam, in diapente vero secundum sesquialteram, diapente cum diapason secundum triplam, per consequens diapason integra habebit se secundum duplam proportionem acuitatis suae arsis ad gravitatem suae thesis: quia proportio toni, et diatessaron [308] et diapente in sua arsi et thesi non pervenit ad duplam, sicut in sesquioctava et in sesquialtera et in sesquitertia proportione numerorum maior numerus nequaquam pervenit ad duplum minoris. In diapente vero cum diapason proportio pervenit ultra duplam ad triplam, in bis diapason ad quadruplam: ergo diapason consistet in dupla proportione, et est consonantia cuiuslibet vocis ad octavam ab ipsa. Unde dicit Boetius libro I. capitulo 18. quod maxima distantia vocum est in bis diapason: quia ibi distat prima vox ab ultima per quadruplum intervallum. Minima vero distantia vocis a voce est in tono, ubi arsim excedit thesis, quantum VIIII. excedunt VIII. videlicet proportione sesquioctava. Ultima vero distantia vocum est in semitonio, ubi vox acutior a graviore transcenditur solum tertia parte gravioris: ut talis sit status in modis musicarum consonantiarum, quod nulla vox consona alteri voci ipsam ultra quadruplum transscendit, nec infra ipsam ultra triplum cadit. Unde simpliciter dicendo, nulla vox habens musicam consonantiam ad aliam vocem est ipsa in quadruplo gravior, neque in triplo acutior.

Demonstratio vero huius, quod consonantia diapason consistat in proportione dupla, sumi poterit ex cymbalis musice ordinatis in horologiis: quia quodlibet cymbalum habens duplex pondus rursus alterius resonabit diapason ad ipsum, ut si unum habuerit IIII. uncias, reliquum VIII. vel si unum habuerit VI. uncias, reliquum XII. licet spissitudovel tarditas soni, secundum qualitatem metalli compellat aliquando praedictae proportioni modicum addi vel minui. Similiter duae chordae, quarum una in duplo longior fuerit alia, si aequaliter extendantur, consonantiam diapason ad invicem resonabunt.

Capitulum XIII.

Quae sit proportio Arsis et Thesis mediarum consonantiarum inter tonum et diapason.

Cum igitur maxima distantia vocum musicarum ad invicem in uno tenore musico non excedat proportionem duplam, et faciat consonantiam diapason, in duobus autem tenoribus non excedat proportionem quadruplam, quae facit consonantiam bis diapason; minima vero distantia: excepto semitonio non sit infra proportionem sesquioctavam, qualis est proportio VIIII. ad VIII. quae est proportio intervalli duarum vocum unius integri toni: videndum est breviter de mediis distantiis inter maximam et minimam.

Mediarum itaque distantiarum inter proportionem duplam, quae est diapason, vel quadruplam, quae est distantia bis diapason, alia sumitur secundum numerum triplarem, alia secundum hemiolium, alia secundum epitritum. Est itaque numerus triplaris, quando maior ter continet in se minorem; ut unum ad tria, et duo ad sex: ternarius enim habet in se tres unitates, et senarius tres binarios. Similiter habent se VIIII. ad tria, et XVIII. ad VI. quia maior horum ter continet in se minorem. Secundum huius numeri proportionem habet se consonantia, quae dicitur secundum Boetium diapason cum diapente. Est enim tripla proportio istarum vocum ad invicem; videlicet sicut est a C. fa. ut. usque ad g. sol. re. ut. supremum, [309] quam Guido dicit non esse consonantiam, cum transcendat unum diapason: sed dicit illas voces ultra diapason esse solas replicationes inferiorum: unde de ista consonantia non multum in musica est curandum, sicut nec de illa, quae dicitur bis diapason, quae habet se secundum proportionem quadruplam. Unde dicit Boetius libro II. capitulo 27. Quod si ad diapason, diapente, vel diatessaron addatur, nullam efficiunt musicam consonantiam ex eo, quod ipsorum proportio cadit in genus proportionis superpartientis, secundum quam proportionem non est accipere unam communem mensuram acuitatem et gravitatem illius consonantiae ad invicem mensurantem: propterea quod illa proportio resolvitur ultimo in unitatem, quae non potest sub aequali proportione esse communis mensura duorum numerorum extremorum, ut superius dicebatur.

Capitulum XIV.

Quae sint verae et usitatae consonantiarum distantiae mediae inter tonum et diapason.

Itaque verae et usitatae distantiae mediae sunt solae illae, quae sunt inter tonum et diapason, quae sumuntur secundum numerum epitritum, et secundum hemiolium. Epitritus dicitur omnis talis numerus maior, qui continet in se minorem numerum totum, et insuper tertiam partem eius, ut sunt VIII. ad VI. et XII. ad VIIII. quorum numerorum proportio ad invicem est proportio sesquitertia, et facit in musica consonantiam diatessaron, id est, de IIII. vocibus talibus, sicut sunt: ut. re. mi. fa. Dicitur autem praedictus talis numerus epitritus, ab epi ([epi]) quod est supra, et tritus, quod est tertius. Inde epitritus, quasi supertertius: quia maior numerus, ut dictum est, continet minorem totum, et tertiam eius partem, qua excedit minorem.

Demonstratio huius proportionis IIII. vocum resonantium ad se consonantiam diatessaron patet in cymbalis, ubi cymbalum habens octo uncias resonat diatessaron ad aliud cymbalum habens VI. uncias. Similiter facit, quod habet XII. uncias ad illud, quod habet VIIII.

Hemiolius dicitur omnis talis numerus maior, qui continet in se minorem totum, et eius dimidiam partem. Unde dicitur et hemiolius, quasi dimidius, id est dimidia parte minoris maior, vel ab hemi, quod est dimidium, et olon ([holon]), quod est totum, inde hemiolius, id est numerus maior minorem in se habens totum et dimidium, ut sunt tria ad duo. Ternarius enim continet in se binarium, et eius medietatem, quae est unitas: quia duo et unum faciunt tria. Similiter habent se VIIII. ad VI. quia novenarius continet in se senarium, et insuper ternarium, qui est medietas senarii; et haec proportio talium numerorum ad invicem vocatur proportio sesquialtera, ut prius dicebatur in capitulo de proportionibus, et facit in vocibus musicis consonantiam, quae dicitur diapente, id est de V. vocibus: sicut sunt istae: ut. re. mi. fa. sol. Demonstratio huius proportionis V. vocum musicarum ad invicem similiter patet in cymbalorum ponderibus: quoniam cymbalum habens VIIII. uncias ad aliud cymbalum habens VI. uncias, respondebit [310] secundum consonantiam diapente. Et hae praedictae sunt mediae consonantiae, videlicet diatessaron et diapente, quia sumuntur secundum medias distantias inter maximam et minimam.

Capitulum XV.

Quae sint Consonantiae minores mediis inter maximam et minimam.

Post haec sunt aliae consonantiae minores per respectum ad medias inter maximas et minimas, quae sunt consonantiae ditoni et semiditoni: quia semitonii fere nulla est consonantia perceptibilis sensui, sed magis investigabilis rationi, ex eo quod vocis a voce in ipso fere insensibilis est distantia. Ditonus autem idem est quod duo toni: sicut enim tonus habet duas voces et unum intervallum, sic ditonus habet tres voces et duo intervalla: sicut sunt istae voces, ut, re. mi. Semiditonus vero non est tonus integer et dimidius, sed est tonus et semitonium, quod non est dimidius tonus, sed imperfectus tonus, quia tonus in duas aequales partes dividi non potest, ut infra patebit. Habet autem similiter ut ditonus tres voces et duo intervalla inaequalia, et est in his vocibus, re. mi. fa. vel sol. fa. mi. et fa. mi. re. et mi. fa. sol.

Capitulum XVI.

Quod minima consonantia perfecta, scilicet tonus sit divisibilis in aliquas partes.

Cum igitur sicut praedictum est inter consonantiam maximam maximae distantiae, quae est consonantia cuiuslibet vocis ad octavam, et dicitur dipason: et inter consonantiam minimam distantiae minimae, quae est consonantia cuiuslibet vocis ad suam proximam, et dicitur tonus: sint consonantiae mediae et minores, maxima consonantia, quae est diapason, et eius distantia et media intervalla distantiae ipsius continet in se omnes inferiores consonantias, scilicet medias et minores et minimam, et earum distantias et intervalla, tanquam partes suas; et similiter mediae continent in se minores et minimam, scilicet tonalem consonantiam. Unde ad videndum, quot voces et intervalla contineat quaelibet praedictarum consonantiarum, primo videndum est de tono et divisionibus, et partibus eius, et vocibus, et distantia, et intervallo ipsius.

Sciendum ergo, quod tonus musicus consistit ex duabus vocibus: hoc est inter duas voces habentes unum medium continuum intervallum. Huius autem intervalli quantitas colligitur ex praedicta proportione arsis, id est, elevationis toni ad suam thesim, id est, depositionem, vel e converso: quae est proportio sesquioctava, sicut est proportio VIIII. ad VIII. ut prius diximus. Novem autem sunt indivisibilia in duo aequalia. Sed quod inter VIIII. et VIII. nullus est numerus medius praeterquam solam unitatem, qua novenarius vincit octonarium, videri posset per consequens, quod in tono inter vocem et vocem nullum esset medium intervallum. Quod autem intervallum aliquod sit medium, patere poterit, si multiplicaverimus praedictos duos numeros duplando, scilicet novenarium et octonarium, utrum in ipsorum duplis vel [311] quadruplis vel octuplis possit aliquod medium inveniri: ut per consequens colligamus, quod in tono inter vocem et vocem est aliquod medium intervallum. Est enim theorema in arithmetica, quod quaecunque proportio est inter aliquod duos numeros, eadem est in omnibus eorum duplis, et quadruplis, et octuplis: et sic deinceps. Duplentur ergo novem, et facient XVIII. duplentur et VIII. et facient XVI. hos duos numeros statuamus loco suorum simplorum, scilicet novenarii et octonarii, et videamus, si inter illos medius numerus aliquis poterit inveniri. Et patet, quod inter XVIII. et XVI. medius emergit numerus XVII. hic autem numerus tantum vincit minorem, scilicet XVI. quantum vincitur a maiore, scilicet a XVIII. et hoc sub aequali proportione. Vincit autem et vincitur sola unitate: ergo sola unitas est media differentia utriusque. Unitas autem est indivisibilis: ergo per consequens medium intervallum in tono inter duas voces, quarum unius arsis habet se ad alterius thesim, in ea proportione, sicut se habent XVIII. ad XVI. videtur esse sicut unitas, id est, indivisibilis.

Sciendum ergo, quod unitas in numeris est indivisibilis in quantum stat in ratione discreti secundum arithmeticam, sed divisibilis, in quantum stat in ratione medii continui harmonici inter duos numeros extremos. Ergo per consequens medium intervallum inter duas voces toni erit indivisibile in quantum stat in ratione medii discreti: sed divisibile, in quantum stat in ratione medii continui harmonici, cum musica sit de sono, ut de numero numerato, qui in quantum sonus, est quid continuum, et sic divisibile: sicut quodlibet unum continuum est divisibile, sicut unum lignum vel unus lapis. Quod igitur tonus sit divisibilis in aliquas partes tales, patet ex his.

Capitulum XVII.

Quod tonus sit indivisibilis in partes aequales.

Quod autem tonus sit indivisibilis in partes aequales, sic videri potest. Supponatur primo istud theorema: quod quidquid duplicatum transcendit aliud, est ultra dimidium illius. Secundo quod quidquid duplicatum non aequatur alicui, est minus dimidio illius. Tertio quod omne dimidium alicuius rei duplicatum adaequatur toti. Inde proceditur in hunc modum. Manifestum enim est ex prius dictis, quod in tono proportio sui intervalli ad distantias duarum vocum suarum, in quibus est sua arsis et thesis, est sicut proportio medii numeri XVII. ad suos extremos, videlicet ad XVIII. qui est maior, et ad XVI. qui est minor extremorum illorum. Sed XVII. non dividuntur inter XVIII. et XVI. in duo aequalia, ergo nec intervallum in tono divisibile erit in duo aequalia. Minorem probat Boetius hoc modo: Quia quandocunque aliquis numerus medius proportionatus minori extremitati suae vel maior extremitas proportionata ipsi medio adaequaverit totum; ibi medietas sive medius numerus dividit totum in aequalia. Quandocunque vero totum non adaequaverit, sed erit maior vel minor [312] toto, ibi nec dividet ipsum totum in aequalia. Praedicti autem numeri medii, videlicet XVII. harmonice proportionati ad suam minorem extremitatem, videlicet ad XVI. sextadecima pars est unitas, et sextadecima pars unitatis: quam partem si coniungamus ipsi numero medio, videlicet ipsis XVII. erunt XVIII. et insuper sextadecima pars unitatis. Ergo excedet et non adaequabit XVIII. secundum proportionem sesquidecimam octavam ad ipsam minorem extremitatem, videlicet ad XVI. et sic non dividet totum in aequalia. Eodem modo numerus medius praedictus, scilicet XVII. proportionatus ad suam maiorem extremitatem, videlicet ad XVIII. non adaequabit totum, sed minor erit, ut patebit similiter ponenti in terminis.

Capitulum XVIII.

Quod tonus sit divisibilis in duas partes inaequales.

Cum igitur tonus, sicut iam proximo patuit, in duo aequalia dividi non possit secundum proportionem harmonicam, propter hoc dividitur in duas partes inaequales, scilicet in maiorem, quae vocatur Apotome, id est, superdivisa, et haec est semitonium maius; et in minorem quae vocatur diesis, id est, subductio a semitonio maiori; et haec est semitonium minus. Semitonium itaque maius et minus habent se in tali proportione ad invicem: quod quanto semitonium maius excedit dimidium integri toni, tantum semitonium minus deficit a quantitate dimidii toni. Ex hoc autem patere poterit per deductionem demonstrationis Boetii libro III. capitulo 13. quam hic ponere longum esset: quod semitonium maius ad minus maiorem habet proportionem, quam XX. ad XVIIII. et minorem quam XVIIII. ad XVIII. Ad investigandam autem et inveniendam quantitatem intervalli toni, videndum est, quae sint minimae et maiores partes toni, ex quibus constat, ut per consequens possimus investigare et invenire quantitates aliarum consonantiarum secundum sua intervalla, quae omnes componuntur et consistunt ex tonis et semitoniis, et eorum fractionibus minutis.

Capitulum XIX.

Quae sint partes minutissimae in quas dividitur tonus.

Quia igitur iam prius dictum est, quod tonus dividitur in apotome, id est, in maiorem partem sui, quae est semitonium maius, et in diesim, id est, semitonium minus, quod est minor pars toni, videndum est, quid sit diesis, quid sit comma, quid sit schisma, et quid sit diaschisma, quae sunt minimae partes divisionis toni et semitonii, et aliarum consonantiarum secundum minuta suarum proportionum. Diesis est spatium, quo sesquitertia proportio alicuius consonantiae maior est duobus tonis: et haec diesis, id est, subductio dicitur semitonium minus. Comma vero est spatium, quo sesquioctava proportio toni maior est duabus diesibus, id est, duobus semitoniis minoribus; et est minimum spatium, quod in vocibus auditui est subiectum: quia si de integro tono auferantur duo semitonia minora, spatium quod relinquitur comma appellatur. Schisma vero est dimidium [313] commatis. Diaschisma autem est dimidium semitonii minoris.

Capitulum XX.

Ex quibus partibus principalibus et minutis sit perfecta et vera constitutio toni.

Vera igitur constitutio et perfectio toni colligitur ex partibus, in quas dividitur. Dividitur autem, ut praedictum est, in apotome, id est, in semitonium maius, et in diesim, id est, in semitonium minus: vel in duo semitonia minora et comma, vel in IIII. diaschismata et comma. Semitonium vero maius constat ex duobus diaschismatibus, quod est unum minus semitonium, et ex schismate, quod est dimidium commatis: et est ipsum semitonium maius quam IIII. commata, et minus quam V. Schisma vero graece interpretatur divisio, et significat non omnem divisionem, sed eam quae fit per inaequalia vel modicum supra vel infra aequalitatem. Diaschisma vero significat duplex schisma per subductionem scilicet primae divisionis. Vera igitur constitutio et quantitas toni secundum praedicta est ex duobus semitoniis minoribus et ex commate, et est maior quam VIII. commata, et minor quam VIIII.

Capitulum XXI.

De minori semitonio et quantitate et proportione ipsius ad totam quantitatem toni.

Patet igitur ex praedictis, quod minus semitonium est vere semitonium, et est minor pars toni quam dimidia, et est minus quam IIII. commata, et maius quam tria, et vocabatur apud antiquos limma vel diesis: et de hoc semitonio intelligendum est, cum dicitur infra, quod diatessaron constat ex duobus tonis et semitonio. Unde dicit Boetius libro II. capitulo 28. quod cum ex sesquitertia proportione, quae est diatessaron, subtrahuntur duae sesquioctavae proportiones, id est, duo toni, spatium quod relinquitur, semitonium minus appellatur. Quod autem illud semitonium non faciat medietatem toni, Boetius probat ibidem demonstrando in duobus numeris maioribus per multiplicationem collectis ex proportione unius sesquitertiae, et duarum sesquioctavarum, quae perficiunt diatessaron: quorum unus extremus et minor numerus est CCXLIII. alter extremus et maior CCLVI. quorum media differentia sunt XIII. et ostendit, quod tanto spatio distat semitonium minus a maiori, et in ea proportione, quanto spatio et proportione distant hi duo numeri, scilicet CCXLIII. et CCLVI. per medium numerum suum, qui est ipsorum differentia scilicet XIII. Sed CCLVI. habent in se CCXLIII. et insuper decimam octavam partem de CCXLIII. quae est XIII. et insuper novem, quae proportio est maior sesquidecima octava, et minor sesquidecima nona dimidia parte unitatis. Ex quo concluditur, quod semitonium illud nequaquam possit ad medietatem toni integri pervenire: quia illa sola proportio facit semitonium, [314] quae est maior sesquidecima octava, et minor sesquidecima nona proportione: qualis proportio etiam resultat ex praedictorum numerorum coniunctione et comparatione ad invicem: scilicet aut maior aut minor integro tono, sicut Boetius diffuse ostendit ibidem. In numeris autem minoribus non potuit hoc commode demonstrare; sed in praedictis maioribus per multiplicationem generatis ex diatessaron proportione sesquitertia, et duabus sesquioctavis, quod tantumdem valebat secundum illud theorema: Quod si unus numerus duos quoslibet numeros multiplicet, generati ex illa multiplicatione habebunt eandem proportionem, quam habent hi, ex quibus sunt generati. Et de proportionibus musicis, quantum introductioni competebat, sufficiant haec ad praesens.

Capitulum XXII.

Secundum quid sumatur specifica distinctio et differentia consonantiarum musicarum.

Diximus de tono et semitonio, ex quo per consequens patet de quantitate et intervallis ditoni et semiditoni: dicamus nunc de reliquis, videlicet de diatessaron et diapente, et diapason, breviter recapitulando de ipsis et addendo aliqua, ut ad alia transeamus.

Diatessaron itaque, ut praedictum est, constat ex duobus tonis et semitonio minori, quod ad medietatem integri toni nullatenus se extendit. Modi vero sive species diatessaron et aliarum consonantiarum, puta, diapente et diapason, solent ab auctoribus dupliciter distingui: uno modo secundum suam constitutionem ex suis partibus, et ordinationem ipsarum partium in toto: alio modo secundum suam formationem in diversis vocibus per diversa tetrachorda ad constituendos tonos musicos; secundum quem modum Aribo in sua Musica distinxit eas in plures modos sive species, quam Boetius et alii, ut infra dicetur.

Modi autem ipsi, sive species consonantiarum distinguuntur principaliter secundum ordinem et positionem singularum vocum in principiis et mediis, ac terminis consonantiarum. Unde Boetius libro IV. capitulo 14. dicit, quod species consonantiarum secundum numerum semper sunt una minus numero vocum. Ex quo patet, quod semitonii non sunt species, cum non habeat nisi duas voces. Similiter et ditoni ex eo, quod inter voces eius semitonium non distinguit. Semiditoni vero sunt duae species, cum habeat tres voces. Diatessaron sunt III. species, cum habeat IIII. voces. Diapente IIII. species, cum habeat V. voces. Diapason erunt VII. species, cum habeat VIII. voces. Cuius multiplicationis tota et sola causa est diversa inceptio et terminatio consonantiarum in diversis vocibus, quae mutat ordinem semitoniorum, quae sola distinguunt inter tonos.

Capitulum XXIII.

Quot sint distinctiones et species Semiditoni.

Primo itaque modo distinguendo consonantias secundum constitutionem et ordinationem suarum partium, videlicet tonorum et semitoniorum, ex quibus tanquam [315] primis suis partibus omnes consonantiae constant. Semiditoni sunt duae species, quia cum semiditonus sit tonus et semitonium, ipsum semitonium aut praeponitur tono, et est una species, ut hic, fa. mi. re. aut subiungitur tono, et est secunda species, ut hic, sol. fa. mi. et caetera et e converso.

Capitulum XXIV.

Quot sint distinctiones et species Diatessaron.

Similiter tres sunt species diatessaron. Prima constat ex tono et tono et semitonio, quae est secundum suum ordinem in his vocibus, ut. re. mi. fa. Secunda constat ex semitonio et tono, et tono, quae est secundum suarum partium ordinem in his vocibus fa. mi. re. ut. Tertia constat ex tono et semitonio et tono, quae est secundum suarum partium ordinationem in his vocibus, re. mi. fa. sol. et e converso, in his sol. fa. mi. re. Unde patet, quod praedictae species diatessaron non differunt, nisi per hoc, quod semitonium in ordine ponitur vel ante duos tonos, vel post duos tonos, vel in medio duorum tonorum secundum inceptionem et terminationem suam in diversis vocibus atque locis. Quid autem haec diversa positio semitonii in constitutione consonantiarum faciat diversitatis in mutatione vocum et in modulatione ipsarum et informationibus octo tonorum musicorum, et quantae utilitatis sit et commoditatis ad regulationem musici cantus diversitatem illius positionis observare et attendere, posterius declarabitur.

Capitulum XXV.

In quibus litteris et vocibus incipiant et terminentur tonales species diatessaron et diapente et diapason.

Sciendum itaque est, quod prima tonalis species diatessaron constans ex tono et semitonio et tono, incipit secundum Boetium et Guidonem a G. sol, re, ut, descendens in D. sol, re. Cui si adiiciatur tonus superior A. la, mi, re, erit prima species diapente constans duobus tonis et semitonio et tono. Secunda vero species Diatessaron constat ex duobus tonis et semitonio incipiens ab A. la, mi, re, et descendens in E. la, mi, cui si addatur superius quadratum [sqb] mi, erit secunda species diapente constans ex tribus tonis et semtonio. Tertia vero species diatessaron constat ex semitonio et duobus tonis incipiens descendendo a C. sol, fa, ut, usque in G. sol, re, ut, cui si addetur inferius unus tonus, ut fiat descensus usque ad F. fa, ut, inclusive erit tertia species diapente constans ex semitonio et tribus tonis, facto descensu per quadratum [sqb] fa, et facta mutatione vocis in G. sol, re, ut, ubi in descensu ad F. fa, ut, mutabitur ut in sol, sic dicendo, fa, mi, re, ut, sol, fa. Ex quo patet etiam solutio quaestionis, qua quaerebatur in prima parte huius tractatus, quare quibusdam litteris adscriberentur tres voces, cum aliis quibusdam non adscriberentur nisi duae, aliis vero non nisi una. Hoc enim fit necessitate descensus et ascensus per varias positiones semitonii in intervallis ipsorum ascensuum et descensuum: sicut patet in hac quarta [316] specie diapente, ubi semitonium est in principio, et deinde descensus per tres tonos continuos, qui non potest fieri absque mutatione vocum. Quarta autem species diapente constat ex prima specie diatessaron, quae ut dictum est constat ex tono et semitonio et tono, cui inferius descendendo adiicitur unus tonus, ut a G. sol, re, ut, usque in C. fa, ut, et constat ex tono et semitonio et duobus tonis.

Quod autem Boetius hunc ordinem distinctionis et ordinationis specierum praedictarum consonantiarum sic se habere intellexerit, patet ex eo, quod libro IIII. capitulo 14. ubi assignat et ordinat species consonantiarum, posuit duos ordines unius bis diapason, unum ordinem primum XV. litterarum et vocum, ita quod sicut ipse dicit ibidem, fiat inceptio a proslambanomenos ut a prima, deinde ordinetur hypate hypaton secunda: et secundum hunc ordinem procedit praedicta assignatio et ordinatio specierum diatessaron et diapente, quam Guido posuit, et de qua Boetius intellexit. Alium ordinem posuit Boetius ibidem, secundum a praedicto ordine primo: ubi fiebat inceptio ab hypate hypaton tanquam a prima, omissa proslambanomenon, quae in veritate erat prima, sed hypate hypaton secunda: et iste ordo habebat solas XIIII. voces et litteras in uno bis diapason. Unde quidam musici iuxta istum secundum ordinem distinguere volentes et assignare species consonantiarum diatessaron et diapente, et utentes in illis XIIII. vocibus et litteris, hypate hypaton pro prima, cum in veritate sit secunda, per consequens inciderunt in errorem.

Species vero diapason sunt VII. secundum numerum septem litterarum in manu musicali: quia ab unaquaque illarum VII. litterarum in inferioribus ad ipsam eandem in superioribus est una consonantia diapason. Diversificantur autem et differunt illae VII. species diapason secundum diversitatem ordinationis suarum partium et specierum ipsarum partium. Diapason enim integrum constat ex uno diatessaron et uno diapente, quae diversificantur in singulis speciebus diapason, et per consequens specie differre faciunt ipsam diapason.

Capitulum XXVI.

Conclusio et recapitulatio praedictorum de quantitatibus et proportionibus consonantiarum musicarum.

Ad alia itaque transituri praedicta omnia breviter causa memoriae, et impressionis fortioris recapitulando dicamus et teneamus: quod tonus habet duas voces, in quarum una est sua arsis, id est elevatio; in alia sua thesis, id est demissio: et habet inter has duas voces unum intervallum sive spatium, secundum cuius quantitatis mensuram tantum distat sua arsis a sua thesi, quantum distant VIIII. ab VIII. hoc est proportione sesquioctava. Semitonium vero est minor pars toni quam dimidia, quod vocatur diesis, id est, subductio.

Apotome vero est maior pars toni, id est superdivisa minori semitonio: quia proportio minoris semitonii ad maius est maior quam proportio XX. partium ad XVIIII. et minor quam XVIIII. partium ad XVIII. Semitonium vero maius excedit [317] dimidium toni integri, et constat ex semitonio minori et dimidio commate, quod est minimum spatium auditu perceptibile in vocibus. Est autem semitonium vinculum et coniunctio media omnium consonantiarum: quia ipso mediante fit quasi media respiratio, et lenis reflexio de tono ad tonum, et continuatio consonantiarum. Ab A. la. mi. re. vero ad B. molle, est semitonium minus, ad [sqb]. durum tonus, a B. molli, ad [sqb]. durum, est spatium semitonii maioris, secundum Aribonem; quod Apotome vocatur, ut supra dictum est.

Ditonus vero et semiditonus continet tres voces et duo intervalla: omnis enim consonantia tot habet voces, quot habet intervalla, uno minus: et proportio distantiae non acuitatis ditoni ad tonum est per duplum; semiditoni vero per duplum tanto minus, quanto minus est semitonium integro tono.

Diatessaron vero habet IIII. voces et tria intervalla: et constat duobus tonis et semitonio minori, et proportio acuitatis et gravitatis distantiarum ipsius est proportio sesquitertia: sicut est proportio VIII. ad VI. vel XII. ad VIIII. et sunt tres eius species superius assignatae.

Diapente vero habet V. voces et IIII. intervalla, et constat tribus tonis et semitonio minori: et proportio acuitatis et gravitatis distantiarum suarum est proportio sesquialtera: ut sunt III. ad II. et VIIII. ad VI. et eius species sunt IIII. ut superius dictum est. Et notandum, quod diatessaron et diapente proprie non constituuntur nec diffiniuntur numero vocum, sed proportione earum. Unde non sufficit dicere, quod diatessaron sit consonantia IIII. vocum, sed addendum est habentium duos tonos et semitonium, quia A. B. C. D. sunt IIII. voces, sed non habent duos tonos et semitonium, sed faciunt duplex semitonium. Similiter B. C. D. E. F. graves, sunt V. voces, sed non faciunt diapente, quia non habent nisi diatessaron et semitonium.

Tonus cum diapente habet VI. voces, et V. intervalla, et constat ex IIII. tonis cum semitonio minori: licet Boetius et Guido ipsam inter perfectas consonantias non posuerint.

Diapason autem continet VIII. voces et VII. intervalla, et constat ex diatessaron et diapente, hoc est ex V. tonis, et duobus semitoniis minoribus; ita quod ad VI. tonos nullatenus se extendit, et proportio consonantiae distantiarum suarum, id est, primae et octavae vocis est proportio dupla, quia omnis octava vox in musica a sua prima inferius est duplo acuta. Et species diapason sunt septem.

Capitulum XXVII.

Quot et quae sint Consonantiae verae et perfectae secundum Guidonem.

Sunt itaque verae et perfectae musicae consonantiae in uno ordine sive tenore diapasonico VI. numero secundum Guidonem, videlicet tonus, semitonium, ditonus, semiditonus, diatessaron, et diapente. Cuius ratio est secundum ipsum, quod consonantia musica proprie dicta et accepta, non est penitus diversarum vocum ad invicem, quae quidem non consonantiam sed dissonantiam faciunt, ut illae, quas Remigius super Macrobium [318] vocat voces tumultuares, id est, nullam proportionem musicam ad invicem habentes; nec est etiam consonantia vocum penitus earumdem, sicut in diapason, ubi vox prima et octava est penitus eadem, differens solummodo a prima littera ad octavam, secundum duplum acuitatis, et ab octava ad primam secundum duplum gravitatis: sed consonantia proprie est vocum partim consimilium, partim dissimilium; consimilium quidem secundum proportionem divisionis intervallorum, et dissimilium secundum elongationem suarum distantiarum, id est, suae arsis et thesis ad invicem.

Capitulum XXVIII.

Quod secundum Guidonem perfectae consonantiae sumuntur secundum possibiles coniunctiones vocum musicarum.

Ordo vero et ordinatio praedictarum VI. consonantiarum in manu musicali valde attendendus est et observandus: quia secundum ipsum diversificatur omnis ascensus et descensus in cantu, et mutatio vocum, et modulatio octo tonorum musicalium, ut postmodum declarabitur. Disponuntur autem et ordinantur praedictae VI. consonantiae in manu musicali per VI. coniunctiones duarum quarumlibet vocum, quae diversificantur non solo spatio inter voces, nec solo numero vocum, sed simul spatio et numero, quod sic patet. Prima namque coniunctio est, cum aliquae duae voces sibi invicem proxime et immediate secundum litterarum suarum ordinem coniunguntur, inter quas est semitonium solum, quod est minimum spatium inter duas voces, sicut est coniunctio illarum duarum vocum E la, mi, et F fa, ut, et ubicumque est semitonium in manu musicali. Secunda est, cum inter proximas duas voces est tonus: ut inter A re, et B mi, et hae duae coniunctiones vocantur coniunctiones immediatae, quia sunt inter proximas et immediate se sequentes litteras. Tertia coniunctio est inter quaslibet duas voces distantes per unam mediam interpositam, hoc est a qualibet voce per duo intervalla, usque ad tertiam: et hoc potest esse duobus modis, vel per intervallum toni et semitonii, et est consonantia, quae dicitur semiditonus: ut ab E la, mi, in G sol, re, ut, vel per duo intervalla duorum tonorum, et haec consonantia dicitur ditonus, et est coniunctio quarta, ut a C fa, ut, in E la, mi. Quinta coniunctio est ab aliqua voce in quartam per tria media intervalla habentia duos tonos et semitonium, quocumque modo ordinata, et est consonantia diatessaron, ut a C fa, ut, in F fa, ut. Sexta coniunctio est alicuius vocis, cum quinta ab ipsa per IIII. media intervalla continentia tres tonos et semitonium qualitercunque ad invicem ordinata, et haec est consonantia diapente. Et istae sunt VI. consonantiae simplices et primae secundum praedictas VI. coniunctiones vocum: quibus solis ponendis pro consonantiis perfectis Guido in sua Musica voluit esse contentus, et Odo in suo Enchiridio de musica.

Capitulum XXIX.

Quod post Guidonem alii Musici quasdam consonantias inventas apposuerint.

Posteriores vero musici et moderni addiderunt praedictis duas consonantias compositas, [319] videlicet semitonium, cum diapente: ut ab F. fa. ut. superiori in A. la. mi. re. inferiorem: videlicet facta in C. sol. fa. ut. mutatione ut. in sol. sic dicendo. F. fa. mi. re, ut. sol. fa. mi: quae consonantia continet VI. litteras sive voces, et V. intervalla continentia tres tonos, et duo semitonia. Et Diapente cum tono: ut ab a. la. mi. re. superiore, ad C. fa. ut. inferiorem, quae consonantia continet VI. litteras sive voces, et V. intervalla continentia IIII. tonos et semitonium: et sic fiunt VIII. consonantiae. Quibus insuper additur diapason, quae secundum Boetium est optima et perfectissima consonantia habens proportionem duplarem, quod et verum est, salva pace Guidonis. Nam diapason vocem superiorem, quae duplo est acutior sua voce inferiori possumus comparare, vel ad illam eandem suam inferiorem, qua duplo est acutior, et sic in veritate est consonantia perfectissima secundum Boetium, sicut dupla proportio est in aliis proportionibus manifestissima: vel potest comparari ad vocem superiorem aliquam immediatam vel mediatam, et sic secundum Guidonem posset salvari, quod non esset consonantia rursus inferioris, sed eadem repetita, tanquam prima superioris ordinis alterius diapason, non tanquam octava ordinis inferioris diapason. Et ita secundum modernos status erit in numero novenario musicarum consonantiarum, cuius rationem Guido dicit esse, quod pluribus modis non potuit esse coniunctio mediata vel immediata duarum vocum musica proportione sibi consonantium. Unisonus vero non est aliqua coniunctio vocum, quia non habet arsim et thesim, nec per consequens intervallum vel distantiam, sed est vox tremula, sicut est sonus flatus tubae vel cornu, et designatur in libris per neumam, quae vocatur quilisma.

Capitulum XXX.

Reductio musicarum Consonantiarum in primas radices suas secundum Boetium.

Boetius itaque libro V. capitulo II. naturas et proprietates musicarum consonantiarum in summam primae suae radicis reducendo distinguit, quod omnium vocum quaedam sunt unisonae, quaedam non unisonae. Unisonae sunt, quae indistincte unum aequalem et continuum reddunt sonum, in quibus est accipere cum tremore, vel sine tremore solam moram vocis, et nullam distantiam, nec aliquod intervallum. Non unisonarum vocum vero aliae sunt aequisonae, aliae consonae, aliae dissonae, aliae emmeles, hoc est inconiunctae, aliae ecmeles, hoc est coniunctae.

AEquisonae sunt, quae ex duplo gravi et acuto unum et aequalem iteratum ad invicem reddunt sonum; ut sunt duae voces diapason, ad invicem resonantes. Quia enim duplaris proportio est prima species multiplicitatis, in qua maior numerus minorem tanti superat, quanti est ipse minor totus, et non plus nec minus; ut duo vincunt unum ipsa unitate sola, quae seipsa nec est maior nec minor, [320] sed sibimet aequalis; proinde rationabiliter dupla proportio, quae est in diapason est aequisona, id est sibimet aequalis.

Consonae vero voces sunt, ubi duae voces dissimiles in consimiliter proportionatum utrique medium tendunt, in quod tanquam in finem communem cadunt: qui casus ratione similitudinis proportionis utriusque vocis ad invicem suavem sonum reddit. Cuius suavitatis ratio est, quia sicut aequaliter commensuratae proportiones contrariarum differentiarum in saporibus delectant gustum, et in coloribus visum, et in odoribus olfactum; sic et in vocibus et in sonis delectant et demulcent auditum.

Dissonae autem voces sunt, quae ad invicem incommensurabiles proportiones habentes, dissimilem et non aeque proportionatum reddunt sonum: ut voces tumultuares ad invicem, quarum proportiones mutuas non contingit in aliqua musica consonantia inveniri.

Emmeles vero sunt voces, quaecunque consonae quidem non sunt, sed tantum consonantias distinguunt, ut tonus, qui est differentia inter diapente et diatessaron.

Ecmeles autem sunt, quae recipiuntur in consonantiarum coniunctione, non in divisione: ut sunt dieses, quae a quibusdam musicis positae fuerunt, quarta pars toni divisi in XII. partes indivisibiles, sicut in XII. unitates. Sicut patet per Boetium, libro V. capitulo 16. Ex eodem genere sunt semitonium et semiditonus, de quibus dicit Guido in Micrologo: quod voces ad canendum coniungunt, sed divisionem inter voces non faciunt. Unde dicit Isidorus etymologiarum libro III. de Musica capitulo 6. quod diesis est spatium quo musica modulatio brevius vergit de tono in tonum: de qua diesi supra dictum est. Et de naturis et speciebus et proprietatibus ac proportionibus consonantiarum et earum positionibus et ordinationibus in manu musicali sufficiant haec ad praesens.